21.5 一元二次方程的应用（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

21.5 一元二次方程的应用 题型一、传播问题(一元二次方程的应用) 1．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学 每名同学要送出张； 又是互送纪念卡， 总共送的张数应该是． 故选：D． 2．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 3．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意正确列出一元二次方程即可． 【详解】解：有两人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中有个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 根据题意列方程得：， 整理得：， 故答案为： ． 4．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据“转发两轮后共有91人被邀请参与该活动”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 5．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 题型二、增长率问题(一元二次方程的应用) 1．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 2．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．掌握“设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为”是解决本题的关键．设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，根据三月份的营业额为288万元，列方程即可． 【详解】解：设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额在二月份基础上再增长，即万元， 根据题意：， 故选：A． 3．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：设月平均降价率为x， 则 ． 解得：（不合题意，舍去） 2月份、3月份的平均月降价率为． 故答案为：． 4．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设两周平均每周上涨的百分率为，根据两周的增长情况列出方程即可． 【详解】解：设两周平均每周上涨的百分率为，依题意得， ， 故答案为：． 5．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． （2）解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 题型三、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 1．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 2．为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 【答案】15 【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），． 所以，该正方形空地的边长为15米， 故答案为：15． 3．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【分析】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键． 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 4．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 题型四、数字问题(一元二次方程的应用) 1．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 2．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 3．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 4．若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； 设这个数为，列方程解方程即可求解； 【详解】解：设这个数为， 根据题意可得：， 解得：，， 故答案为：或 题型五、其他问题(一元二次方程的应用) 1．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的支队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比赛），因此总比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设有支队伍参赛， 由题意得，， 故选：C． 2.某“研究”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的生长规律：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出x个小分支．现在1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支”，可得出共长出个小分支，结合1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：B． 3.新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．因为每两人互发一条祝福短信，则每个人都要发条，据此列出方程即可． 【详解】解：设全班有名同学， 由题意得， 故答案为：． 4.根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 题型六、握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 1.某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查单循环比赛场次的计算，根据题意建立方程求解班级数，即可解答． 【详解】解：设该校八年级共有个班级．单循环赛制下，每两个班级比赛一场，总场次为组合数．根据题意，总场次为21场，列方程： 两边同乘2，整理得： 解此二次方程，判别式，根为： 取正根得． 验证：当时，总场次为，符合条件． 因此，该校八年级共有7个班级． 故选B． 2.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 3.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），即可列出关于一元二次方程． 【详解】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： ． 故答案为： ． 4.某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球队要和除自己以外的个球队进行次比赛，所以个球队进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排 21场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得：， 解方程可得：（舍去）， 答：应邀请7个球队参加比赛． 故答案为：7． 题型一、图表信息题(一元二次方程的应用) 1．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 2．电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 4．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 题型二、营销问题(一元二次方程的应用) 1．为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 依题意得： 故选：D． 2．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得， ，即 故选：D． 3．某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价 元． 【答案】10或20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每条连衣裙降价x元，则每天售出条，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每条连衣裙降价x元，则每天售出条， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 即：每条连衣裙应降价10元或20元． 故答案为：10或20． 4．某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设该网店降价元， 则根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩， 故答案为． 5．今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 题型三、动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 2．如图，在中，，，，动点分别从点A，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 设出点，运动秒，能使四边形的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒后，能使四边形的面积为， 则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得， ， 化简得， 解得，； 当时，，不合题意，舍去． 即． 动点，运动3秒时，能使四边形的面积为． 故选：A． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 题型四、工程问题(一元二次方程的应用) 1．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 2．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 题型五、行程问题(一元二次方程的应用) 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 3．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 4．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 5．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 1．两个连续整数的积是42，则这两个数为 ． 【答案】或6，7 【分析】本题考查一元二次方程的应用；表示出两个连续整数的积的等量关系是解决本题的关键． 连续整数相差1，等量关系为：较小的数较小的数，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设较小的数为x． 根据题意，得， 解得 则或7， 故答案为：或6，7． 2.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 3.某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种5棵桃树 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设多种x棵树，根据总产量等于每棵桃树的产量乘以桃树的数量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设多种x棵树， 则， 整理得：， 解得， 答：应多种5棵桃树． 4．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 5．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 6．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 试卷第1页，共3页 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.5 一元二次方程的应用 题型一、传播问题(一元二次方程的应用) 1．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 2．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ． 3．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 4．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ． 5．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 题型二、增长率问题(一元二次方程的应用) 1．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 2．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 3．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ． 4．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ． 5．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 题型三、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 1．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 3．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 4．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 题型四、数字问题(一元二次方程的应用) 1．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 2．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 3．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 4．若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 题型五、其他问题(一元二次方程的应用) 1．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 2.某“研究”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的生长规律：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出x个小分支．现在1个主干上有“枝干、小分支”数量之和为56，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3.新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程 ． 4.根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 题型六、握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 1.某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3.2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 4.某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 题型一、图表信息题(一元二次方程的应用) 1．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    2．电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 3．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 4．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 题型二、营销问题(一元二次方程的应用) 1．为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 3．某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价 元． 4．某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒． 5．今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 题型三、动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 2．如图，在中，，，，动点分别从点A，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 题型四、工程问题(一元二次方程的应用) 1．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 2．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 3．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 题型五、行程问题(一元二次方程的应用) 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 3．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 4．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 5．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 1．两个连续整数的积是42，则这两个数为 ． 2.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 3. 某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 4．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 5．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 6．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 试卷第1页，共3页 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$