专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 题型十一 握手循环赛问题 拓展训练一 图形问题综合 拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·课前预习）列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3） ； （4） ； （5）检验根的合理性； （6）作答． 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）为报答社会，某企业每年都会向乡村小学捐款，2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 4．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（2025·湖南常德·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）某食品销售公司2022年利润是100万元．随着销量的提高，2024年利润达到万元．设该公司的年平均增长率为，则的值是 ． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）嘉嘉在解决问题“矩形的面积为6，__________，求矩形的长．”时，设长为x，可列出方程，则横向处应填入的条件为（   ） A．宽为5 B．宽为10 C．周长为5 D．周长为10 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 4．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．                             【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某数的一半比这个数的平方的3倍少，设某数为x，某数的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）某品牌服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，调查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件． (1)每件服装降价2元后，可售出商品________件； (2)每件服装降价元后，可售出商品________件（用含的代数式表示）； (3)如果每天要赢利2100元，且使消费者得到最大优惠，每件应降价多少元？ 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（    ） A．200 B．150 C．150或200 D．200或300 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少销量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件． （1）若涨价为元，则每天的销量为 件；（用含的代数式表示） （2）若使每天获得700元的利润，售价应为 元． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）根据背景材料，探索问题． 端午粽子销售价格的探究 生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价2元，超市平均可多售出20袋，但最低每袋要盈利15元． 销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周每袋粽子降低元，则第二周每袋的盈利是________元，销量是__________袋． 任务2 ①经两周后还剩余粽子_____________袋．（用的代数式表示） ②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发，几秒钟后的面积等于？      1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（    ） A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2025·湖南岳阳·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25九年级上·湖南常德·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 4．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 4．（2025九年级·湖南湘潭·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？ 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某中学学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了毕业留言1640份，则全班共有学生 名． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【经典例题十一 握手循环赛问题】 【例11】（24-25九年级上·湖南永州·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 4．（2025·湖南怀化·模拟预测）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【拓展训练一 图形问题综合】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）某校计划在一块长为30米，宽为20米的矩形 地面上铺设同样宽的两条通路（图中阴影部分），设每条通路的宽为x米，剩余部分计划绿化，若绿化的面积为551平方米，求通路的宽x 的值． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关】 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，为矩形的四个顶点，．动点分别从点同时出发，点P沿以的速度向点B移动，直到到达点B时停止，点Q沿以的速度向点D移动．经过几秒，点P和点Q之间的距离为？ 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 3．（2025九年级·湖南常德·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以v米/秒的速度竖直向空中发射，经过t秒时，物体距离地面的高度（米），（其中）根据这个规律，若发射的速度米/秒时，问： (1)经过多少秒时，物体距离地面的高度是490米？ (2)求物体落回地面所需要的时间． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）综合与实践 观察与思考： 规律发现：请用含的式子填空： （1）第个图案中小圆圈的个数为____________； （2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________； 规律应用： （3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，公园中有一块长为，宽为的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百分率是 ． 8．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 9．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于 . 10．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 11．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 12．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，则每件成本的平均降低率是多少？ 13．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 14．（24-25九年级上·湖南常德·期末）请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了增强学生体质，某学校决定新建一块篮球场地，供同学们课间活动使用． 相关信息 信息一：如图，运动区（阴影部分）的长和宽分别为28m和15m；运动区四周的宽度相等的条形区域（空白部分）是缓冲区； 信息二：运动区和缓冲区的总面积为； 信息三：运动区预计铺设硅PU，该材料的费用为100元/；缓冲区预计铺设EPDM塑胶颗粒，该材料的费用为70元； 信息四：可能用到的数据，． 问题解决 问题1：求缓冲区的宽度； 问题2：求场地铺设材料所需的总费用． 15．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点Q从点开始沿着边向点以的速度移动． （1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 题型十一 握手循环赛问题 拓展训练一 图形问题综合 拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查连续两次降价的应用题，需建立二次方程模型．根据两次降价的百分率相同，每次降价后的价格为原价乘以，两次降价后的总价格即为原价乘以，由此建立方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元． 根据题意，最终价格为2025元， ∴方程为：； 故选：B 2．（23-24九年级上·湖南株洲·课前预习）列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3） ； （4） ； （5）检验根的合理性； （6）作答． 【答案】 列方程 解方程 【解析】略 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）为报答社会，某企业每年都会向乡村小学捐款，2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，根据2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 【答案】11支 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设有支球队参加比赛． 由题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， ∴有11支球队参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解. 【详解】∵每轮传染平均人会传染个人， ∴2人感染时，一轮可传染2x人， ∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人； ∵每轮传染平均人会传染个人， ∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人， ∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人； ∴， 故选A. 【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键. 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： x（x-1）=10， 化简，得x2-x-20=0， 解得x1=5，x2=-4（舍去）， ∴参加此次比赛的球队数是5队． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 【答案】 11 1728 【分析】设平均一个人传染了x人，根据题意，两轮传播了人，列方程得，解方程即可；三轮传播的人数为，计算即可． 【详解】设平均一个人传染了x人，根据题意，两轮传播了人，列方程得， 解方程得（舍去）， 故答案为：11； 三轮传播的人数为， 故答案为：1728． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用传播问题，熟练掌握传播问题解法是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①28；②，，；（2）5人；（3）能为整数，见解析 【分析】（1）①利用乘法运算即可求解； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有x（x-1）场比赛，可以列出一元二次方程； （2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解； （3）同（1）的方法得到，，进一步求解即可． 【详解】解：（1）①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛， 根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28， 故答案为：28；②（x-1），，； （2）设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，（舍去） 答：一共有人参加聚会； （3）依题意得，， ， ∵n为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴当或时，为整数． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（2025·湖南常德·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握后利润与原利润和增长次数的关系，是解题的关键． 10月份的月利润300万元，11月份和12月份利润的平均增长率为，11月份和12月份的利润合计为800万元，列方程即可． 【详解】解：∵11月份和12月份利润的平均增长率为，10月份的利润300万元， ∴11月份的利润万元， ∴12月份的利润万元， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了条形统计图的知识，一元二次方程的实际应用，设农村居民人均住房面积的增长率为x，列出方程求解即可． 【详解】解：设农村居民人均住房面积的增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（负值舍去）， ∴从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）某食品销售公司2022年利润是100万元．随着销量的提高，2024年利润达到万元．设该公司的年平均增长率为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 解得（负值舍去） 故答案为：． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 【答案】边的长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设边的长为，则边的长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并结合墙的长度为，即可得出结果． 【详解】解：设边的长为，则边的长为． 由题意，得 整理，得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）嘉嘉在解决问题“矩形的面积为6，__________，求矩形的长．”时，设长为x，可列出方程，则横向处应填入的条件为（   ） A．宽为5 B．宽为10 C．周长为5 D．周长为10 【答案】D 【分析】本题考查列一元二次方程，根据“矩形的面积等于长乘宽，周长等于长宽之和的2倍”即可求解． 【详解】解：A，填入条件为“宽为5”时，列方程为，不合题意； B，填入条件为“宽为10”时，列方程为，不合题意； C，填入条件为“周长为5”时，列方程为，不合题意； D，填入条件为“周长为10”时，列方程为，即，符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：， 故选：D 3．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设的长为米，则米，再根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：设的长为米，则米， 由题意得，， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【答案】两位数为92或29 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为， ， 解得：， 当时，两位数为92， 当时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某数的一半比这个数的平方的3倍少，设某数为x，某数的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先用含的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的倍，最后按数量关系列方程即可． 【详解】由已知得：的一半为，的平方的倍为， 则有：． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解． 【详解】解：第1个图中棋子的个数为：， 第2个图中棋子的个数为：， 第3个图中棋子的个数为：， 第4个图中棋子的个数为：， 则第个图中棋子的个数为：， ， 解得：，（不合题意，舍去） 第个图中共有个棋子． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）某品牌服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，调查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件． (1)每件服装降价2元后，可售出商品________件； (2)每件服装降价元后，可售出商品________件（用含的代数式表示）； (3)如果每天要赢利2100元，且使消费者得到最大优惠，每件应降价多少元？ 【答案】(1)42 (2) (3)每件应降价30元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程解实际问题的方法，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）根据每件降价1元，则每天可多售6件，可得每件服装降价2元，则每题可多售出12件，由此即可求解； （2）根据（1）中的信息进行计算即可； （3）每件服装降价元，可售出商品件，则每件衣服的盈利为元，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，则每天可多售6件， ∴每件服装降价2元，则每题可多售出12件， ∴（件）， ∴降价2元，可售出商品42件， 故答案为：42； （2）解：根据题意，每件服装降价元后，可售出商品件， 故答案为：； （3）解：根据（2）可得，每件服装降价元，可售出商品件，则每件衣服的盈利为元， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∵使消费者得到最大优惠， ∴每件应降价30元． 1．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（    ） A．200 B．150 C．150或200 D．200或300 【答案】A 【分析】设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可； 【详解】设购买洗手液x瓶， ∵＜， ∴＞， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，设每件服装应降价x元，根据题意，即可列出方程． 【详解】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少销量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件． （1）若涨价为元，则每天的销量为 件；（用含的代数式表示） （2）若使每天获得700元的利润，售价应为 元． 【答案】 13或15 【分析】（1）利用每天的销售量，可用含的代数式表示出每天的销量； （2）利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）依题意得：每件涨价元时，每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 故答案为：； （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 售价应为13或15元， 故答案为：13或15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解得关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销量；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）根据背景材料，探索问题． 端午粽子销售价格的探究 生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价2元，超市平均可多售出20袋，但最低每袋要盈利15元． 销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周每袋粽子降低元，则第二周每袋的盈利是________元，销量是__________袋． 任务2 ①经两周后还剩余粽子_____________袋．（用的代数式表示） ②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】任务1： 任务2：① ②第二周的单价每袋应是48元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，列代数式．分别判断出第二周，及两周后每袋粽子的利润和销量是解决本题的难点． 任务1：第二周每袋的盈利=第一周每袋的售价每袋的进价每袋的降价x元，第二周的销量=第一周的销量降低的价格； 任务2：①经两周后还剩余粽子袋数=购进粽子的袋数第一周的销量第二周的销量； ②第一周粽子的利润+第二周粽子的利润+第二周结束后粽子的利润，把相关数值代入求得合适的x的值，进而求得第二周的单价即可． 【详解】解：任务1：任务1：第二周每袋的盈利元， 销量袋； 故答案为：； 任务2：①经两周后还剩余粽子袋数袋， 故答案为： ； ②第二周每袋粽子降低元， 由题意得 ∴ 解得或 ∵第二周最低每袋要盈利15元， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去） ∴， ∴第二周的单价每袋应是 答：第二周的单价每袋应是48元． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发，几秒钟后的面积等于？      【答案】秒或秒 【分析】设秒后, 的面积等于, 分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可. 【详解】设秒后, 的面积等于, 根据题意得： ， 解得:或， 答: 秒或秒后,的面积等于. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，能够表示出线段和线段的长是解答本题的关键. 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12时，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．6s 【答案】A 【分析】设出动点，运动秒，能使的面积为12，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒后，能使的面积为15， 则为cm，为cm，由三角形的面积计算公式列方程得：， 解得，（当时，，不合题意，舍去）， 动点，运动3秒时，能使的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（    ） A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟 【答案】B 【分析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm， 依题意，得：×2t•（8-t）=15， 解得：t1=3，t2=5， ∵2t≤6， ∴t≤3， ∴t=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3) 【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可； （2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可； （3）根据，将，代入化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2025·湖南岳阳·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25九年级上·湖南常德·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【答案】24 【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 4．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程. 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【答案】 【分析】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，将h=5代入关系式中， 得到：， 整理即：． 解得：，(负值舍去)， 答：运动员完成动作的时间最多不超过秒． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值h=5m代入函数关系式，就可以求出时间的最大值． 4．（2025九年级·湖南湘潭·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？ 【答案】12支. 【分析】每个队与其它队都要进行主、 客场比赛， 即每两个队之间要进行两场比赛， 设有个足球队， 比赛场次共有场， 再根据共有 132 场比赛活动来列出方程， 从而求解 ． 【详解】解： 设有个足球队参加， 依题意， ， 整理， 得， ， 解得：，（舍 去） ． 答： 共有 12 个足球队参加比赛 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．此题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场”列等量关系．． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据长与宽之间的关系，可得出长为，结合一张纸的面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长比宽多，设它的宽为， 长为， 根据题意得：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出等量关系，“头数加只数只数减头数只数乘头数只数除头数”，把相关数值代入化简即可． 【详解】设羊的只数为，则头数加只数为，只数减头数为，只数乘头数为，只数除头数为， ∴根据题意：， 解得：，(不符合题意，舍去) 故选：． 【点睛】此题考查了用一元二次方程解决实际问题，读懂题意，得到总只数为的等量关系是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）某中学学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了毕业留言1640份，则全班共有学生 名． 【答案】41 【分析】根据每个人只能给除自己以外的人写毕业留言，即每个人写份，据此列一元二次方程解题． 【详解】解：设全班共有学生名， 则 或（舍去） 全班共有学生41名． 故答案为：41． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题关键． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，，1 (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据计算即可； （2）把右边的写成求解即可； （3）利用配方法，结合求解． 【详解】（1）解：；；；； 故答案为：，1，，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴， 解得：，． 【经典例题十一 握手循环赛问题】 【例11】（24-25九年级上·湖南永州·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题． 此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为（n表示人数）列方程解答即可． 【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴有11人参加了这次宴会． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应邀请个队参赛， 根据题意得，， 即， 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 4．（2025·湖南怀化·模拟预测）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【拓展训练一 图形问题综合】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）某校计划在一块长为30米，宽为20米的矩形 地面上铺设同样宽的两条通路（图中阴影部分），设每条通路的宽为x米，剩余部分计划绿化，若绿化的面积为551平方米，求通路的宽x 的值． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的应用，由平移性质得到平移道路后总种植花草的边长及形状是解决本题的突破点． 将横向和纵向的两条道路平移，表示出剩余的长和宽，然后根据面积列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得∶， （不合题意，舍去）． 答：通路的宽x的值为1． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关】 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，为矩形的四个顶点，．动点分别从点同时出发，点P沿以的速度向点B移动，直到到达点B时停止，点Q沿以的速度向点D移动．经过几秒，点P和点Q之间的距离为？ 【答案】经过或，点P和点Q之间的距离为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用；利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 设经过，点和点之间的距离为，过点作，垂足为，则，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设经过，点和点之间的距离为． 点到达点时停止移动， ． 如图，过点作，垂足为， 则． ， ． 由勾股定理，得， ， ， 解得． 故答案为：经过或，点和点之间的距离为． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 【答案】(1) (2)过2秒或12秒 【分析】（1）根据点P的速度是，点Q的速度是，，，利用面积公式求解； （2）设经过秒的面积是面积的一半，则，， 进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用． 【详解】（1）解： 点P的速度是，点Q的速度是， 当时，，， ∵，， ∴，， ． （2）解：设经过秒的面积是面积的一半， 根据题意得：， 当 时如图： ， 整理得， 解得（舍去）或． 当时如图： ， 整理得， ，无解． 当时如图： ， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒，的面积是面积的一半． 3．（2025九年级·湖南常德·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 【拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以v米/秒的速度竖直向空中发射，经过t秒时，物体距离地面的高度（米），（其中）根据这个规律，若发射的速度米/秒时，问： (1)经过多少秒时，物体距离地面的高度是490米？ (2)求物体落回地面所需要的时间． 【答案】(1)10秒 (2)20秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）把代入得关于t的方程，解方程求出答案即可； （2）由题意可知，再把把代入得关于t的方程，解方程求出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， ， ， ， ∴， ∴经过10秒时，物体距离地面的高度是490米； （2）解：由题意得， 把代入得： ， ， ， 或， 解得：（不合题意舍去） ∴物体落回地面所需要的时间为20秒． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 【答案】（1），；（2）存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了图形规律探索以及一元二次方程的应用． （1）根据图形规律总结出规律并表示出来即可，并计算出结果． （2）根据题意列出关于n的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）图1中小正方形的数量是：（个） 图2中小正方形的数量是：（个） 图3中小正方形的数量是：（个） … 图n中小正方形的数量是：个， ， 故答案为：， （2）存在，理由如下： 根据题意：， 整理得：， 即， ∴，（舍去） 故时，使得等于的4倍． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）综合与实践 观察与思考： 规律发现：请用含的式子填空： （1）第个图案中小圆圈的个数为____________； （2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________； 规律应用： （3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】 解：（1）第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， 故答案为：； （3）依题意，， ∴， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染x人．初始有2人患病，第一轮传染后总人数为，第二轮传染后总人数为，根据题意，两轮后总患者数为162，由此建立方程． 【详解】解：第一轮传染：初始2人，每人传染x人，新增人．总患者数为． 第二轮传染：此时有人，每人再传染x人，新增人．总患者数为． 根据题意，两轮后总患者数为162，因此方程为：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用比赛的总场数=参赛队伍数参赛队伍数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，公园中有一块长为，宽为的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．设通道的宽为，根据矩形草坪的面积，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）随着夏季到来，西瓜进入丰收季，某地西瓜的供应量持续增加，导致市场价格两次降低，每次降低的百分率相同．已知西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元，则每次降低的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的“增长率”问题，先设每次降价的百分率是x，再根据“西瓜原价为每千克12.5元，经过两次降价后现价为每千克8元”，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设每次降低的百分率是， 由题意得：， 解得：，（舍）， ∴每次降低的百分率是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意表示出长方体的长和宽，进而表示出长方体的体积即可．再解得或，本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用，正确表示长方体的棱长是解题的关键． 【详解】解：由题意得：长方体的长为 ，宽为 则根据题意 ， 整理得：； 解得或， 故答案为：或 9．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于 . 【答案】4或8 【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4． 【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E， ∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠A=45∘， ∴△AA′E是等腰直角三角形， ∴A′E=AA′=x， A′D=AD−AA′=12−x， ∵两个三角形重叠部分的面积为32， ∴x(12−x)=32， 整理得,x−12x+32=0， 解得x=4,x=8， 即移动的距离AA′等4或8. 【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 10．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒钟，的面积等于，由题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 11．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【答案】参加比赛的球队有7支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，根据共比赛21场列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 12．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，则每件成本的平均降低率是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程，解出方程即可， 【详解】解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：， 解得：，(舍去）， 答：每件成本的平均降低率是． 13．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价定为8元/千克 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1），根据单件利润等于原来利润加上提价得出代数式，再根据每天卖出的质量减去少卖出的质量得出代数式即可； （2），结合（1），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，根据题意舍去不符合题意的解，此题可解． 【详解】（1）解：该水果每千克的利润是（元）；每天可以卖出水果（千克）. 故答案为：；； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， 让利于顾客， ， 故单价为8元． 答：单价定为8元/千克． 14．（24-25九年级上·湖南常德·期末）请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了增强学生体质，某学校决定新建一块篮球场地，供同学们课间活动使用． 相关信息 信息一：如图，运动区（阴影部分）的长和宽分别为28m和15m；运动区四周的宽度相等的条形区域（空白部分）是缓冲区； 信息二：运动区和缓冲区的总面积为； 信息三：运动区预计铺设硅PU，该材料的费用为100元/；缓冲区预计铺设EPDM塑胶颗粒，该材料的费用为70元； 信息四：可能用到的数据，． 问题解决 问题1：求缓冲区的宽度； 问题2：求场地铺设材料所需的总费用． 【答案】问题1：；问题2：55160元 【分析】本题考查了矩形面积的求解，一元二次方程公式法的求解，根据 “宽度相等”这一条件建立等式求解缓冲区的宽度进而求出面积是解决本题的关键． （1）根据缓冲区的四周的宽度相等，设出缓冲区的宽度，表示出长和宽，由总面积列方程求解即可． （2）先分别求出运动区和缓冲区的面积，再根据铺设的材料的价格计算即可． 【详解】解：问题一：设缓冲区的宽度为， ∵缓冲区的四周的宽度相等，且运动区的长和宽分别为28m和15m， ∴， 整理可得， ∴， ∵， ∴，（舍）， ∴缓冲区的宽度为． 问题二：∵运动区的长和宽分别为28m和15m， ∴运动区的面积为， ∵运动区和缓冲区的总面积为， ∴缓冲区的面积为， ∵运动区预计铺设硅PU，该材料的费用为100元/， ∴运动区的费用为元； ∵缓冲区预计铺设EPDM塑胶颗粒，该材料的费用为70元， ∴缓冲区的费用为元， ∴场地铺设材料所需的总费用为元． 15．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点Q从点开始沿着边向点以的速度移动． （1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ． 【答案】（1）1s；（2）不对，理由见解析 【分析】（1）设经t秒钟，PB=（5-t）cm，BQ=2tcm，利用△PQB的面积等于4cm2列方程解答即可． （2）设t秒后，的面积等于8cm2，利用△PQB的面积等于8cm2列出方程，再根据判别式得出方程根的情况即可得出结论 【详解】解：（1）设t秒后，的面积等于 t1=1，t2=4(不合题意，舍去） 答：1秒后，的面积等于 （2）不对 设t秒后，的面积等于8cm2 整理得：t2-5t+8=0 ∵ b2-4ac=25-32=-7<0 ∴此方程无解 ∴ 的面积不能等于8cm2 【点睛】此题主要考查了利用三角形的面积解决一元二次方程的应用问题．利用判别式判断方程根的情况是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $$