23.3 课题学习 图案设计（分层作业）数学人教版九年级上册

23.3 课题学习 图案设计 题型一 求旋转对称图形的旋转角度 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 2．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 3．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 4．（2025·陕西咸阳·二模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 题型二 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 2．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 3．（23-24九年级上·山东临沂·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）．    1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、  B、C为顶点的格点四边形． (1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形． (2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形． 3．（2023·吉林·一模）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 4．（2022·吉林长春·一模）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上． 图1              图2              图3 (1)在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.3 课题学习 图案设计 题型一 求旋转对称图形的旋转角度 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】45 【分析】本题考查了旋转对称图形．观察图形可得，图形由8个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转8次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：45． 3．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【答案】72 【分析】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用，解题的关键是熟知旋转的性质． 【详解】解：观察图形，五角星图案可以被平分成五部分， ∴，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ∵五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合， ∴， 故答案为：72． 4．（2025·陕西咸阳·二模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度即可． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：72． 题型二 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【答案】(1)中心，轴 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可． 【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等）， ． 2．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案的知识．根据轴对称图形及中心对称图形的概念，设计图案即可． 【详解】解：所画图形如图所示． ． 3．（23-24九年级上·山东临沂·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可） (2)见解析 【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； （2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的概念即可得到结果． 【详解】解：答案不唯一，如图所示：   ． 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、  B、C为顶点的格点四边形． (1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形． (2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转性质设计图案，利用轴对称设计图案，熟练掌握特殊四边形的轴对称和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出平行四边形即可； （2）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出等腰梯形即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：如图，四边形即为所求． 3．（2023·吉林·一模）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点、，连接、、即可； （3）取格点、，连接、、即可． 【详解】（1）解：取格点，连接、，取格点，连接， ∵图①是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴等腰面积为，且点在小正方形的顶点上， 则即为所作； （2）取格点、，连接、、， ∵图②是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形， 则四边形即为所作； （3）取格点、，连接、、即可， ∵图③是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 4．（2022·吉林长春·一模）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上． 图1              图2              图3 (1)在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图，以点C为对称中心画出△DEC； （2）如图，以AC边所在的性质为对称轴画出△ADC； （3）如图，利用网格特点和平行四边形性质画出点D，从而得到. 【详解】（1）解：如图，△DEC为所作； （2）解：如图，△ADC为所作； （3）解：如图，为所作. 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$