第2讲 三角形的内角和外角 暑假预习自学讲义 2025--2026学年人教版八年级数学上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第2讲 三角形的内角和外角 ·内容一 三角形的内角和定理 ·内容二 直角三角形的两个锐角互余 ·内容三 三角形的外角 ·内容四 课后作业 三角形的内角和定理 三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180°。 【考点1】三角形的内角和定理 例题1.如图，缺了一个角，测得，，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 变式1.在中，，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 例题2.在中，，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 变式2.在中，，，的度数之比为，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 例题3.在中，已知，，则为  (    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 变式3.已知的三个内角的度数之比为，则的形状是(    ) A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 例题4.在中，，则的度数为          ． 变式4.在中，，，则的度数____． 例题5.如图，，，，求的度数． 变式5.如图，在中，，，分别是，上一点，平分，平分，求的度数．   【考点2】三角形的内角和定理的实际应用 例题6.如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东的方向，则的度数是(    ) A. B. C. D. 变式6.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的度数是(    ) A. B. C. D. 例题7.图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则(    ) A. B. C. D. 变式7.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳线绳垂直于地面的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 例题8.光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知，，则是(    ) A. B. C. D. 变式8.如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 直角三角形的两个锐角互余 1．直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。 2．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 【考点1】直角三角形的性质 例题9.在中，，：：，则两个锐角的度数为(    ) 变式9.如图，中，，的角平分线，相交于点，则(    ) A. B. C. D. 例题10.如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 变式10.如图，，于点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 例题11.在中，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 变式11.两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【考点2】直角三角形的判定 例题12.若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是． A. B. C. D. 变式12.具备下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 例题13.已知的内角分别为，，，下列条件能判定是直角三角形的是  (    ) A. B. C. D. 变式13.是直角三角形，则下列选项一定错误的是(    ) A. B. C. D. 例题14.在下列条件中： ，， ，中， 能确定是直角三角形的条件有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 变式14.在下列条件：；：：：：；；；中，能确定为直角三角形的条件有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 例题15.在中，已知，，则是          三角形．填“锐角”“直角”或“钝角” 变式15.若三角形三个内角度数的比为：：，则这个三角形的形状是          ． 例题16.如图，是的边上一点，过点作，垂足为若，则是直角三角形吗？为什么？ 变式16.如图，，直线分别交，于点，，的平分线与的平分线相交于点，求证：为直角三角形． 三角形的外角 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【考点1】 三角形的外角及性质 例题17.如图，，，中是外角的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，， 变式17.在图中，是的外角的是(    ) A. B. C. D. 例题18.如图是一个三角形及其一个外角，根据图中数据，的值是  (    ) A. B. C. D. 变式18.如图，的外角，，则  (    ) A. B. C. D. 例题19.如图，点，，在同一条直线上，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 变式19.如图，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 例题20.如图，在中，是边上的高，交的延长线于点若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 变式20.如图，为的边上一点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 例题21.如图，，相交于点，连接，若，，，则的度数为          ． 变式21.如图，已知直线，，，则的度数为          ． 例题22.如图，，，，求和的度数． 变式22.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，，，求的度数． 例题23.如图，分别交的边，于点，，交的延长线于点，，，求的度数．   变式23.如图，在中，，是的外角的平分线，过点作交于点，，求的度数． 【考点2】三角形的外角和 例题24.如图，，，是的三个外角．若，则          ． 变式24.如图，，，是的三个外角，，则           例题25.如图，，，则的度数为          ． 变式25.如图， ______ 例题26.如图，，，是的三个外角，它们的和是多少？   变式26.如图，求．   【考点3】三角形的内角和与外角和综合探索 例题27.已知． 如图，若三角形的内角与的平分线交于点，求证： ； ； 如图，若三角形的外角与的平分线交于点，试分析与有怎样的数量关系，请说明理由； 如图，若三角形的内角与外角的平分线交于点，则与的数量关系为          只写结论，不需证明 变式27.如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点，求的度数． 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，， ，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，则是  (    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3.如图，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为          ． 7.将含角的直角三角板与直尺按如图所示的方式放置，，则的度数为          ． 8.如图，，相交于点，于点若，则          ． 9.如图，平分，交于点若，，，则的度数为          ． 10.如图，是的外角内的一条射线，已知，，则的度数为          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分如图，在中，，点，分别在边，上，且，是直角三角形吗？为什么？   12.本小题分如图所示，岛在岛南偏西方向，岛在岛北偏西方向，岛在岛南偏东方向．从岛看，两岛的视角是多少度？ 13.本小题分如图，在中，为上一点，为上一点，连接，交于点，已知，． 求的度数；若，求的度数．   14.本小题分如图，，平分，，求证：平分．   15.本小题分如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． 若，，求的度数； 求证：． 16.本小题分如图，，，求和的度数． 17.本小题分如图，，，，求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第2讲 三角形的内角和外角 ·内容一 三角形的内角和定理 ·内容二 直角三角形的两个锐角互余 ·内容三 三角形的外角 ·内容四 课后作业 三角形的内角和定理 三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180°。 【考点1】三角形的内角和定理 例题1.如图，缺了一个角，测得，，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，，，，  故选B． 变式1.在中，，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理：三角形内角和是是解答此题的关键．在中，根据三角形内角和是度来求的度数． 【解答】 解：三角形的内角和是， 又，， ， 故选D． 例题2.在中，，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2.在中，，，的度数之比为，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  例题3.在中，已知，，则为  (    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，判断即可． 【解答】 解：，， 由三角形内角和定理得，， 为直角三角形， 故选C  变式3.已知的三个内角的度数之比为，则的形状是(    ) A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C  【解析】解：的三个内角度数之比为：：， 可设的三个内角分别为：，，， 由三角形内角和定理得：， ， ，， 为直角三角形， 故选C． 例题4.在中，，则的度数为          ． 【答案】  变式4.在中，，，则的度数____． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形内角和，解题关键是掌握三角形内角和：三角形三个内角的和等于． 解题时，三角形内角和与“”得出，从而得出，再根据，即可求出的度数． 【解答】 解：，， ， ， ． ， ， ． 故答案为． 例题5.如图，，，，求的度数． 【答案】解：．  变式5.如图，在中，，，分别是，上一点，平分，平分，求的度数． 【答案】解：，平分， ， ， 平分，， ．   【考点2】三角形的内角和定理的实际应用 例题6.如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东的方向，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是方向角，三角形内角和定理，平行线的性质有关知识根据题意和图形，正确画出方向角，根据平行线的性质和三角形内角和定理计算即可． 【解答】 解：如图： ，，， ， ， ， ， ． 故选B． 变式6.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，结合平行线的性质和三角形的内角和定理求解．根据方位角的概念和平行线的性质，结合三角形的内角和定理求解． 【解答】 解：岛在岛的北偏东方向， ， 岛在岛的北偏西方向， ， ， ， ， ． 故选B． 例题7.图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：、都与平行， ， ， ， ， ， ． 故选：． 由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出，即可得到的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 变式7.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳线绳垂直于地面的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，由题意知：B、垂直于． 在中，， 在中，， ． 故选：． 例题8.光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知，，则是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理及余角的性质，可根据光线的反射角等于入射角，利用等角的余角相等求出，，，再利用三角形的内角和定理求出 的度数，进而求出． 【解答】 解：如图， 由光线的反射角等于入射角，利用等角的余角相等则，，， ，， ，， ， ， ． 故选B． 变式8.如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为， ，， ， ， ， 故选：． 由反射可知，，再结合三角形的内角和定理即可求解． 本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 直角三角形的两个锐角互余 1．直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。 2．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 【考点1】直角三角形的性质 例题9.在中，，：：，则两个锐角的度数为(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 以上说法都不对 【答案】A  【解析】解：由条件可知， ． 故选：． 由，则，然后按比例分配即可解答． 本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角互余成为解题的关键． 变式9.如图，中，，的角平分线，相交于点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， ，是、的平分线， ， ， 故选：． 由题意知，，由，是、的平分线，可得，根据，计算求解即可． 本题考查了角平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 例题10.如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， ， ． 由折叠的性质可知，， ． 故选：． 变式10.如图，，于点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，熟记直角三角形的性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】 解：， ， ， ， ， ． 故选A． 例题11.在中，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在中，，， ． 所以的度数为． 故选：． 根据三角形内角和定理进行计算即可． 本题主要考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 变式11.两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查的是三角形的内角和定理，直角三角形的性质的有关知识，先利用直角三角形的性质分别求出，，然后再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【解答】 解：，，， ，， 【考点2】直角三角形的判定 例题12.若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于根据三角形内角和定理得出，根据选项中的条件求出三角形的最大角的度数，再判断即可． 【解答】解：、，， ，即，即三角形是直角三角形，故本选项错误； B、，， ，即，即三角形是直角三角形，故本选项错误； C、，：：：： 设，则， 解得 ，即三角形是直角三角形，故本选项错误； D、，， 设，则， 解得 ，即三角形不是直角三角形，故本选项正确， 故选D． 变式12.具备下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形的性质由直角三角形内角和为和各选项的条件求得三角形的每一个角，然后看三角形的内角是否有即可判断． 【解答】 解：，即，，故该三角形为直角三角形； B.，即，即，，故该三角形是直角三角形； C.，即，，，三个角没有角，故不是直角三角形； D.，故，故该三角形为直角三角形； 故选C． 例题13.已知的内角分别为，，，下列条件能判定是直角三角形的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】 解：：，   ，  ， 不能确定和中是否存在，故A选项错误； ：，   ，    ，    ， 故B选项正确； ：，，    所以三个角不存在，故C选项错误； ：，，     所以三个角不存在，故D选项错误； 变式13.是直角三角形，则下列选项一定错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、由，可知，又因为，所以，所以，所以是直角三角形，故本选项不符合题意． B、由，，可知，不是直角三角形，本选项符合题意． C、由，可知，所以是直角三角形，本选项不符合题意． D、由：：：：，可知，所以是直角三角形，本选项不符合题意． 故选：． 利用三角形内角和定理一一判断即可． 本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型． 例题14.在下列条件中： ，， ，中， 能确定是直角三角形的条件有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】解：，是直角三角形； ，是直角三角形； ，则设，，，则，解得， ，，， 不是直角三角形； ，是直角三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：． 变式14.在下列条件：；：：：：；；；中，能确定为直角三角形的条件有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解答】 解：， ， 是直角三角形，故本小题符合题意； ：：：：， ，，， 是直角三角形，故本小题符合题意； 设，则， ，解得， ，故本小题不符合题意； 设，，，则， 解得，故， 是直角三角形，故本小题符合题意； ， ， ，故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是共个． 故选B． 例题15.在中，已知，，则是          三角形．填“锐角”“直角”或“钝角” 【答案】直角  【解析】略 变式15.若三角形三个内角度数的比为：：，则这个三角形的形状是          ． 【答案】直角三角形  【解析】【分析】 此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为若三角形三个内角的度数之比为：：，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为，可求出三个内角分别是，，则这个三角形一定是直角三角形． 【解答】 解：设三角分别为，，， 依题意得， 解得． 故三角度数分别为，，． 故答案为直角三角形． 例题16.如图，是的边上一点，过点作，垂足为若，则是直角三角形吗？为什么？ 【答案】解：是直角三角形：理由如下： ， ， ， ， ， 即是直角三角形．  【解析】根据直角三角形的性质和判定解答即可． 此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出角的关系解答． 变式16.如图，，直线分别交，于点，，的平分线与的平分线相交于点，求证：为直角三角形． 【答案】证明：， ． 又的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ， ， 为直角三角形．   【解析】此题主要考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力． 由，可知与互补，由角平分线的性质可得，由三角形内角和定理可得． 三角形的外角 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【考点1】 三角形的外角及性质 例题17.如图，，，中是外角的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C  变式17.在图中，是的外角的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  例题18.如图是一个三角形及其一个外角，根据图中数据，的值是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式18.如图，的外角，，则  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  例题19.如图，点，，在同一条直线上，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式19.如图，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  例题20.如图，在中，是边上的高，交的延长线于点若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式20.如图，为的边上一点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  例题21.如图，，相交于点，连接，若，，，则的度数为          ． 【答案】  变式21.如图，已知直线，，，则的度数为          ． 【答案】  例题22.如图，，，，求和的度数． 【答案】解：，．．  变式22.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点，，，求的度数． 【答案】  例题23.如图，分别交的边，于点，，交的延长线于点，，，求的度数． 【答案】，，．   变式23.如图，在中，，是的外角的平分线，过点作交于点，，求的度数． 【答案】解：，，，平分，是的外角，，．  【考点2】三角形的外角和 例题24.如图，，，是的三个外角．若，则          ． 【答案】  变式24.如图，，，是的三个外角，，则           【答案】  例题25.如图，，，则的度数为          ． 【答案】  变式25.如图， ______ 【答案】  【解析】解：如图所示：连接，， 在四边形中， ， 在中，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 连接，，先根据多边形的内角和公式求出和的度数，然后在利用三角形的内角和定理证明，最后求出即可． 本题主要考查了多边形内角和定理和外角性质，解题关键是添加辅助线构造四边形和三角形． 例题26.如图，，，是的三个外角，它们的和是多少？ 【答案】解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ， ， ． 所以 ． 由，得 ．   变式26.如图，求． 【答案】解：如图，根据三角形中内角和为，有，，，，．   【考点3】三角形的内角和与外角和综合探索 例题27.已知． 如图，若三角形的内角与的平分线交于点，求证： ； ； 如图，若三角形的外角与的平分线交于点，试分析与有怎样的数量关系，请说明理由； 如图，若三角形的内角与外角的平分线交于点，则与的数量关系为          只写结论，不需证明 【答案】(1)证明：①∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴，，∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB ．  ②∵∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC＝360°-2∠OBC-2∠OCB．∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴2∠BOC＝360°-(∠ABC+∠ACB)．∵∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，∴2∠BOC＝180°+∠A，∴．  (2)解：，理由如下：∵BO，CO为△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴， ，  由三角形内角和定理得：  ∠BOC＝180°-∠BCO-∠OBC  ．  (3)  【解析】 为的的角平分线，为外角的平分线， ，． ，分别是，的外角， ，   ， ， ． 变式27.如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点，求的度数． 【答案】解：，，，，的平分线交于点，，．  一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，， ，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.如图，在中，，，则是  (    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C  3.如图，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.如图，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.如图，在中，，是的角平分线，过点作的垂线，交的延长线于点，若，则的度数为          ． 【答案】  7.将含角的直角三角板与直尺按如图所示的方式放置，，则的度数为          ． 【答案】  8.如图，，相交于点，于点若，则          ． 【答案】  9.如图，平分，交于点若，，，则的度数为          ． 【答案】  10.如图，是的外角内的一条射线，已知，，则的度数为          ． 【答案】  三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分如图，在中，，点，分别在边，上，且，是直角三角形吗？为什么？ 【答案】解：是直角三角形． 理由：， ． 又， ． 是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形．   12.本小题分如图所示，岛在岛南偏西方向，岛在岛北偏西方向，岛在岛南偏东方向．从岛看，两岛的视角是多少度？ 【答案】解：根据题意得：， ， ， ， ， ， ． 故从岛看，两岛的视角是度．  【解析】本题考查了方向角的定义，理解定义是关键． 根据方向角的定义可以得到，则可以求得的度数，根据即可求解． 13.本小题分如图，在中，为上一点，为上一点，连接，交于点，已知，． 求的度数； 若，求的度数． 【答案】(1)解：∵∠BDC=110°，∴∠ADC=180°-∠BDC=70°，∵∠BAE=23°， ∴在△ADF中，∠AFD=180°-∠ADF-∠DAF=87°， ∴∠CFE=∠AFD=87°；   (2)由（1）知∠CFE=87°， ∴∠AFC=180°-∠CFE=180°-87°=93°， 设∠ACF=x，则∠CAF=2x， ∴x+2x+93°=180°，解得x=29°， ∴∠ACF=29°．   14.本小题分如图，，平分，，求证：平分． 【答案】一题多解法 证法一：证明：，， ，， ， 平分，， ， ，即平分． 证法二：证明：如解图，过点作直线交于点， 设， 平分，， ，，，， ， 在中可得，， ，即平分．   15.本小题分如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． 若，，求的度数； 求证：． 【答案】(1)∵∠B=30°，∠BAC=130°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=160°． ∵CE平分∠ACD，∴．∴∠E=∠ECD-∠B=50°   (2)∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ECA． ∵∠ECD=∠B+∠E，∠BAC=∠ECA+∠E，∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E 16.本小题分如图，，，求和的度数． 【答案】解：，，．  17.本小题分如图，，，，求的度数． 【答案】解：，，，，．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$