精品解析：山东省青岛市崂山区崂山区实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八（下）第一次月考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 7. 如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　）． A. x>3 B. x<1 C. x>1 D. x<3 9. 等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④． 其中始终成立的有（ ） A. ②③④ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式9﹣3x＞0的非负整数解是_____． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 13. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买________支钢笔． 14. 在ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝______cm 15. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 三、作图题（8分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 四、解答题 18. 解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来 （1） （2） 19. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可打几折？ 20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 21. 某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展.学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元. （1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 22. 已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． （1）求证：AE＝BF； （2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明． 23. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价每人均为500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选择哪家旅行社？ 24. 知：把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∠A＝30°，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEE从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发．以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动．点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题： （1）用含t的代数式表示线段CQ＝　 　，线段AP＝　 　． （2）当t为何值时，∠BPE＝90°． （3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上． （4）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八（下）第一次月考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据不等式的性质两边同时除以即可求解． 【详解】解：， 不等式的两边同时除以，得． 故选：C． 2. 等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用平角定义，分的角是底角的外角和顶角的外角两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：①当的角是底角的外角时，则底角度数为， 则它的顶角为； ②当的角是顶角的外角时，则顶角度数为； 综上，这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据不等式的基本性质逐一进行判断即可． 【详解】解：、，，本选项不符合题意； 、，，本选项不符合题意； 、，，本选项不符合题意； 、，，本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，是解答本题的关键． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 5. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理解答. 【详解】在△ABC和△DCB中， , ∴(SAS), 故选：A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键. 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 7. 如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】∵∠A=30°，∠C=90°， ∴∠CBD=60°． ∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合， ∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°． ∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE， ∴△BCE≌△BDE． ∴CE=DE． ∵AC=6，∠A=30°， ∴BC=AC×tan30°=2． ∵∠CBE=30°． ∴CE= BC×tan30°=2．即DE=2． 故选D． 考点：1．勾股定理2．解直角三角形 8. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　）． A. x>3 B. x<1 C. x>1 D. x<3 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点， 观察图象可得当时，， 即不等式的解集为． 故选 9. 等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论． 分为两种情况：①高在内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高在外时，求出，根据平角的定义求出即可． 【详解】解：①如图， 是的高，，， ， ②如图， 是边 上的高，， ， ， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故选：C． 10. 已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④． 其中始终成立的有（ ） A. ②③④ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵中，，，点P是中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵、不是定值， ∴不是定值， ∵为定值， ∴不一定与相等，故①错误； ②∵，，， ∴和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到，故②正确； ③∵，， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上分析可知，②③④正确，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形面积的计算，解题的关键是证明，． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式9﹣3x＞0的非负整数解是_____． 【答案】0、1、2 【解析】 【分析】首先移项，然后化系数为1即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解． 【详解】解：9﹣3x＞0， ∴﹣3x＞﹣9， ∴x＜3， ∴x的非负整数解是0、1、2． 故答案为0、1、2． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 13. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买________支钢笔． 【答案】13 【解析】 【详解】解：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔， 根据题意，可得，可求得y≤ 因为y为正整数，所以最多可以买钢笔13支． 故答案为：13． 14. 在ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝______cm 【答案】3 【解析】 【分析】先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 15. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=3，即可得出选项． 【详解】 解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∴∠C+∠CBD=90°， ∵∠A=90° ∴∠ABD+∠ADB=90°， ∵∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， ∵AD⊥AB， ∴DP=AD， ∵AD=3， ∴DP的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小，是解题的关键． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 三、作图题（8分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题 18. 解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来 （1） （2） 【答案】（1）， 不等式的解集在数轴上表示如下： （2） 【解析】 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，进而把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，进而把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得 【小问2详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 19. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可打几折？ 【答案】至多可打八八折 【解析】 【分析】根据公式：利润率=利润÷进价×100%，设至多可打x折，即可列出不等式，求出不等式的解集即可完成． 【详解】解：设至多可打x折， 由题意得： 解得： 答：至多可打八八折． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，熟练掌握利润率公式：利润率=利润÷进价×100%，是解题关键． 20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】 （1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【解析】 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 21. 某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展.学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元. （1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 【答案】（1）1个甲种乒乓球的售价是5元，乙种售价是7元；（2）当购买甲种乒乓球150只，乙种乒乓球50只时最省钱． 【解析】 【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是元，1个乙种乒乓球的售价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种乒乓球只，则购买乙种乒乓球只，费用为元，根据题意列出费用关于a的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）设1个甲种乒乓球的售价是元，1个乙种乒乓球的售价是元， ，解得，， 答：1个甲种乒乓球的售价是5元，乙种售价是7元； （2）设购买甲种乒乓球只，则购买乙种乒乓球只，费用为元， ， ∵，∴， ∴当时，取得最小值，此时，， 答：当购买甲种乒乓球150只，乙种乒乓球50只时最省钱． 【点睛】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题/一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用一次函数的性质解决最值问题． 22. 已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． （1）求证：AE＝BF； （2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明． 【答案】 （1）证明：连接AD．记AB的垂直平分线交AB于M，如图所示： ∵DM垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DEA＝∠DFC＝90°， 在Rt△DEA和Rt△DFB中，， ∴Rt△DEA≌Rt△DFB（HL）， ∴AE＝BF． （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 在Rt△CDE和Rt△CDF中，， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL）， ∴CE＝CF， 由（1）得：Rt△DEA≌Rt△DFB， ∴AE＝BF＝7， ∴CF＝BC+BF＝10+7＝17， ∴AC＝AE+CF＝7+17＝24， ∴BC2+AC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线性质可得BD＝DA，可证Rt△ADE≌Rt△BDF，可得AE＝BF； （2）根据Rt△CDE≌Rt△CDF得出CE＝CF，求出AC＝24，由勾股定理的逆定理即可得出结论； 【详解】略 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，熟练的应用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解本题的关键. 23. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价每人均为500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选择哪家旅行社？ 【答案】带领4名学生时，两家旅行社费用相同；当学生小于4人时，选择乙旅行社便宜；当学生大于4人时，选择甲旅行社便宜． 【解析】 【分析】设甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元，然后讨论：若，，，分别求出对应的x的取值范围，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】解：设甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元，根据题意得 ， ， ①当，即时，解得， 故带领4名学生时，两家旅行社费用相同； ②当，即时，解得， 故学生小于4人时，选择乙旅行社便宜； ③当，时，解得， 故学生大于4人时，选择甲旅行社便宜． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出一次函数关解析式，然后比较函数值的大小得到对应的x的取值范围，从而确定省钱的方案． 24. 知：把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∠A＝30°，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEE从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发．以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动．点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题： （1）用含t的代数式表示线段CQ＝　 　，线段AP＝　 　． （2）当t为何值时，∠BPE＝90°． （3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上． （4）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t，12-2t； （2）1.2 （3） （4）解：不存在某个时刻直线PQ把△ABC的周长与面积同时平分 当直线PQ平分△ABC的周长时，则有：， ∴， 解得：， ∴， 过点Q作QH⊥AB于点H，如图所示： ∴， ∴， ∵S△ABC=， ∴， ∴不存在某个时刻直线PQ把△ABC的周长与面积同时平分． 【解析】 【分析】（1）由题意可知EC=t，BP=2t，然后根据等腰直角三角形和含30度直角三角形的性质可进行求解； （2）由题意可知∠B=60°，则有∠BEP=30°，然后根据含30度直角三角形的性质可得4t=6-t，进而问题可求解； （3）由题意得AP=AQ，则有，进而问题可求解； （4）由题意易得，然后可求出此时t的值，进而可得△APQ的面积，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∠A＝30°，BC＝6cm，EF＝9cm， ∴，， ∴，△ECQ是等腰直角三角形， 由题意得：EC=t，BP=2t， ∴； 故答案为t，12-2t； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，BP=2t， ∴， ∵∠BPE＝90°， ∴∠BEP=30°， ∴4t=6-t，解得：， 即当时，∠BPE＝90°； 【小问3详解】 解：∵点A在线段PQ的垂直平分线上， ∴AP=AQ， ∴， 解得：， 即当时，点A在线段PQ的垂直平分线上； 【小问4详解】 略 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $