22.1.1 二次函数 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 同步练习 一、选择题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为全体实数 3．二次函数的一次项系数为（　　） A．2 B． C．6 D． 4．红光公司今年7月份生产儿童玩具20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第三季度儿童玩具的产量y（万件）与x之间的关系应表示为（　　） A． B． C． D． 5．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 6．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有(　　) ①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b=0.8(220-a)； ②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V=πr2h(h为定值)； ③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h=gt2(g为定值)； ④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q=RI2(R为定值)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是　 　．（化成一般式） 8．如图所示，利用一面墙(墙的最大可用长度a为10米)，用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x之间的函数表达式为　 　，自变量x的取值范围为　 　。 9．如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是　 　（写出顶点式和一般式均可）． 10．当　 　时，是二次函数． 11．若是关于x的二次函数，则m=　 　． 12．若y=（a－1） 是关于x的二次函数，则a=　 　． 三、解答题 13．已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 14．如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， （1）求，的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 点上正方 的 处发出一球，羽毛球飞行的高度 与水平距离 之间满足函数表达式 ．已知点 与球网的水平距离为 ，球网的高度为 ． （1）当 时， ①求 的值； ②通过计算判断此球能否过网； （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到 处时，乙扣球成功。已知点 离点 的水平距离为 ，离地面的高度为 的，求 的值． 16．要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决． （1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽； （2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点P，用不可伸缩的绳子分别连接BP，CP，点P取在何处所用绳子长最短？ （3）仍然是矩形养鸡场面积最大的情况下，若把（2）中的不可伸缩的绳子改为可以伸缩且有弹性的绳子，点P可以在墙上自由滑动，求sin∠BPC的最大值． 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7． 8．S=-3x2+24x；≤x<8 9． 10． 11．1 12．-1 13．（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． 故答案为：或. （2）解：∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 故答案为：. 14．（1）， （2）存在，的周长最小为 （3）或 15．（1）解： ； ②把 代入 得： ；∵1.625＞1.55；∴此球能过网. （2）解：把 代入 得： ； 解得： . 16．（1）解：设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为 米， 根据矩形的面积公式可知S=x• =﹣ （x﹣14）2+98， ∵0＜x≤12，在此区间内面积S关于长x的函数单调递增， ∴当x=12时，S取最大值，S最大=96， 此时 =8． 故把整堵墙壁都用起来，矩形长为12米，宽为2米时矩形养鸡场的面积最大 （2）解：作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，如图一所示． ∵点C、C′关于AD对称， ∴PC=PC′， ∴PB+PC=PB+PC． 由三角形内两边之和大于第三边可知：当B、P、C′共线时PB+PC最小． ∵AD∥BC， ∴△C′PD∽△C′BC， ∴ = ， ∴PD= BC，即P为AD的中点． 此时C′B= =20（米）． 故当点P选在AD中点处时，需要的绳子最短，最短绳长为20米 （3）解：作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，如图二所示． 任取线段AD上一点P，连接BP、CP，令CP与圆交于点G，连接BG． ∵∠BGC=∠BPC+∠PBG， ∴∠BPC≤∠BGC． 当P、G两点重合时取等号，此时点P为AD的中点． ∵AD=12，AB=8， ∴AP=6， 由勾股定理得：BP= =10， ∵△PBC的面积S= BP•CP•sin∠BPC= ×10×10sin∠BPC= BC•AB= ×12×8， ∴sin∠BPC= ． 故sin∠BPC的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$