2.3确定二次函数的表达式 第2课时课件2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3 确定二次函数的表达式 第2课时 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 确定二次函数的表达式 1.会用待定系数法求二次函数的解析式. 2.能灵活运用二次函数的不同形式求函数解析式. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式? 二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题1 二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 　例 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解: 设所求二次函数的表达式为 y = ax2+bx+c. ∵该图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)， a = 2， ∴ 10 = a-b+c， 7 = 4a+2b+c， c = 5. 解得 4 = a+b+c b = -3， ∴二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 . ∴所求二次函数表达式为 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax2+bx+c； ② 代入后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a,b,c 的值； ④ 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练一练 1. 已知抛物线与x轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点 M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 合作探究 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A( 1,0 )，B( 5,0 )，且过点 C( 0,-5 )．求抛物线的解析式. 解：C( 0,-5 )代入y＝ax2＋bx＋c中 得c=5， ∴ y＝ax2＋bx＋5 ，将点A( 1,0 )，B( 5,0 )代入 得 即y＝-x2＋6x－5. a+b+5=0， 25a+5b+5=0， 解得 还有其他方法吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A( 1,0 )，B( 5,0 )，且过点 C( 0,-5 )．求抛物线的解析式. A( 1,0 )，B( 5,0 ) 图象的对称性 对称轴为x=3 y=a(x-3)2+k 代入A( 1,0 )，B( 5,0 ) 求出a，k 化为一般式 y＝ax2-6ax＋3 代入A( 1,0 )，B( 5,0 ) 求出a,b 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点A( 1,0 )，B( 5,0 )，且过点 C( 0,-5 )．求抛物线的解析式. 解：∵抛物线与x轴交于点 A( 1,0 )，B( 5,0 )， ∴可设抛物线解析式为 y＝a(x－1)(x－5)， 把( 0,-5 )代入得：5a＝-5，解得，a＝-1， 故抛物线的解析式为y＝-(x－1)(x－5)， 即y＝-x2＋6x－5. y＝a(x－x1)(x－x2) 叫做交点式 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 归纳总结 这种通过设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，求二次函数表达式的方法叫做交点式法. 其步骤是： ①设函数表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)； ②先代入交点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. x1, x2表示函数与x轴交点的横坐标. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练一练 2.已知二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3)，求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为 y = a(x－1)(x－3), 即 y = －3x2＋12x－9. 3 = a(2－1)×(2－3) 解得 a = －3. 所以二次函数的表达式为y = －3(x－1)(x－3), 交点式 将点(2,3)代入表达式，得 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，求这个二次函数的解析式. 分析：A(0，1)，C(2，1) 两点纵坐标 相同，为 1， ∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于 (0，0)，(2，0) 两点的二次函数 y = a(x-0)(x-2)， 向上平移 1 个单位得 y = a(x-0)(x-2)+1. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 1.设：解析式 设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1. 2.代：坐标代入 再把点 (1，2) 代入上式得 ∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2， 3.解：方程(组) 解得 a = -1. 4.还原：写出解析式 ∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1， 即 y = -x2 + 3x + 1. 还有其他的方法吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 解：如图所示，点A、点C 纵坐标相同， 抛物线的对称轴为 x = = 1. 将 A(0，1)代入解析式中，得 解得 a = -1. 顶点式方法 ∴ 二次函数的解析式是 y = -x2 + 3x + 1. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 A B C 设抛物线为 y = a(x - 1)2 + 2 1 = a(0 - 1)2 + 2 则顶点为 B(1，2). 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练习 1.已知一个关于x的二次函数，当x分别为1,2,3时，对应函数值分别为 3,0,4，求这个二次函数的表达式. 解：设该抛物线的解析式为y = ax2＋bx＋c,根据题意， 得 a＋b＋c = 3， 4a＋2b＋c = 0， 9a＋3b＋c = 4， 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 2、已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5）， 所以设y=a(x+3)²＋5 又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)²＋5 ∴a=－2 ∴所求的函数解析式为y= –2(x+3)²＋5 即y= –2x²–12x–13 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x-h)2+k 用交点法：y = a(x-x1)(x-x2) (x1，x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$