专题1.1集合的概念重难点题型专训（3个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第一册）

专题1.1集合的概念 重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 自然语言表示集合 题型六 描述法表示集合 题型七 列举法表示集合 题型八 集合中的元素个数问题 题型九 集合的分类 题型十 利用集合元素的互异性求参数 题型十一 常用数集或数集关系应用 题型十二 根据集合相等关系进行计算 题型十三 根据两个集合相等求参数 拓展训练一 集合的表示方式 拓展训练二 常见的集合求参问题 知识点一：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【即时训练】 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 2．（2023高一·全国·课后作业）若，则构成集合中的应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性，可求解. 【详解】根据集合元素的互异性，，解得， 所以应满足的条件是. 故答案为：. 知识点二：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【即时训练】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见数集与元素之间的关系以及空集定义逐项判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知0是自然数，所以，即A正确； 对于B，空集中没有任何元素，是集合，而0是实数，两者不相等，所以错误； 对于C，是有理数，可得，即C正确； 对于D，是实数，因此，即D正确. 故选：B 2．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 知识点三：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【即时训练】 1．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】先解出不等式，进而写出解集. 【详解】由，即或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【答案】(1)能 (2)不能，原因见解析 (3)能 【分析】运用集合的元素的互异性，无序性，确定性解题. 【详解】（1）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合. （2）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合,因为高个子比较模糊，元素不确定. （3）不等式的所有解能组成一个集合，就是不等式的解集. 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列对象：①方程x2＝2的正实根，②我校高一年级聪明的同学，③大于3小于12的所有整数，④函数y＝2x的图像上的点．能构成集合的个数为 ． 【答案】3 【分析】由集合的元素需具有确定性，逐一判断可得答案. 【详解】对于①，方程x2＝2的正实根为，因此方程x2＝2的正实根能构成集合； 对于②，我校高一年级聪明的同学具有不确定性，故不能构成集合； 对于③，大于3小于12的所有整数为4,5,6,7,8,9,10,11，具有确定性，故可构成集合； 对于④，函数y＝2x的图像上的点具有确定性，故可构成集合． 综上对象①③④能构成集合． 答案：3. 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断以下元素的全体能否组成集合，并说明理由. （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流. 【答案】（1）能，理由见解析；（2）不能，理由见解析. 【解析】（1） 大于3小于11的偶数有4，6，8，10，能构成集合； (2)不满足集合中元素的确定性故不是集合. 【详解】（1）大于3小于11的偶数能组成集合，这个集合中的元素是4，6，8，10. （2）不能，元素不确定.因为“小河流”的标准不确定，无法判断某河流是否为小河流. 【点睛】本题考查集合中元素的特性，属于基础题. 【经典例题二 判断是否为同一集合】 【例1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）集合与是否为相等集合？ 【答案】否． 【详解】否，因为所表示的点集的坐标不同. 1．（2023高二下·广西·学业考试）设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义判断选项. 【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是. 故选：C 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 4．（23-24高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 【答案】答案见解析 【详解】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合． 【经典例题三 判断元素与集合的关系】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据集合元素的定义，判断所给选项中的元素是否在集合中. 【详解】已知集合， 所以集合A有两个元素：和． 故选：B. 【例2】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由． 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由题意，可得，， 因为，所以， 不存在，使得，即． 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系判断各个选项； 【详解】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合B中的定义对各个数逐一验证即可. 【详解】因为，，所以． 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么1 A，0.5 A. 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系可得. 【详解】由题可知： 故答案为：， 4．（23-24高一·全国·课堂例题）已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【答案】a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素. 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】因为A表示高一（3）班全体学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，所以a是集合A中的元素； 因为b表示高一（4）班的一位同学，所以b不是集合A中的元素. 【经典例题四 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 【例2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 【答案】(1)且且且 (2) 【分析】（1）根据集合元素的互异性列不等式来求得正确答案. （2）结合（1）求得正确答案. 【详解】（1）根据集合元素的互异性可知， 解得且且且. （2）由于，结合（1）的结论可知， 所以，解得（舍去）. 1．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的概念可得集合C中的元素. 【详解】由题意得但 ∴． 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】由题意，，所以，解得： 故答案为：． 4．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 【经典例题五 自然语言表示集合】 【例1】（23-24高一上·贵州期末）已知集合A={x|x≤2}，集合B={x|x<a}，若A⊇B，则实数a的取值范围为(　　) A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2 【答案】B 【分析】根据集合间的包含关系A⊇B，分析集合A和B的范围，进而确定实数a的取值范围。 【详解】已知集合A={x|x≤2}，集合B={x|x<a}，且A⊇B，这意味着集合B中的所有元素都属于集合A。 因为集合B中的元素都小于a，集合A中的元素都小于等于2，所以要使B是A的子集，a必须满足a≤2。 若a>2，则存在元素x满足2<x<a，该元素属于B但不属于A，不满足A⊇B。 因此，实数a的取值范围为a≤2。 故选：B。 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合M={1,3,m+1}，集合N={1,4}，若N⊆M，求实数m的值。 【答案】3 【分析】根据子集的定义，若N⊆M，则集合N中的所有元素都必须是集合M中的元素，由此可列出关于m的方程，进而求解。 【详解】已知集合M={1,3,m+1}，集合N={1,4}，且N⊆M 因为4是集合N中的元素，所以4也必须是集合M中的元素。 在集合M的元素1、3、 m+1中，只有m+1可能等于4，即m+1=4。 解得m=3O 此时集合M={1,3,4}，满足N⊆M。 所以，实数m的值为3。 1．（23-24高一上·山西朔州·期末）下列常数集表示正确的是(　　) A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z 【答案】A 【详解】因为表示整数集，表示有理数集，表示实数集，表示自然数数集，所以A正确，故选A. 2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 3．（2023·上海·二模）甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 . 【答案】 【分析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为,甲的答案为,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为,,,,等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为,故答案为. 【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．（23-24高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【经典例题六 描述法表示集合】 【例1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 4 ．（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【经典例题七 列举法表示集合】 【例1】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程，即可求出集合. 【详解】由，解得，，故. 故选：C． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念确定集合的所有元素，求和即可. 【详解】集合的所有元素是，故所有元素的和为. 故选：C. 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】由题可得为小于40的完全平方数，据此可得答案. 【详解】因，又，则为小于40的完全平方数. 则，从而. 故答案为： 4．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 【经典例题八 集合中的元素个数问题】 【例1】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若由a和构成的集合只有一个元素，则a为何值? 【答案】或 【分析】根据集合元素个数可得，即可求参数值. 【详解】由a和构成的集合只有一个元素，所以，即或. 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 2．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合中的元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数 ，集合中的元素是 ． 【答案】 6 3，4，5 【分析】根据集合元素的特征和的范围可得，进而可得集合的元素. 【详解】由题意知， 又，，且集合P中恰有三个元素，所以， 此时集合P中的元素是3，4，5． 故答案为：6；3，4，5. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 【答案】 【分析】由题意可得有两个相等的实数根，可得，求解即可. 【详解】因为集合中仅含有一个元素， 所以有两个相等的实数根， 所以，解得，满足题意，则． 【经典例题九 集合的分类】 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 1．（2024高一·全国·专题练习）下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】分别分析给定四个集合中元素个数是否有限，进而可得答案． 【详解】①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集； ②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集． ④所有小于2的整数构成的集合为无限集， 故选：B． 2．（2024高一·全国·专题练习）设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 【答案】B 【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论． 【详解】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集， N＝{小于1050的正整数}，是有限集， P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集， Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集， 故选：B． 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知满足“如果，则”的自然数构成集合．” （1）若是一个单元素集合，则 ． （2）满足条件的共有 个． 【答案】 15 【分析】（1）如果，则,若是一个单元素集合，则得解 （2）讨论集合元素个数得解 【详解】（1）是一个单元素集合，则， （2）当集合元素个数为1个时 当集合元素个数为2个时 当集合元素个数为3个时 当集合元素个数为4个时 当集合元素个数为5个时 当集合元素个数为6个时 当集合元素个数为7个时 综上满足条件的共有15个 故答案为；15 【点睛】本题考查集合元素的构成，属于基础题. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 【经典例题十 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性直接构造不等式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可知：，解得：， 实数的取值范围为. 1.（2024高三·全国·专题练习）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 2．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 【经典例题十一 常用数集或数集关系应用】 【例1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合； （2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合． 【详解】解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9， 所以集合用列举法表示为； （2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1， 所以集合用列举法表示为． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的定义逐一判断各选项即可得解. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，故①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，故②正确； 对于③，为自然数，而表示自然数集，所以，故③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，故④错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）已知集合．若，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，，使得成立，只需，解之即可. 【详解】因为，所以，则. ，，使得成立， 所以只需， 所以，所以. 故选：B 3．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 4．（2023高三·全国·专题练习），若表示集合中元素的个数，则 ，则 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，再考虑的整数部分，从而的值. 【详解】当时，，故，即，， 由于不能整除3，且， 故从到，3的倍数共有682个， . 故答案为：，. 【经典例题十二 根据集合相等关系进行计算】 【例1】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【例2】（23-24高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 1.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】集合，由集合相等及集合的互异性可得的值，代入即可得解集． 【详解】解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） 代入得 ，解得此不等式解集为R， 故答案为R． 【点睛】本题考查集合相的条件，要特别注意求得的值不能使集合中的元素相同，本题难度不大． 【经典例题十三 根据两个集合相等求参数】 【例1】（2025高二下·浙江·学业考试）设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义即可求解. 【详解】，，， 此时集合，，故， . 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014. 【答案】1. 【分析】由集合相等列方程组，有两种上情形，注意检验． 【详解】∵A＝B，∴或解方程组得，或或a＝1，b为任意实数. 由集合元素的互异性得a≠1，∴a＝－1，b＝0，故a2014＋b2014＝1. 【点睛】本题考查集合的相等，掌握集合相等的定义是解题基础．解题时注意检验，特别是元素的互异性． 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 2．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 3．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值． 【答案】a＝0，b＝1或a＝ ，b＝ 【详解】试题分析：根据集合相等的条件:元素完全相同，建立方程即可得到a，b的值,要注意检验是否符合集合元素的互异性. 试题解析： 由题意，得或 解得或或 经检验，a＝0，b＝0不合题意；a＝0，b＝1或a＝，b＝合题意． 所以，a＝0，b＝1或a＝，b＝. 【拓展训练一 集合的表示方式】 【例1】（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 【答案】(1) (2)存在，； (3)答案见解析 【分析】（1）令，解方程组，即可求出； （2）将代入，得到，求使方程无解即； （3）由（2）知，，得，求出使得为正整数的，再求出对应的即可. 【详解】（1）当时，方程组为，解得，所以. （2）将代入，得，整理得， 当时，方程无解，即. （3）由，则， 由（2）知，，得， 因为为正整数，所以为正整数，解得或或， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 3．（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1） ； （2） ； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ． 【答案】 【分析】（1）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （2）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （3）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该数集集合； （4）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该点集集合. 【详解】（1）因为，，所以均符合题意， 所以原集合可以表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 故答案为：；；；. 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？ （1）使得式子有意义的所有实数组成的集合； （2）使得式子有意义的所有自然数组成的集合； （3）方程的所有实数解组成的集合. 【答案】（1）无限集；（2）有限集；（3）有限集. 【解析】(1)求出使得式子有意义的x的取值范围，即可判断；(2)求出使得式子有意义的所有自然数即可判断；(3) 方程没有实数解，所以此集合为有限集. 【详解】(1) 式子有意义则，大于等于2的实数有无数多个，所以此集合为无限集； (2) 式子有意义则，小于等于3的所有自然数为0，1，2，3，所以此集合为有限集； (3) 方程没有实数解，所以此集合为有限集. 【点睛】本题考查集合的分类，属于基础题. 【拓展训练二 常见的集合求参问题】 【例1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 【例2】（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 2．（23-24高一上·全国·课后作业）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合互异性,根据题意,分a＝0和a≠0分类讨论,得出答案. 【详解】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素. 故选:B. 【点睛】本题考查集合中元素的特征，其中互异性即集合中元素要求互不相同考查较多，解题时，注意分类讨论． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 4．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【答案】A 【分析】根据集合具有确定性，无序性，互异性逐一判断即可； 【详解】对于A，不等式的解集为空集，可以构成集合，故A正确； 对于B，著名的数学家没有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C，非常接近0的数没有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D，面积非常小的三角形没有确定性，不成构成集合，故D错误； 故选：A 2．（23-24高一上·湖北十堰·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．集合中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C．∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是不同的集合 【答案】A 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及性质判断B，D；利用元素与集合的关系判断C作答. 【详解】对于A，，集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合{0}有一个元素0，B不正确； 对于C，，因此，C不正确； 对于D，由于集合中的元素具有无序性，{1，2}与{2，1}是同一集合，D不正确. 故选：A 3．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）以下选项中，不是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足的约束条件，即可代入逐一验证. 【详解】对于A,当时，，故不是的元素， 对于B，当时，，故是的元素， 对于C，当时，，故是的元素， 对于D，当时，，故是的元素， 故选：A 4．（23-24高一上·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】，则，符合题设； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设； 时，则，符合题设； ∴或均可以. 故选：C 5．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 6．(多选题)（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 7．(多选题)（24-25高一上·江西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【答案】ABD 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确. 故选：ABD 8．(多选题)（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为实数集R的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若为封闭集，则一定有 【答案】BCD 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断BC；由封闭集定义可推出，判断D． 【详解】对于A，取1，，则，，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，，故， 同理， ， 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若为封闭集，若，则，D正确． 故选：BCD． 9．(多选题)（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知，则关于实数的取值正确的是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BCD 【分析】由元素与集合的关系求解，并注意验证集合中元素的互异性. 【详解】由已知，则可能有以下几类情况： （1）若，则. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； （2）若，则. 此时，不符合集合中元素的互异性，不合题意； （3）若，解得（已舍），或 当时，，满足题意. 综上所述，. 故选：BCD. 10．(多选题)（2024高一上·江苏·专题练习）设非空集合满足：当时，有.给出如下四个命题，其中正确命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABC 【分析】根据已知条件列出不等关系转化为不等式问题解决，即可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，若，则， 根据当时，有，可得，得，可得，故，A对； 对于B选项，若，则，则，解得，B对； 对于C选项，若，则，即，C对； 对于D选项，若，时，此时符合题意，D错. 故选：ABC． 11．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）设，则 ． 【答案】 【分析】分别令，，由集合元素具有互异性可确定结果. 【详解】若，则，不符合集合元素互异性； 若，解得：（舍）或，则，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 12．（23-24高一上·陕西·期中）若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】当时，集合的整数元素符合题意. 【详解】当时，集合的整数元素为. 故答案为：0（答案不唯一） 13．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 15．（23-24高一·全国·课后作业）某个含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为{a，a＋b，1}，则a2015＋b2015的值为 ． 【答案】0 【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a＋b一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a，b的值，得到结果. 【详解】解：∵集合既可以表示成{b，，0}，又可表示成{a，a＋b，1} ∴a＋b一定等于0 在后一种表示的集合中有一个元素是1 只能是b. ∴b＝1，a＝－1 ∴a2015＋b2015＝0. 【点睛】本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性. 16．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 17．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，求. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系以及集合中元素的互异性可求得的值. 【详解】解：当时，集合为，满足题意； 当时，，集合元素不满足互异性，舍去； 当时，可得（舍）或，且当时，集合为，满足题意. 综上所述，. 18．（23-24高一·全国·课后作业）设，，已知，，求的值． 【答案】且且且 【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值. 【详解】由知，，即， 解得且 又集合元素具有互异性，知，即 解得且 综上所述，a的取值为且且且 19．（23-24高一上·河北·阶段练习）设，已知，求x的值. 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】（i）若，解得， 则，此时，不成立； （ⅱ）若，整理得，解得或， ①当时，则，此时，符合题意； ②当时，则，此时，不成立； 综上所述：. 20．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于两个正整数、，定义某种运算“”如下，当、都为正偶数或正奇数时，；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，求集合中元素的个数． 【答案】13 【分析】根据运算规则，分情况讨论当、都为正偶数或正奇数时和、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，分别写出取值的可能，即可得到. 【详解】由已知得，当、都为正偶数或正奇数时，， 要使，则可能的情况有、、、、、、、、，共9种情况； 当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，， 要使，则可能的情况有、、、，共4种情况. 所以集合 ， 共13个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1集合的概念重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 自然语言表示集合 题型六 描述法表示集合 题型七 列举法表示集合 题型八 集合中的元素个数问题 题型九 集合的分类 题型十 利用集合元素的互异性求参数 题型十一 常用数集或数集关系应用 题型十二 根据集合相等关系进行计算 题型十三 根据两个集合相等求参数 拓展训练一 集合的表示方式 拓展训练二 常见的集合求参问题 知识点一：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【即时训练】 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 2．（2023高一·全国·课后作业）若，则构成集合中的应满足的条件是 ． 知识点二：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【即时训练】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 知识点三：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【即时训练】 1．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ． 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列对象：①方程x2＝2的正实根，②我校高一年级聪明的同学，③大于3小于12的所有整数，④函数y＝2x的图像上的点．能构成集合的个数为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断以下元素的全体能否组成集合，并说明理由. （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流. 【经典例题二 判断是否为同一集合】 【例1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）集合与是否为相等集合？ 1．（2023高二下·广西·学业考试）设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 4．（23-24高一·全国·课堂例题）集合与集合表示同一个集合吗？ 【经典例题三 判断元素与集合的关系】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【例2】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由． 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如果集合A是由所有小于10的自然数组成的集合，那么1 A，0.5 A. 4．（23-24高一·全国·课堂例题）已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【经典例题四 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 1．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为 ． 4．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【经典例题五 自然语言表示集合】 【例1】（23-24高一上·贵州期末）已知集合A={x|x≤2}，集合B={x|x<a}，若A⊇B，则实数a的取值范围为(　　) A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）已知集合M={1,3,m+1}，集合N={1,4}，若N⊆M，求实数m的值。 1．（23-24高一上·山西朔州·期末）下列常数集表示正确的是(　　) A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z 2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023 上海·二模）甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 . 4．（23-24高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【经典例题六 描述法表示集合】 【例1】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【经典例题七 列举法表示集合】 【例1】（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）用列举法表示集合为 . 4．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【经典例题八 集合中的元素个数问题】 【例1】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若由a和构成的集合只有一个元素，则a为何值? 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合中的元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数 ，集合中的元素是 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 【经典例题九 集合的分类】 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 1．（2024高一·全国·专题练习）下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 2．（2024高一·全国·专题练习）设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知满足“如果，则”的自然数构成集合．” （1）若是一个单元素集合，则 ． （2）满足条件的共有 个． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【经典例题十 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合含有两个元素和，求实数的取值范围． 1.（2024高三·全国·专题练习）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 2．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【经典例题十一 常用数集或数集关系应用】 【例1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）已知集合．若，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为 . 4．（2023高三·全国·专题练习），若表示集合中元素的个数，则 ，则 ． 【经典例题十二 根据集合相等关系进行计算】 【例1】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（23-24高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 1.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合，则不等式的解集为 . 【经典例题十三 根据两个集合相等求参数】 【例1】（2025高二下·浙江·学业考试）设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014. 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 4．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值． 【拓展训练一 集合的表示方式】 【例1】（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1） ； （2） ； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？ （1）使得式子有意义的所有实数组成的集合； （2）使得式子有意义的所有自然数组成的集合； （3）方程的所有实数解组成的集合. 【拓展训练二 常见的集合求参问题】 【例1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【例2】（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·全国·课后作业）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 4．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 2．（23-24高一上·湖北十堰·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．集合中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C．∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是不同的集合 3．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）以下选项中，不是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 5．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 6．(多选题)（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 7．(多选题)（24-25高一上·江西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 8．(多选题)（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为实数集R的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若为封闭集，则一定有 9．(多选题)（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知，则关于实数的取值正确的是（    ） A．0 B．1 C． D．2 10．(多选题)（2024高一上·江苏·专题练习）设非空集合满足：当时，有.给出如下四个命题，其中正确命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 11．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）设，则 ． 12．（23-24高一上·陕西·期中）若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值： ． 13．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 14．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 15．（23-24高一·全国·课后作业）某个含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为{a，a＋b，1}，则a2015＋b2015的值为 ． 16．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 17． （23-24高一上·北京·阶段练习）已知，求. 18．（23-24高一·全国·课后作业）设，，已知，，求的值． 19．（23-24高一上·河北·阶段练习）设，已知，求x的值. 20．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于两个正整数、，定义某种运算“”如下，当、都为正偶数或正奇数时，；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，求集合中元素的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$