精品解析：江苏省/苏州市相城区春申中学2024-2025学年八年级数学下学期3月月测试卷

2024 - 2025学年度第二学期学科素养竞赛（一） 八年级数学 （本试卷分三部分，共27题，满分130分，考试用时120分钟．） 一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（　　） A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查漓江流域水质情况 C. 调查桂林电视台某栏目的收视率 D. 调查全班同学的身高 【答案】D 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．从而逐一判断各选项． 【详解】解：A、调查一批灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项不合题意； B、调查漓江流域水质情况，所费人力、物力和时间较多，应当采用抽样调查的方式，故本选项不合题意； C、调查桂林电视台某栏目的收视率，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项不合题意． D、调查全班同学的身高，应当采用全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查的含义，掌握以上知识是解题的关键． 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 平行四边形的对角相等 B. C. 明天太阳从西方升起 D. 小明买彩票将获得500万元大奖 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A. 平行四边形的对角相等，是必然事件，故该选项不符合题意； B.，是不可能事件，故该选项不符合题意； C. 明天太阳从西方升起，是不可能事件，故该选项不符合题意； D. 小明买彩票将获得500万元大奖，是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 5. 为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是（ ） A. 总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体 B. 其中500名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是500 D. 个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间 【答案】B 【解析】 【分析】我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】A．总体是我市八年级学生每天用于学习的时间，故选项正确； B．500名学生每天用于学习的时间是总体的一个样本，故选项错误； C．样本容量是500，故选项正确； D．个体是其中每名学生每天用于学习的时间，故选项正确． 故选：B 【点睛】本题考查的是总体、个体、样本、样本容量等概念．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．” 6. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则平行四边形的面积为（ ） A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着根据利用勾股定理求得长，然后利用平行四边形的面积公式求得答案即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为， 故选：C． 7. 如图，在中，点M是边上的中点，平分，于点N，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】延长BN交AC于D，先证 得出 ， ，结合已知条件得到 为 的中位线，根据中位线的性质得 ，即可求解． 【详解】延长BN交AC于D 平分， 又 ， 点M是边上的中点 为 的中位线 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为边在右侧作等边，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边， ∴， 连接并延长交轴于点，过点作于点， 在矩形中， ∵， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点与不重合时，， 当点与重合时，， 综上所述：， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知x＝﹣1是方程x2+mx+1＝0的一个根，则m＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】可将x＝﹣1代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求出m值． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程可得：1﹣m+1＝0， 解得m＝2． 故填2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 10. 已知平行四边形ABCD中，，则______度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出∠C+∠B=180°，∠B=∠D，再结合已知条件∠C=2∠B，即可得出∠B的度数，进而可求出∠D的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，∠B=∠D， ∴∠C+∠B=180°， ∵∠C=2∠B， ∴2∠B+∠B=180°， 解得：∠B=60°， ∴∠D=60°． 故答案为：60． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解题关键． 11. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________． 【答案】96 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系． 12. 如果a是方程的一个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先由已知可得，即．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值． 【详解】解：把代入得到，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用． 13. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为___形． 【答案】菱 【解析】 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 14. 平面直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则D点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】用平移点的坐标的方法，求点D的坐标即可． 【详解】解：设点D的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE=CF=×2=1， ∵AD//BC， ∴∠DPH=∠FCH， ∵H是DF的中点， ∴DH=FH， 在△PDH和△CFH中 ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD=CF=1， ∴AP=AD-PD=1， ∴PE==， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GH=EP=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键． 16. 如图，，A、B是的边上两定点，，E是边上一动点，分别以为边在上方同侧作正方形、正方形， 则线段的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点M，交于点N，过点D作于点，先计算正方形的边长，然后计算的长，根据垂线段最短可知，当点E与重合时，的值最小，最小值为解题即可． 【详解】如图，设交于点M，交于点N，过点D作于点． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴的最小值为； 【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 三.解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先移项合并同类项，再用直接开平方法求解； （2）用公式求解即可． 【详解】解：（1）移项得， 两边同时除以，,得， 解得， 解：（2）， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 18. 已知关于的一元二次方程有一个根为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，据此可得答案． 【详解】解：把代入方程，得， ∴， 解得或． 又∵原方程是一元二次方程， ∴， ∴． 19. 定义新运算“”：对于实数，有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．求关于的方程的根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义可得，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21. 某中学对全校八年级学生进行体育测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，设测试成绩为分，将成绩分为A，B，C，D四个等级，A级：；B级：；C级：；D级：，根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图， 请根据统计图，解答下列问题： （1）这次调查中共抽查的学生人数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）“D级”部分的扇形圆心角度数为 ； （4）若该校七年级学生有300人，请你估计此次测试中，达到“A级”的学生约有多少人？ 【答案】（1）50 （2） 补全条形图如下： （3） （4）60 【解析】 【分析】（1）利用“级”学生人数除以所占百分比求出总人数即可； （2）先求出“级”学生人数，补全条形图即可； （3）用“级”学生人数所占的比例，进行求解即可； （4）利用总体乘以样本中达到“级”的学生所占的比例，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； ∴在这次调查中共抽查的学生人数为， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：“级”学生人数为：（人）； 【小问3详解】 ； ∴“级”部分的扇形圆心角度数为， 故答案为：36°； 【小问4详解】 （人）； 答：估计此次测试中，达到“级”的学生约有60多少人． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比，求出总数，是解题的关键． 22. 如图所示，在菱形中，两条对角线相交于点O，F是边的中点，连接并延长到E，使，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： F是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2） 证明：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）由矩形和菱形性质可得，，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定及性质、菱形的性质、三角形中位线定理等，掌握判定方法和性质是解题的关键． 23. 已知：如图，在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当的大小为多少度时，四边形是正方形？ 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）当时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，，，根据平行线的性质得出，，进而可得，根据等角对等边得出，进而可得，根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）根据菱形的性质，时，即可证明四边形是正方形，即可求解． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，四边形是正方形． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 24. 如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质及应用，矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识： （1）由四边形是平行四边形，得，而点E是的中点，可得，即知，从而四边形是平行四边形； （2）由，得，， ，四边形是平行四边形，得，从而，即可得四边形的面积为36． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 答：四边形的面积为36． 25. 如图①，在平行四边形中，动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t秒． （1）线段的长为 （用含t的代数式表示）； （2）当平分时，求t的值． （3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是中心对称图形，求此时t的值． 【答案】（1） （2）6 （3）或8或 【解析】 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，然后列方程求解即可； （3）分4种情况列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 由题意得：以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形， 当时，由题意得 ， 解得（舍去）； 当时，由题意得 ， 解得； 当时，由题意得 ， 解得； 当时，由题意得 ， 解得； 综上可知，t的值为或8或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 26. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为． （1）如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； （2）如图②，点E，F分别在边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合，求的长； （3）在②的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形和折叠的性质，结合勾股定理即可求解． （2）如图，过点F作轴于点H．可得，，由折叠知，四边形与四边形全等，可得，，．设，则．求解．设，可得，进一步求解即可； （3）由题意可求出的长，再分类讨论①当线段为边，且点P在y轴右侧时；②当线段为边，且点P在y轴左侧时；③当为对角线时，结合菱形的性质，利用数形结合的思想即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵点B坐标为， ∴． 由折叠可知，． ∴在，． ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点F作轴于点H．四边形是矩形 ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点， ∴． 由折叠知，四边形与四边形全等， ∴，，． 设，则． 在中，，即． 解得：． ∴． 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∴． ①如图，当线段为边，且点P在y轴右侧时． 由题意结合菱形的性质可知，且轴， ∵， ∴此时P点与A点或B点重合． 而，， ∴，， ∴有一个与重合， ∴或． ②如图，当线段为边，且点P在y轴左侧时． 结合（2）得：， ， ∴， ∴， ∴Q点坐标为． ③如图，当为对角线时，可知此时线段与线段互相垂直平分． ∵，，， 设， ∴， 解得：， 故Q点坐标为． 综上，满足条件的点或或或． 【点睛】本题为四边形综合题．考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，线段垂直平分线的性质以及一次函数等知识，综合性强，为困难题．作出辅助线，并学会利用数形结合的思想和分类讨论的思想解题是关键． 27. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题： （1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　° （2）在探究等对角四边形性质时： 小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论； （3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD． 要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等． （4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长． 【答案】（1）140°，75°； （2）证明：如图2，连接BD， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB， ∴∠CBD=∠CDB， ∴CB=CD； （3）如图所示： （4）2或2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=75°，根据多边形内角和定理求出∠C即可； （2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可； （3）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解； （4）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC； ②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可． 试题解析： （1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°， ∴∠D=∠B=75°， ∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°； （2） 略 （3）略 （4）解：分两种情况： ①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示： ∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=10， ∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6， ∵∠EDC=90°，∠E=30°， ∴CD=2， ∴AC=； ②当∠BCD=∠DAB=60°时， 过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示： 则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形， ∵∠DAB=60°， ∴∠ADM=30°， ∴AM=AD=2， ∴DM=2， ∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3， ∵四边形BNDM是矩形， ∴DN=BM=3，BN=DM=2， ∵∠BCD=60°， ∴CN=， ∴BC=CN+BN=3， ∴AC=． 综上所述：AC的长为或． 故答案为140，75． 【点睛】四边形综合题目：考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 - 2025学年度第二学期学科素养竞赛（一） 八年级数学 （本试卷分三部分，共27题，满分130分，考试用时120分钟．） 一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（　　） A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查漓江流域水质情况 C. 调查桂林电视台某栏目的收视率 D. 调查全班同学的身高 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 平行四边形的对角相等 B. C. 明天太阳从西方升起 D. 小明买彩票将获得500万元大奖 4. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 5. 为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是（ ） A. 总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体 B. 其中500名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是500 D. 个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间 6. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则平行四边形的面积为（ ） A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 7. 如图，在中，点M是边上的中点，平分，于点N，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知x＝﹣1是方程x2+mx+1＝0的一个根，则m＝_____． 10. 已知平行四边形ABCD中，，则______度． 11. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________． 12. 如果a是方程的一个实数根，则的值为___________． 13. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为___形． 14. 平面直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则D点坐标为________． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 16. 如图，，A、B是的边上两定点，，E是边上一动点，分别以为边在上方同侧作正方形、正方形， 则线段的最小值为__． 三.解答题（本大题共11小题，共82分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有一个根为，求的值． 19. 定义新运算“”：对于实数，有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．求关于的方程的根． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 21. 某中学对全校八年级学生进行体育测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，设测试成绩为分，将成绩分为A，B，C，D四个等级，A级：；B级：；C级：；D级：，根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图， 请根据统计图，解答下列问题： （1）这次调查中共抽查的学生人数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）“D级”部分的扇形圆心角度数为 ； （4）若该校七年级学生有300人，请你估计此次测试中，达到“A级”的学生约有多少人？ 22. 如图所示，在菱形中，两条对角线相交于点O，F是边的中点，连接并延长到E，使，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 23. 已知：如图，在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当的大小为多少度时，四边形是正方形？ 24. 如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积． 25. 如图①，在平行四边形中，动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t秒． （1）线段的长为 （用含t的代数式表示）； （2）当平分时，求t的值． （3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是中心对称图形，求此时t的值． 26. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为． （1）如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； （2）如图②，点E，F分别在边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合，求的长； （3）在②的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 27. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题： （1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　° （2）在探究等对角四边形性质时： 小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论； （3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD． 要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等． （4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $