专题1.3集合的基本运算重难点题型专训（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测)-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第一册）

专题1.3集合的基本运算重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九 容斥原理的应用 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 集合新定义 题型十二 利用Venn图求集合 拓展训练一 交并补运算及其混合运算 拓展训练二 集合及参数的求解问题 拓展训练三 交并补在集合新定义中的应用 知识点一：并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 【即时训练】 1.（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的并集的定义进行运算即可. 【解答过程】因为集合，， 则． 故选：． 2.（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合并集运算的定义求解. 【解答过程】，， . 故选：A. 知识点二：补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【即时训练】 1.（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）若全集，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义结合补集运算即可判断. 【解答过程】因为，， 所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集， 又，且，所以. 故选：D. 2.（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】已知全集和，可求出集合，逐个验证选项. 【解答过程】全集，，∴，只有选项A正确， 故选：A. 知识点三：Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【即时训练】 1.（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先求得集合，得到，结合，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 因为，可得， 所以阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 2.（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据图中阴影部分表示的集合的含义，即可得答案. 【解答过程】由图中阴影部分可知，阴影部分相应的元素要么在集合的交集中， 要么在集合的交集中， 故阴影部分用集合符号可以表示为， 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：①中考的物理成绩不低于80分；②中考的数学成绩不低于70分，如果满足条件①的同学组成的集合记为P，满足条件②的同学组成的集合记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢? 【答案】 【分析】根据题意即可得到三者之间的关系. 【详解】能成为科学兴趣小组成员的必须要同时满足条件①和②，是这两个条件的共同部分，由此得. 1．（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知,然后求交集即可. 【详解】由题可知， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】由集合，得，而， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集集合则 . 【答案】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由可得：. 故答案为： 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，，．求：，，． 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为 所以；；， 所以. 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高二下·四川凉山·期末）设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得所满足的条件，即可求解. 【详解】因为，，集合中有且仅有2个元素， 则，所以实数的取值范围为. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 1．（2025·甘肃白银·三模）已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（   ） A．2个 B．3.个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由集合间的基本关系求解即可. 【详解】因为集合，， 且，，所以满足， 则集合有，，，，共4个. 故选：C 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义可求得的值. 【详解】由，，且，则得. 故选：B. 3．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 4．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，转换为与的公共解问题，计算可求得； （2）若，原问题等价于方程无解，解方程即可求得m的范围. 【详解】（1）集合，， 当时，， 由方程组，解得：或， 所以 （2）若，即为：与无公共解， 原问题等价于方程：无解， 则，解得：. 所以实数m的取值范围. 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得. 故选：D. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的并集： (1)，； (2)， 【答案】(1)； (2) 【分析】根据定义求并集即可. 【详解】（1）由并集定义可知：； （2）由并集定义可知：. 1．（24-25高二下·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的运算规则运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集定义计算求解. 【详解】集合，集合， 则． 故选：D. 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】集合， 集合， 则 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）已知全集为R，集合，，求； 【答案】 【分析】根据集合的并集定义运算求解即可. 【详解】集合，，所以． 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】解方程求出集合，根据即可确定参数的值. 【详解】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用交集运算求解即可； （2）由可得，进而求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又， 所以． （2）因为，所以或． 因为， 所以， 解得， 故实数的取值范围为． 1．（24-25高三下·河南·阶段练习）设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论和的情况，结合并集结果可确定结果. 【详解】若，则，此时，，则，不合题意； 若，则或， 当时，，，则，不合题意； 当时，，，则，符合题意； 根据集合元素间的互异性可知， 综上所述：. 故选：A. 2．（23-24高三上·甘肃·期中）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据元素的互异性只需，结合并集的元素即可求解． 【详解】集合，，， 因为本身含有元素，所以根据元素的互异性即可， 故或2. 故选：D． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合并集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合的交、并运算，由可得m的值，进而得到集合B，利用交集的定义运算即可； （2）根据集合的包含关系求参数，对是否为空集讨论即可. 【详解】（1）由可知且， 解得，所以， 所以； （2）由，得， ①若，则，解得； ②若，因为，所以，解得． 综上可知的取值范围为． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·北京·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】已知全集，则. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列问题： (1)，，求； (2)，求，． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据补集的概念求解即可. 【详解】（1）因为，，所以； （2）因为，所以，. 1．（24-25高二下·福建泉州·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的概念，为全集中不属于的所有元素组成的集合，需要逐个检查中的元素，找出不在集合中的元素. 【详解】∵集合，， . 故选：C. 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的补集运算得到答案. 【详解】，，所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，再求补集. 【详解】，且， 当时，，故． 故答案为： 4．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集. (1)求； (2)求. 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【分析】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得； （1）根据集合的补集定义计算即得. 【详解】（1）由题意，； ； ；； （2）；. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高一上全国课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 【例2】（2023·山东·模拟预测）设全集，，，求的值． 【答案】6 【分析】由补集的概念列式求解． 【详解】解：∵全集，，， ∴∴． 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的补集概念即得. 【详解】依题，由可得，. 故选：A. 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设全集为，，，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）设，，或，求，的值． 【答案】，. 【分析】根据补集的概念，求出或，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】∵，，∴或． 又或，∴，. 【点睛】本题主要考查由集合的补集求参数，熟记补集概念即可，属于基础题型. 【经典例题七 交并补混合运算】 【例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设全集为，集合，．求，，. 【答案】，, 【分析】根据集合间运算的定义分别可得解. 【详解】由已知，， 则，， 或， 所以. 1．（24-25高二下·云南·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集和并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，，则，故. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的概念和运算进行求解即可. 【详解】因为，所以. 因为集合， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，，则 ． 【答案】或 【分析】根据集合的交并补即可得到答案. 【详解】或， 则或. 故答案为：或. 4．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设全集，，，求，. 【答案】; 【分析】首先，根据全集和给定的集合A、B，利用集合的补集、交集的定义和性质来逐步求解各个问题. 【详解】，，则或， 则,. 【经典例题八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交并补的计算方法即可判断求解. 【详解】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得. 故选：A. 【例2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）设全集为，集合，，求： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据交集的定义求解即可；（2）根据并集的定义求解即可； （3）根据补集及交集的定义求解即可；（4）根据交集及补集的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，，. （2）. （3），，. （4），. 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集及交集的运算结果求出. 【详解】全集，， 则， 所以. 故选：D 2．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出可得、、，结合补集的定义可求出集合. 【详解】由题意可知，、、，且，故. 故选：B. 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 【答案】4 【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果． 【详解】解：∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2} ∴满足条件的集合A有： A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2} ∴满足上述条件的集合A共有4个． 故答案为：4． 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 【经典例题九 容斥原理的应用】 【例1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，这两项运动都不喜欢的有6人，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】首先确定喜欢两项运动的人数，进而得到喜欢一项运动的人数. 【详解】人这两项运动都不喜欢，喜欢一项或两项运动的人数为人； 喜欢两项运动的人数为：人， 喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为人. 故选：B 【例2】（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 【答案】 【分析】根据韦恩图及已知条件列方程求参数即可. 【详解】由题设知：，可得 1．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】D 【分析】由集合的运算即可得出结果. 【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ）. A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】参加田赛的人与参加径赛的人之和减去参加比赛的人即为田赛和径赛都参加的人. 【详解】， 故田赛和径赛都参加的学生人数为. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人有且仅报了两个项目，则有且仅报了三个项目的共 人. 【答案】 【分析】根据重复计算的数量来计算出正确答案. 【详解】依题意可知，有且仅报了三个项目的有人. 故答案为： 4．（23-24高一·湖南·课后作业）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有若干人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 【答案】43 【分析】借助韦恩图分析可解. 【详解】记集合是参加测量的学生，是参加计算的学生， 是参加绘图的学生，则由已知可得如下韦恩图. 所以 已知，故这支测绘队至少有43人. 【经典例题十 根据并集结果求集合元素个数】 【例1】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】化简集合，即可求出中元素的个数. 【详解】由题意， 因为，所以，有4个元素， 故选：B. 【例2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果； （2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果. 【详解】（1）由题设，， 所以，. （2）由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素， 当时，此时或满足题设； 当时，满足题设； 综上，. 1．（23-24高一上·山东济南·期中）国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的运算可得答案. 【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为. 故选：A. 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）集合，则元素的个数（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据并集的概念求出后，可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以有个元素. 故选：C 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 【答案】11 【分析】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案. 【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素， 所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可； （2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 【经典例题十一 集合新定义】 【例1】（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数. 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 【例2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补集概念求出答案； （2）先求出，进而求出； （3）根据题意得到和，求出答案. 【详解】（1），故； （2），故； （3），，故. 1．（23-24高二下·江苏连云港·期末）定义：集合且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意计算即可. 【详解】由定义得. 故选：A. 2．（23-24·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，定义集合A，B之间的运算“*”， ，则集合 【答案】 【分析】中的元素是所有A中的元素与B中元素的和构成，求出两个集合中元素的和，写出集合，注意元素的互异性． 【详解】， 中的元素有， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·陕西西安·期中）数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合. (1)分别求和； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，分别求出和上位于第一象限连同边界上的点，得到和； （2）在第一问的基础上求出并集. 【详解】（1），令，解得：， 令，解得：， 故， ，令，解得：， 令，解得：， 故， （2）. 【经典例题十二 利用Venn图求集合】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 【例2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求如图阴影部分表示的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合B，然后求并集； （2）根据韦恩图表达出集合关系，然后利用几何运算求出结果. 【详解】（1）由,得 由，得； （2）或 得阴影部分为. 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补的含义即可得到答案. 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是 . 【答案】/ 【分析】根据图象以及集合运算来求得正确答案. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故答案为： 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择①②③，均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由集合知，，解得或，所以， 当时，结合图知. （2）选择①②③，均可得. 当时，，解得; 当时，或，解得或，即. 综上所述，实数的取值范围是. 【拓展训练一 交并补运算及其混合运算】 【例1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 【例2】（2023高一上·江苏·专题练习）全集，不等式组的解集为B． （1）若，求； （2）要使集合A中的每一个x值至少满足不等式“”，和“或”中的一个，求a的集合． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）分别求出集合A、B，根据集合的交并补运算即可得出答案； （2）设集合或，依题意有，列出不等式，即可得解. 【详解】解：（1）当时，， 则， 又因为或，则或； （2）设集合或； 依题意有，， 故，解得． 所以a的集合为． 1．（2026高三·全国·专题练习）已知非空集合A、B、C满足：，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用相等集合的定义，借助韦恩图判断即得. 【详解】，则，而，则，于是，因此， 由，同理得，从而，D正确； 非空集合A、B、C满足：，，作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图， 由图知，ABC错误，D正确. 故选：D 2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根号的性质，求得集合，根据交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则，可得. 故选：C. 3．（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 【答案】 【分析】利用补集、并集的定义直接求解. 【详解】全集，则， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合． (1)求； (2)如图阴影部分所表示的集合可以是 （把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合；． ①  ②  ③  ④ 【答案】(1) (2)③; 【分析】（1）根据集合的并集运算求解； （2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为，再根据集合的交集与补集求解即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为③：， 或，所以. 【拓展训练二 集合及参数的求解问题】 【例1】（24-25高一上·北京延庆·阶段练习）设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定集合、的“长度”，根据它们都是的子集，且“长度”最小，所以集合、应该在集合的两端，可求“长度”的最小值. 【详解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 故选：C 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 【答案】8 【分析】两次进货的总的种数减去两次都进的货的种数，即可得答案. 【详解】由题意知，两次进货都进了圆珠笔、方便面， 因此两次一共进了种货. 1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 【答案】C 【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的最大、最小值分别是（   ） A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4 【答案】C 【分析】结合交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 则，即的最大值为20，最小值为12. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 【答案】41 【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，，甲、乙求解时，甲因看错a，求出，乙因看错b，求出，且甲、乙计算过程正确. (1)求a，b的值； (2)已知，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意甲看对，乙看对，列方程组解答即可； （2）由题意解出集合，再解方程组求交集即可； 【详解】（1）由题意可知，解得，. （2）由（1）可知， 由整理得，解得，， 将其代入中，得，， 故. 【拓展训练三 交并补在集合新定义中的应用】 【例1】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 【例2】（2024高二下·浙江·竞赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 【答案】 【分析】先由已知条件证明，然后构造一个例子使得成立，即可说明的最小值是. 【详解】一方面，对，假设包含的不超过两个. 由于每个至多包含个包含的二元子集，所以至多有个包含的二元子集包含于某个，但包含的二元子集有个，说明存在一个包含的二元子集不包含于任何，这与已知矛盾. 所以至少存在三个包含，这就意味着全体的元素个数之和至少是. 而每个的元素个数都是，所以，得. 这就得到了. 另一方面，设，，，，. 则两两交集为空，且全体并集就是. 然后令，，，，，. 此时可以验证，对，由于必然都落在之一，故分情况验证即知一定存在一个集合同时包含，此时. 综上，的最小值为. 1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【详解】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义求出集合，再根据补集的运算即可求出. 【详解】因为，，所以，． 故选：C． 3．（23-24高三上·北京朝阳·开学考试）向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称S为“C类集”现有四个命题： ①若都是“C类集”，则也是“C类集”； ②若都是“C类集”，且交集非空，则也是“C类集”； ③若S为“C类集”，则集合也是“C类集”； ④若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”． 其中正确的命题有 （填所有正确命题的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据“类集”的定义，结合不等式的性质和集合的运算性质，即可判断结论． 【详解】对于①，若是“类集”，可得对于任意，，以及任意， 都有， 是“类集”，对于任意，，以及任意，都有， 设，为，中的元素的合并而得，且不重复，不符合“类集”的定义，故①错误； 对于②，若 “类集”，可得对于任意，，以及任意， 都有，是“类集”，对于任意，，以及任意， 都有，设，为，中的元素的公共部分而得， 且不为空集，符合“类集”的定义，故②正确 对于③，若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有， 集合，可得对于任意，，以及任意， 都有，故③正确； 对于④，若是“类集”，则对于任意，，以及任意，都有， 是“类集”，则对于任意，，以及任意，都有， 可得对于任意，，以及任意， 都有，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用韦恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 4．（23-24高一·全国·课后作业）对于给定的非空集合，定义集合，，，，若，则称集合满足性质. （1）判断下列集合是否满足性质，并说明理由：①，；②，1， （2）集合，2，，满足性质，求的最小值； （3）若非空集合，，且集合满足性质，求集合中的元素个数的最大值. 【答案】（1）满足性质,不满足性质，理由见解析；（2）7；（3）67个. 【分析】（1）根据定义计算出和，和，验证即得； （2）根据定义计算和，利用可分析出的范围，得最小值； （3）为使中元素尽可能多，，中较大的数都放到中，设，，，，，，计算出和，利用可得的范围，得的最小值，中元素的最大个数． 【详解】（1）由，可知，7，，，， 此时，，故满足性质； 由，1，可知，1，2，7，8，，，1，6，， 此时，，1，， 故不满足性质. （2）由，2，可知， ，3，4，，，， ，1，，， 欲使，须使，即， 故的最小值为7. （3）设，，，，，， 则，，，，， ，1，2，，， 欲使， 须使，即， 故最小取34， 此时，中元素个数最多，为个. 【点睛】本题考查集合的新定义，关键是理解新定义性质，问题的实质就是求出和，验证是否满足．考查了学生的创新意识，接受新知识、应用新知识的能力． 1．（2023高二下·福建·学业考试）已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答. 【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意. 故选：A 2．（2025·吉林长春·一模）已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（   ） A．{吉，大，高，考} B．{必，胜} C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜} 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得{吉，大，高，考，必，胜}. 故选：D. 3．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解. 【详解】因为， 且，即， 令，则， 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给， 如，， 此时，，此时， 所以的最大值为. 故选：C 4．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出，，，，再利用“偶集合”的定义判断即得. 【详解】集合，，则， 显然，而，A不是； ，显然，而，B不是； ，则，不符合题意，C不是； ，则， 对，有，即是一个“偶集合”，D是. 故选：D 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合在全集中的补集，再求这个补集与集合的交集. 【详解】已知全集，集合， 那么， 因为，， 所以. 故选：A. 6．(多选题)（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 7．(多选题)（23-24高一上·山西太原·期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合的定义与交集的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：任何集合与的交集均为，A选项正确； B选项：，，所以，B选项错误； C选项：，，所以，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 8．(多选题)（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）对任意，记．则下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若为所有的正整数，为所有的负整数，则为所有的整数 D．若，，则，或 【答案】AB 【分析】由集合的交并运算可得. 【详解】选项A，由题意知，，A正确； 选项B，若，， 则，， 由得， ，故B项正确； 选项C，若为所有的正整数，为所有的负整数， 则，则由题意知，， 且，故，故C项错误； 选项D，若，， 则，且， 由题意得，或，故D项错误. 故选：AB. 9．(多选题)（23-24高一·江苏·假期作业）设集合，集合，则集合中的元素可能是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】AC 【分析】由补集的定义求出，即可判断出答案． 【详解】因为， 所以， 故选：AC． 10．(多选题)（23-24高一上·浙江湖州·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对分三种情况讨论，再结合“全食”或“偏食”的概念分析得解. 【详解】当时，，,所以与构成“全食”； 当时，，如果，与构成“全食”；如果，，此时与构成 “偏食”； 当时，如果则，，，所以与构成“全食”；如果则，，所以选项A错误； 故选：BCD 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数 . 【答案】或 【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数. 【详解】由题知，， 因为，所以， 则当时，，而； 当时，(舍)或， 所以或. 故答案为：或 12．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高一上·北京·期中）设，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】由得，解得或， ，可得, 故， 故答案为： 14．（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为 . 【答案】 【解析】由韦恩图知阴影部分为，根据已知集合，应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由图知：阴影部分为，而， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据韦恩图写出目标集合的表达式，根据已知条件结合交补运算求集合，属于简单题. 15．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设U是全集，M、N是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 .（请用各集合的交，并，补表示） 【答案】 【分析】由交集、补集的概念即可得解. 【详解】阴影部分的元素属于集合但不属于集合， 换言之，阴影部分的元素属于集合且属于集合在全集中的补集， 所以图中阴影部分所表示的集合是. 故答案为：. 16．（24-25高一上·天津·期中）设全集为，集合，，． (1)求，； (2)； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可； （2）由集合的补集运算与交集运算求解即可； （3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可. 【详解】（1）集合，， 所以，. （2）或，所以. （3）因为集合，， ，则，故， 所以实数a的取值范围. 17．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出集合A中的不等式，将代入集合B中不等式，求两个集合的交集； （2）由得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，所以. （2）因为，所以，显然集合B非空， 所以，得. 18．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解； （2）根据交集的定义和运算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2），由（1）知， . 19．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 20．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，记集合．对于有限数列3，7，2，9，写出集合T； 【答案】 【分析】根据题意给出的集合T新定义，即可得出答案. 【详解】由题，设，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下： ，，， ，，， 所以； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3集合的基本运算重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九 容斥原理的应用 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 集合新定义 题型十二 利用Venn图求集合 拓展训练一 交并补运算及其混合运算 拓展训练二 集合及参数的求解问题 拓展训练三 交并补在集合新定义中的应用 知识点一：并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 【即时训练】 1.（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点二：补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【即时训练】 1.（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）若全集，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 知识点三：Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【即时训练】 1.（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 2.（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：①中考的物理成绩不低于80分；②中考的数学成绩不低于70分，如果满足条件①的同学组成的集合记为P，满足条件②的同学组成的集合记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢? 1．（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集集合则 . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，，．求：，，． 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高二下·四川凉山·期末）设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 1．（2025·甘肃白银·三模）已知集合，，若，，则满足条件的集合共有（   ） A．2个 B．3.个 C．4个 D．5个 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若时，求实数m的取值范围． 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的并集： (1)，； (2)， 1．（24-25高二下·云南红河·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）集合，集合，则 ． 4．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）已知全集为R，集合，，求； 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（2025·陕西西安·二模）已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【例2】（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 1．（24-25高三下·河南·阶段练习）设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·甘肃·期中）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·北京·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列问题： (1)，，求； (2)，求，． 1．（24-25高二下·福建泉州·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 4．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集. (1)求； (2)求. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高一上全国课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【例2】（2023·山东·模拟预测）设全集，，，求的值． 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设全集为，，，则 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）设，，或，求，的值． 【经典例题七 交并补混合运算】 【例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）设全集为，集合，．求，，. 1．（24-25高二下·云南·期末）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，，则 ． 4．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设全集，，，求，. 【经典例题八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）设全集为，集合，，求： (1)； (2)； (3)； (4)； 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【经典例题九 容斥原理的应用】 【例1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，这两项运动都不喜欢的有6人，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【例2】（23-24高三上·新疆喀什·阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中a，b，c的值. 1．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ）. A．7 B．8 C．10 D．12 3．（24-25高一上·上海·期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人有且仅报了两个项目，则有且仅报了三个项目的共 人. 4．（23-24高一·湖南·课后作业）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有若干人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 【经典例题十 根据并集结果求集合元素个数】 【例1】（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 1．（23-24高一上·山东济南·期中）国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）集合，则元素的个数（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【经典例题十一 集合新定义】 【例1】（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 1．（23-24高二下·江苏连云港·期末）定义：集合且.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，定义集合A，B之间的运算“*”， ，则集合 4．（23-24高一上·陕西西安·期中）数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合. (1)分别求和； (2)求. 【经典例题十二 利用Venn图求集合】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求如图阴影部分表示的集合. 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是 . 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【拓展训练一 交并补运算及其混合运算】 【例1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023高一上·江苏·专题练习）全集，不等式组的解集为B． （1）若，求； （2）要使集合A中的每一个x值至少满足不等式“”，和“或”中的一个，求a的集合． 1．（2026高三·全国·专题练习）已知非空集合A、B、C满足：，．则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合． (1)求； (2)如图阴影部分所表示的集合可以是 （把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合；． ①  ②  ③  ④ 【拓展训练二 集合及参数的求解问题】 【例1】（24-25高一上·北京延庆·阶段练习）设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的最大、最小值分别是（   ） A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4 3．（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，，甲、乙求解时，甲因看错a，求出，乙因看错b，求出，且甲、乙计算过程正确. (1)求a，b的值； (2)已知，求. 【拓展训练三 交并补在集合新定义中的应用】 【例1】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二下·浙江·竞赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京朝阳·开学考试）向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称S为“C类集”现有四个命题： ①若都是“C类集”，则也是“C类集”； ②若都是“C类集”，且交集非空，则也是“C类集”； ③若S为“C类集”，则集合也是“C类集”； ④若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”． 其中正确的命题有 （填所有正确命题的序号） 4．（23-24高一·全国·课后作业）对于给定的非空集合，定义集合，，，，若，则称集合满足性质. （1）判断下列集合是否满足性质，并说明理由：①，；②，1， （2）集合，2，，满足性质，求的最小值； （3）若非空集合，，且集合满足性质，求集合中的元素个数的最大值. 1．（2023高二下·福建·学业考试）已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2025·吉林长春·一模）已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（   ） A．{吉，大，高，考} B．{必，胜} C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜} 3．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．(多选题)（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 7．(多选题)（23-24高一上·山西太原·期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(多选题)（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）对任意，记．则下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若为所有的正整数，为所有的负整数，则为所有的整数 D．若，，则，或 9．(多选题)（23-24高一·江苏·假期作业）设集合，集合，则集合中的元素可能是（    ） A． B．2 C． D．3 10．(多选题)（23-24高一上·浙江湖州·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则实数 . 12．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 13．（24-25高一上·北京·期中）设，，若，则实数 . 14．（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为 . 15．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设U是全集，M、N是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 .（请用各集合的交，并，补表示） 16．（24-25高一上·天津·期中）设全集为，集合，，． (1)求，； (2)； (3)若，求实数a的取值范围． 17．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 18．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 19．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 20．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，记集合．对于有限数列3，7，2，9，写出集合T； 学科网（北京）股份有限公司 $$