1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.若正方形的一条对角线的长为，则这个正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 2.如图，四边形是正方形，延长到点，使，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为若，则线段的长为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方形中，对角线，相交于点，则图中的等腰直角三角形有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.如图，正方形的边长为，点，分别是对角线上的两点，，，，垂足分别为，，，则图中阴影部分的面积等于(    ) A. B. C. D. 7.如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线交于点，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是边长为的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点，作于点，于点，若，，则的长为_________． 10.如图，在中，，垂直平分，，当满足条件________时，四边形是正方形．要求：不再添加任何辅助线，只需填一个符合要求的条件 11.如图，正方形的边长为，点在边上，且，若点在对角线上移动，则的最小值是______． 12.如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是________． 13.如图，有一块边长为的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角尺的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是__________． 14.如图，正方形，是上一点，，于，则的长为______． 15.如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接若，则______ 16.把三张大小相同的正方形卡片、、叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图摆放时，阴影部分的面积为；若按图摆放时，阴影部分的面积为，则_______ 填“”、“”或“” 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 如图，四边形是正方形，为上一点，连接，延长至点，使得，过点作，垂足为，求证：． 18.本小题分 如图，四边形是正方形，是等边三角形． 求证：≌； 求的度数． 19.本小题分 已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，． 求证：； 连接交于点，延长至点，使，连接，，判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 20.本小题分 如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，连接． 求证：≌； 求证：． 21.本小题分 如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图、图中按要求作图保留作图痕迹，不写作法． 在图中，在边上求作一点，连接，使； 在图中，在边上求作一点，连接，使． 22.本小题分 如图，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与． 求证：； 求证：； 如图，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质．解题关键是知道正方形的面积除了用“边长乘以边长”外，还有一种重要的计算方法，即：对角线乘积的一半．解题时，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，列式计算即可得求解． 【解答】 解：正方形的一条对角线长为， 这个正方形的面积． 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质 根据正方形的性质和等腰三角形的性质定理即可得到结论． 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ． ． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据比例可求解的长，设，根据勾股定理可列方程，解方程即可求解的值． 【解答】 解：设，则． ，， ． 在中，，即， 解得，即． 故选B． 4.【答案】  【解析】解：把绕点顺时针旋转到的位置， 四边形的面积等于正方形的面积等于， ， ， 中，． 故选：． 利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质：四边相等，对角线相等且互相平分．以及等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形． 先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得，，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数． 【解答】 解：正方形中，对角线，相交于点， ，， ，，，，，，，都是等腰三角形，一共个． 故选C． 6.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， 直线是正方形的对称轴， ，，，垂足分别为，，，． 根据对称性可知：四边形的面积与四边形的面积相等， ， 故选：． 根据轴对称图形的性质，解决问题即可； 本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 7.【答案】  【解析】【分析】 根据正方形的性质得到，由作图知，，根据三角形的内角和即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键． 【解答】 解：四边形是正方形， ， 由作图知，， ， 故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【解答】 解：由旋转变换的性质可知，≌， ，， ，， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质．将的长度转化为与已知长度的线段和数量关系是解题的关键．根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得≌，然后由全等三角形的对应边相等推知、，所以． 【解答】 解：是正方形已知， ，； 又， 等量代换； 于点，于点， 在和中， ， ≌， ，全等三角形的对应边相等， ． 故答案为． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件．由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形是正方形推出． 【解答】 解：设，即为等腰直角三角形， ，垂直平分，， ， ， ， ， 四边形是正方形， 故答案为． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了轴对称最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 在上取，则与关于对称，连接与交于点，此时最小，求出的长即为最小值． 【解答】 解：在上取，则与关于对称，连接与交于点，此时最小，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则的最小值为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理． 根据正方形的性质，可得与的关系，的度数，根据等边三角形的性质，可得与的关系，的度数，根据等腰三角形的性质，可得与的关系，根据三角形的内角和，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【解答】 解：四边形是正方形， ，． 等边三角形， ，． ， ， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 故答案为：． 根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：正方形中，， ，， ，，， ≌， ， 是的外角， ， 故答案为：． 根据正方形的性质，即可得到，，依据全等三角形的对应角相等，即可得到，再根据三角形外角性质，即可得到的度数． 本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了完全平方公式，利用正方形四条边相等的性质分别得出和的面积是解题关键．根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较和的大小． 【解答】 解：设底面的正方形的边长为，正方形卡片，，的边长为， 由图，得， 由图，得， ． 故答案为． 17.【答案】证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中， ≌， ．  【解析】根据证明≌，可得结论． 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键． 18.【答案】证明：四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌． ，， ， ， ，同理可得， ．   【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．属于中考常考题型． 根据正方形、等边三角形的性质，可以得到，，由此即可证明； 只要证明，即可解决问题； 19.【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ； 解：四边形是菱形，理由为： 证明：四边形是正方形， 正方形的对角线平分一组对角， 正方形四条边相等， 已证， 等式的性质， 即， 在和中， ≌， ，又， 四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形．  【解析】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证≌； 由于四边形是正方形，易得，；联立的结论，可证得，根据等腰三角形三线合一的性质可证得即垂直平分；已知，则、互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 20.【答案】证明：在正方形中，，， 在和中， ， ≌； 由知，≌， ，                             ， ， ， 对顶角相等， ， 即， ， ， ．  【解析】根据正方形的性质得出，再根据全等三角形的判定证明即可； 根据全等三角形的性质得出，再利用对顶角相等和平行线性质证明即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键． 21.【答案】解：连接，与交于点，连接并延长交于，则与的交点为点，如图， 延长交于，连结，则为所作，如图．   【解析】连接，与交于点，连接并延长交于，则与的交点为点可先证明≌，再证明≌，从而可得； 连接并延长与交于点，连接，则理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证≌，所以，由于，，所以≌，则，从而可得． 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22.【答案】证明：，点是的中点， ， 正方形中，，点是的中点， ， ； 证明：，， ，， ， 在正方形中，， ， ； 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，延长交于， ，， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ≌， ，， ，， ， 即， 等腰三角形三线合一，， 是等腰直角三角形．  【解析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形的判定． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得证； 根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据正方形的对角线平分一组对角求出，求出，从而得证； 延长交于，先求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 第8页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$