2025年俄罗斯沙雷金几何奥林匹克决赛数学试题（十年级对应国内高一年级）

十年级 2025年沙雷金几何奥林匹克决赛试题 1.两个平行四边形KL1M1N1、KL2M2N2内接于凸四边形ABCD,其中K 是AB的中点，L1、M、N1与L2、M2、N2分别在边BC、CD、DA上.能 否使其中一个平行四边形的面积小于四边形面积的一半，且另一个的面积大于 四边形面积的一半？ 2.设I是不等边△ABC的内心，P、Q是一组等角共轭点，且AP‖IQ‖BC 证明：AP=AB-AC. 3.空间中是否存在6点A1,.,A6,使得△A1A2A3与△A4A5A6相链接，且 将这些点分成任意其他两个三元组所对应的两个三角形均不相链接？（空间中两 个三角形相链接是指一个三角形的边界与另一个三角形的内部恰好交于一点.) 4.设M、H、L分别是△ABC的重心、垂心、莱莫恩点.点S满足⊙SLH、 ⊙SML均与MH相切，L是L关于△ABC外接圆的对称点.证明：SL'‖MH, 5.在正三角形ABC内部随机取一点P,求存在以AP、BP、CP为边长的 锐角三角形的概率（点在某区域内的概率与该区域的面积成正比）. 6.设2与wa分别是某△ABC的外接圆与A旁切圆，I6、Ic是另外两个旁 切圆的圆心，A、A。分别是AB、AC的延长线与wa的切点，证明：直线AbI 与AI。的交点不依赖于△ABC. 7.设ABCD是圆内接四边形，某一圆锥曲线经过A、B、C、D.考虑该圆锥 曲线关于△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的等角共轭像（四条直线）.证 明：这四条直线构成的四边形是外切四边形（有内切圆）· 8.设△ABC是锐角三角形，直线l分别与AB、AC及直线BC交于点C1、 B1、A1·圆wa与BC切于A,且与△ABC外接圆的劣弧BC相切；圆wb w。定义类似，证明：这三个圆有一条公切线，