精品解析：广东省江门市新会尚雅学校2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考试卷

2024-2025学年第二学期 八年级数学第一次大练习 一、选择题 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17 4. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c为的三边长，若满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 7. 如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ） A. 2.5 B. 1.5 C. 4 D. 5 8. 如图，矩形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为1，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 14 10. 矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（ ） A. B. C. 3 D. 3.5 二、填空题 11. __________． 12. 式子值的整数部分是___________． 13. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行________米． 14. 实数，在数轴上的位置如图，那么化简的结果是__________． 15. 如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则的度数是_________． 16. 如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________． 17. 如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） ①；②四边形是轴对称图形；③；④． 三、解答题（一） 18. 计算：． 19. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 20. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 四、解答题（二） 21. 如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上． （2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）． 22. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 23. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，OA=OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD=12，AB=5，求PE+PF的值． 24. 阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫分母有理化． （1）化简：_______，_______． （2）化简：； （3）利用上面的规律，比较和的大小． 五、解答题（三） 25. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 26. 如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点落在上时，求的长； （3）如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 六、解答题（四） 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，D两点坐标分别为A（0，a），D（b，b），且a﹣b＝． （1）求A，D两点坐标； （2）点B，C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形． ①如图，当点B，C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取DG中点H，在DO上截取DE，使DE＝GO，求证：4AH2＋DE2＝2AE2； ②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB，CD于M，N，试探究OM，BM，CN三条线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期 八年级数学第一次大练习 一、选择题 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次格式，符合题意； D、是三次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股数定义进行分析即可． 【详解】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意； B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； D、82+152=172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 4. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判定即可． 本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】根据平行四边形的判定定理，得 A. ，，是平行四边形，不符合题意； B. ，，是平行四边形，不符合题意； C. ，，不是平行四边形，符合题意； D. ，，是平行四边形，不符合题意； 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加、减、乘、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别根据二次根式的加、减、乘、除法运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 已知a，b，c为的三边长，若满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得，，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 【点睛】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，关键是根据非负数的性质得出，． 7. 如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ） A. 2.5 B. 1.5 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案． 【详解】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5， ∴， ∵DE是△ABC的中位线，BC＝8， ∴DE＝4， ∴EF＝4﹣2.5＝1.5， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 8. 如图，矩形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为1，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BD的长，即BE的长，再根据两点间的距离公式求出点E对应的数． 【详解】AB=CD=1，BC=1-（-1）=2， 由勾股定理得，， ∴BE=BD=， ∴OE=BE-OB=， ∴点E表示的实数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和实数与数轴，解题的关键是根据勾股定理得出半径的长． 9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：A． 10. 矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（ ） A. B. C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，， 在中，， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在中，． 故选：B． 二、填空题 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算和平方差公式，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 12. 式子值的整数部分是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，估算无理数的大小，进而估算的大小，确定它的整数部分即可． 【详解】∵， ∴ ∴的整数部分为， 故答案为：． 13. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行________米． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为， 过点作于，连接， ，，， 在中，， 故小鸟至少飞行， 故答案为：13． 14. 实数，在数轴上的位置如图，那么化简的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再把各二次根式进行化简即可． 【详解】解：∵由图可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查实数与数轴，求解一个数的算术平方根，掌握是解题的关键. 15. 如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则的度数是_________． 【答案】111°##111度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得∠BAC的度数，进一步求出∠B的度数，即可求出∠D的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∴∠DCA=∠BAC， 根据折叠，可得， ∴， ∵， 又∵∠1=∠2=46°， ∴， ∴∠BAC=23°， ∴∠B=180°-46°-23°=111°， ∴． 故答案为：111°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值． 【详解】解：如图，与相交于点， 在中，， 四边形是平行四边形， ，． 当取最小值时，线段最短，此时． 点是的中点， ， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 17. 如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） ①；②四边形是轴对称图形；③；④． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接，根据①中的结论可知是等腰直角三角形，再结合的长可求出，从而得出结论；③延长、相交于点H，根据题中条件证明，可得，即可证出结论；④取的中点M，连接，可知，即可求出答案． 【详解】解：①∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②连接，如图所示， 由①知，是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为对称轴的轴对称图形，故②正确； ③延长、相交于点H，如图所示， ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由①得，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④取的中点M，连接，如图所示， ∵四边形是矩形，， ∴， 由③知，， ∴， ∴点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴ ，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题关键． 三、解答题（一） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义，二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴AF-OA＝CE-OC， 即OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可； 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】 解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 四、解答题（二） 21. 如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上． （2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）． 【答案】 （1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）， （2）如图，直线l即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）； （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了几何作图，平行四边形的定义，理解题意，按照要求作图是解题关键． 22. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 23. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，OA=OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD=12，AB=5，求PE+PF的值． 【答案】 （1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行线的性质可得，再根据可得，即可证明，即可证明四边形ABCD是平行四边形，再根据，即可证明四边形ABCD是矩形； （2）连接OP，根据矩形的性质和勾股定理得，再根据矩形和三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）连接OP， ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 在△BAD中， 由勾股定理得 ∴ ∵矩形的面积是 ∴△AOD的面积是 ∵△APO、△POD是同底的三角形 ∴ ∴ ∴ 故PE+PF的值． 【点睛】本题考查了矩形的综合问题，掌握矩形的性质以及判定定理、勾股定理、三角形面积公式、矩形面积公式是解题的关键． 24. 阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫分母有理化． （1）化简：_______，_______． （2）化简：； （3）利用上面的规律，比较和的大小． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化计算，正确掌握计算法则及确定分母有理化的因式是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将各式子分母有理化，然后根据二次根式的加减法则计算即可； （3）先求出分别求出和的倒数，再进行比较即可． 【小问1详解】 解∶；， 故答案为∶； ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴． 五、解答题（三） 25. 【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等． 【项目方案】 （1）方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ （2）方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ （3）【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 【答案】（1）至少需要布设个监控器； （2）至少需要布设个监控器； （3）． 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据河流的长度是，求出需要布设的监控的数量； 过作于点，构造直角三角形利用勾股定理求出，设，则，在中，，在中，，得到方程，解方程求出，可知此时监控监测的范围是，根据河流的长度求出布设监控的数量； 因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 在中，， 【小问1详解】 解：，，， 在中，， 又河流的长度是， ， 至少要布设个监控； 【小问2详解】 解：如下图所示， 过作于点， 则， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 此时，符合题意， ， 至少需要布设个监控器； 【小问3详解】 解：因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 【点睛】本题考查了勾股定理、方案设计，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，然后再设未知数列方程． 26. 如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点落在上时，求的长； （3）如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 【答案】（1） 证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 由折叠得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）的长是 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得由折叠得则进而即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意作交的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解； （3）根据题意取的中点T、连接进一步得出是等边三角形，并且分析出当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∵点落在上， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴3， ∵ ∴， ∴的长是． 【小问3详解】 解：如图3，取的中点T、连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点F是的中点，T是的中点， ∴3， ∵，且， ∴， ∴的最小值是3； ∵点E是边上的动点， ∴当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大， 如图4，点E与点C重合， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴的取值范围是． 【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 六、解答题（四） 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，D两点坐标分别为A（0，a），D（b，b），且a﹣b＝． （1）求A，D两点坐标； （2）点B，C是x轴上两动点（B在C左侧），且使四边形ABCD为平行四边形． ①如图，当点B，C分别在原点两侧时，连接DO，过点O作OG⊥DO交AB于点G，连接DG，取DG中点H，在DO上截取DE，使DE＝GO，求证：4AH2＋DE2＝2AE2； ②当点B在原点左侧时，过点O的直线MN⊥AB，分别交AB，CD于M，N，试探究OM，BM，CN三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）A（0，5），D（5，5）； （2）①如图，延长AH交CD于点F，连接GF，GE， ∵A，D两点坐标分别为A（0，5），D（5，5）， ∴AO＝AD＝5，∠OAD＝90°， ∴∠AOD＝∠ADO＝45°， ∵OG⊥DO， ∴∠GOD＝90°， ∴∠AOG＝∠GOD－∠AOD＝45°， ∴∠AOG＝∠ADO＝45°， 又∵DE＝GO， ∴（SAS）， ∴AG＝AE，∠GAO＝∠EAD， ∴∠GAO＋∠OAE＝∠EAD＋∠OAE， 即：∠GAE＝∠OAD＝90°， ∴GE²＝AG²＋AE²＝2AE²， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ABCD， ∴∠HAG＝∠HFD， ∵点H为DG的中点， ∴HG＝HD， 又∵∠AHG＝∠FHD， ∴（AAS）， ∴HA＝HF， 又∵HG＝HD， ∴四边形AGFD为平行四边形， ∴GF＝AD＝AO，ADGF， ∴∠AGF＋∠GAD＝180°， 即∠AGF＋∠GAO＋∠OAD＝180°， ∴∠AGF＋∠GAO＝180°－∠OAD＝90°， 又∵∠OAE＋∠EAD＝90°，∠GAO＝∠EAD， ∴∠AGF＝∠OAE， ∴（SAS）， ∴OE＝AF＝2AH， ∵∠GOD＝90°， ∴OE²＋OG²＝GE²， ∴(2AH)²＋DE²＝2AE²， 即：4AH2＋DE2＝2AE2； ②如图，当点C在点O的右侧时，过点C作CK⊥AB于点K， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， 又∵AO＝AD， ∴AO＝BC， ∵MN⊥AB，CK⊥AB， ∴∠AMO＝∠CKB＝90°，MNCK， ∴∠KBC＋∠KCB＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO＋∠BAO＝90°， ∴∠KCB＝∠BAO， ∴（AAS）， ∴OM＝KB＝KM＋BM， ∵ABCD，MNCK， ∴四边形MNCK为平行四边形， ∴KM＝CN， ∴OM＝CN＋BM， 如图，当点C在点O的左侧时，过点C作CK⊥AB于点K， 同理可得：（AAS）， ∴OM＝KB＝BM－KM， 又∵KM＝CN， ∴OM＝BM－CN， 综上所述：OM，BM，CN三条线段之间的数量关系为OM＝CN＋BM或OM＝BM－CN． 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根有意义的条件可得，，由此可得，进而可求得，由此可得A，D两点的坐标； （2）①延长AH交CD于点F，连接GF，GE，先证，可得AG＝AE，∠GAO＝∠EAD，进而可得GE²＝2AE²，再证（SAS），可得OE＝ 2AH，最后再根据OE²＋OG²＝GE²等量代换，即可得证； ②分两种情况讨论：点C在点O的右侧时，点C在点O的左侧时，画出相应的图形，作出正确的辅助线，证明（AAS），由此可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a﹣5＝＝0， ∴， ∴A，D两点坐标分别为A（0，5），D（5，5）； （2）略 【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形和全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $