2.5.1直线与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系 1 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心(a,b)，半径 r 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 圆心()，半径 r= 复习回顾 问题1:直线与圆有几种位置关系？ 直线和圆相交 两个公共点 直线和圆相切 一个公共点 直线和圆相离 没有公共点 探究新知 3 问题2：如何判断直线与圆的关系？ 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 探究新知 问题3：类比用方程研究两条直线位置关系的方法，如何用直线与圆的方程研究它们的位置关系？ 两直线的位置关系 联立两直线方程 方程组解的情况 直线与圆的位置关系 联立两直线方程 方程组解的情况 探究新知 例1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 消元(消x或y) 计算△(或直接求根) 判断符号(或根的个数) 得出结论 联立方程组 代数法的基本步骤： 题型一：直线与圆位置关系的判断以及求弦长 例题讲解 6 例1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 几何法的基本步骤： 解法2：圆的方程 可化为， 圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线的距离 . 所以，直线与圆相交，有两个公共点. 由垂径定理，得. 计算弦心距d 比较d，r 得出结论． 求圆心坐标和半径r 题型一：直线与圆位置关系的判断 例题讲解 7 判断直线与圆位置关系的方法 法一：(代数法)联立方程组 两组解 一组解 无解 法二：(几何法)计算圆心到直线的距离d d < r d = r d > r 两个公共点 相交 一个公共点 相切 没有公共点 相离 1.直线与圆的位置关系 例2.已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系; （2）若直线l与圆C交于不同的两点A,B,且|AB|=3 ,求直线l的方程. 分析:(1)利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断或利用直线的定点与圆的位置关系判断. (2)利用半径、弦的一半和弦心距的关系,求出圆心到直线的距离,再由此求m值,即得l的方程. 题型二：直线与圆相交 例题讲解 例2.已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系; (2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,且|AB|=3 ,求直线l的方程. 题型二：直线与圆相交 例题讲解 例2.已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系; (2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,且|AB|=3 ,求直线l的方程. 题型二：直线与圆相交 例题讲解 过某点的切线条数： A A A 点在圆内 点在圆上 点在圆外 没有切线 1条切线 2条切线 2.直线与圆相切 点在圆上时，这一点A就是切点 例3.(1)圆Q: x2+y2-4x=0过点P(1,)处的切线方程为____________.　　　　　　　　　　　 　　　　　　 题型三：直线与圆相切 xy+2=0 (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 例题讲解 例3.(2)过点作圆的切线，求切线的方程. 解法1：设，即. 由圆心到切线的距离等于圆的半径，得， 解得或. 因此，所求切线的方程为，或. 题型三：直线与圆相切 总结： ①设切线方程（注意斜率存不存在）； ②根据圆心到切线的距离d=r，解k 几何法 例题讲解 例3.(2)过点作圆的切线，求切线的方程. 解法2：设， 消元， 得. 方程只有一个解， 所以， 解得或. 所以，所求切线的方程为，或. 题型三：直线与圆相切 总结： ①联立直线与圆的方程 ②消元，得到一个一元二次方程 ③令∆=0，解k； ④将k代回直线方程. 代数法 例题讲解 1. 过点M(2,3)且与圆x2+y2-2x=0相切的直线方程为 (　　) A.4x-3y+1=0　　　　B.x=2或3x-4y+6=0 C.3x-4y+6=0　　　　D.x=2或4x-3y+1=0 2.已知直线4与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程. 练习： D 1.直线与圆的三种位置关系. 2.圆的弦长问题：几何法和代数法 3.圆的切线问题. 课堂小结 2.5.1直线与圆的方程的应用 18 例1.图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到). A B A1 A2 A3 A4 O P P2 x y 解：建立如图所示的直角坐标系，. 设圆的方程是. 于是解得. 所以，圆的方程是. 把点的横坐标代入圆的方程， . 答：支柱的高度约为. 题型一：直线与圆的方程的实际应用 例题讲解 19 1.建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点，直线，圆，将平面几何问题转化为代数问题； 2.通过代数运算，解决代数问题； 3.将代数运算结果“翻译”成几何结论． 坐标法解决有关直线与圆的位置关系的实际问题的步骤 归纳总结： 例2.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解：如图，建立直角坐标系.取为单 位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为. 受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为； 题型一：直线与圆的方程的实际应用 例题讲解 例2.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解：轮船航线所在直线的方程为 即联立直线与圆的方程，得 消去，得. 由，可知方程组无解. 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 题型一：直线与圆的方程的实际应用 例题讲解 例3.已知实数满足方程 (1)求的最大值和最小值； 解：原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设，即. 当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小 值，此时，解得(如图). 所以的最大值为，最小值为. 题型二：与圆有关的最值问题 例题讲解 例3.已知实数满足方程 (2)求的最大值和最小值. 解：原方程可化为，表示以为圆心， 为半径的圆. (2)可看作是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值， 此时，解得(如图). 所以的最大值为，最小值为. 题型二：与圆有关的最值问题 例题讲解 例3.已知实数满足方程 （3）求的最大值和最小值. 解：又圆心到原点的距离为， 所以的最大值是， 的最小值是. 题型二：与圆有关的最值问题 例题讲解 与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 归纳总结： 1.直线与圆的方程的实际应用. 2.与圆有关的最值问题 课堂小结 $$