精品解析：陕西省咸阳市永寿县常宁镇中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024~2025学年度第二学期课后综合作业（一） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 2 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 对顶角相等 D. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 8. 如图，在中，，，点为的中点，平分，若的面积记为，的面积记为，则的值为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “a与2的和是正数”用不等式表示为______． 10. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 11. 关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为____________． 12. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为_____． 13. 如图，在四边形中，平分，且，若，边与的长度差为3．当的面积最大时，的长为_____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 求不等式的正整数解． 15. 解不等式：． 16. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，，垂足为，．求证：． 19. 体育课上进行投篮比赛，规定投进一球可得3分，未进一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进多少个球？ 20. 如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 21. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，各式帐篷已成为户外活动的必要装备．如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它整体上是底角为的等腰三角形，已知中柱垂直于底边，支柱垂直于边框，测得米，求边框的长． 22. 如图，在中，，于点D，平分交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 阳光学校为迎接第30个世界读书日，准备购买一批图书，发现有两套图书特别适合学生阅读．一套是价格为270元的革命家故事丛书，一套是价格为240元的青少年科普读物丛书． （1）若学校计划购买这两种图书不超过30套，且革命家故事丛书的数量是青少年科普读物丛书数量的1.5倍，求最多可以购买多少套青少年科普读物？ （2）学校打算再购买一套青少年科普读物丛书和几套革命家故事丛书．此时书店有促销活动，购买青少年科普读物丛书全套打九折，同时革命家故事丛书降价，若学校本次购书预算不超过1287元，则最多可购买几套革命家故事丛书？ 24. 在中，，点在上，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 数学课上，何老师提出如下的问题： 如图，在等边中，点在边上，点在边的延长线上，且，试确定的形状，并说明理由； 如图，过点作，交于点，先证是等边三角形，再证得，从而得出是等腰三角形． 完成下面问题： （1）上述思路证明的依据是_________； （2）聪明的小智同学想到另一种不同的思路：过点作交于点．请沿着小智同学的思路，求证：是等腰三角形； （3）在边长为的等边中，点在直线上运动，点在直线上运动，当，且是等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期课后综合作业（一） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有B符合题意． 故选：B． 2. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等边对等角和三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：A． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．∵， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项，系数化为即可得解． 【详解】解： 移项得，， 合并同类得项，， 系数化为得，． 故选：D． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求出的长． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故选：A． 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 对顶角相等 D. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，写出各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故A不符合题意； B 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故B不符合题意； C 、对顶角相等的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，故C符合题意； D 、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形逆命题是等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，，点为的中点，平分，若的面积记为，的面积记为，则的值为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 过点作，，得到，然后得到，利用三角形中线的性质得到，设，，则，进而求解即可． 【详解】解：过点作，，     为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “a与2的和是正数”用不等式表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用“a与2的和”即，再利用正数即大于0，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 10. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 11. 关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到，再由数轴可得不等式的解集为，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得 由数轴可知表示的不等式的解集为， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 13. 如图，在四边形中，平分，且，若，边与的长度差为3．当的面积最大时，的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的最值问题，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段关系，利用 “固定线段上的三角形面积最大时，高最大” 的几何原理分析最值． 延长交于点利用平分且证明得到、；由与的长度差得的面积是面积的一半，故需面积最大，而固定为3，当点C到的距离最大时面积最大（此时最后利用勾股定理求出的长，进而得的长． 【详解】解：延长交于点 ∵ 平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴即． ∵与的长度差为3， ∴． 的面积， 的面积的面积为A到的距离）， 故面积最大时，面积最大． 中，固定，面积为C到的距离），当最大时面积最大． ∵由垂线段性质，当时，（最大），此时面积最大． 在中，，由勾股定理得：， ∴． ∵， ． 故答案为： 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 求不等式的正整数解． 【答案】正整数解是1，2，3，4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法以及正整数解的确定，解题的关键是正确求解不等式，再从解集中找出正整数解． 先对不等式去括号、移项、合并同类项、系数化为1，得到不等式的解集；再从解集中筛选出正整数，即为所求正整数解． 【详解】解不等式 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1（不等号方向改变）得：． 因为小于5的正整数有， 所以该不等式的正整数解为． 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 【点睛】此题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 16. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】cm 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含直角三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰三角形性质求出顶角度数，再利用直角三角形的边角关系和勾股定理计算线段长度． 先根据等腰三角形的性质得，结合三角形内角和求出；由知为直角三角形，利用含直角三角形“所对直角边是斜边一半”得的长；最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：， ． ． ，， ． ． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质； 作边的垂直平分线交于D，可得，则，，然后可得，即和都是等腰三角形． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，，垂足为，．求证：． 【答案】 证明：∵, ． 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是结合平行线和垂直条件，找到全等三角形的对应条件． 由和可得；再结合和公共边利用定理证明进而得出． 【详解】略 19. 体育课上进行投篮比赛，规定投进一球可得3分，未进一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进多少个球？ 【答案】小李至少要投进10个球 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据得分不低于分的条件，列出关于投进个数的不等式并求解，注意结果需取整数． 设小李投进x个球，则未投进个球；根据投进得分减去未投进扣分等于总得分，且总得分不低于分，列出不等式，解不等式并取最小整数解，得到至少要投进的球数． 【详解】设小李至少要投进x个球，则未投进的球数为个． 根据题意，投进一球得3分，未进一球扣1分，且得分不低于分，可得： ． 去括号得：． 合并同类项得：． 移项得：即． 系数化为1得：． 答：小李至少要投进个球． 20. 如图，在中，，点是延长线上一点，是线段的垂直平分线，点是上一点，且，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到边相等进而转化为角相等，结合外角性质快速求角． 根据角平分线定义，由的度数直接求出的度数；利用是垂直平分线的性质得出进而得到最后根据三角形外角的性质，即等于与的和，求出 的度数． 【详解】解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ． ． 21. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，各式帐篷已成为户外活动的必要装备．如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它整体上是底角为的等腰三角形，已知中柱垂直于底边，支柱垂直于边框，测得米，求边框的长． 【答案】边框的长为米 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形，直角三角形，解题的关键是正确理解题意．根据直角三角形的两个锐角互余，角所对的直角边等于斜边的一半，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵米， ∴米， ∵，， ∴， ∴（米）， 答：边框的长为米． 22. 如图，在中，，于点D，平分交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质等知识点， （1）根据角的和差及直角三角形的性质求出， 再根据“等角对等边”即可得证； （2）根据线段垂直平分线的判定与性质求出．再根据等边三角形的判定与性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据线段的和差求解即可； 熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵于点D，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）可知， ∴． ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23. 阳光学校为迎接第30个世界读书日，准备购买一批图书，发现有两套图书特别适合学生阅读．一套是价格为270元的革命家故事丛书，一套是价格为240元的青少年科普读物丛书． （1）若学校计划购买这两种图书不超过30套，且革命家故事丛书的数量是青少年科普读物丛书数量的1.5倍，求最多可以购买多少套青少年科普读物？ （2）学校打算再购买一套青少年科普读物丛书和几套革命家故事丛书．此时书店有促销活动，购买青少年科普读物丛书全套打九折，同时革命家故事丛书降价，若学校本次购书预算不超过1287元，则最多可购买几套革命家故事丛书？ 【答案】（1）最多可以购买12套青少年科普读物 （2）最多可购买4套革命家故事丛书 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用； （1）设购买套青少年科普读物，则购买套革命家故事丛书，根据“购买这两种图书不超过30套”列不等式，求解即可； （2）设购买套革命家故事丛书，根据促销方案及购书预算不超过1287元列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设购买套青少年科普读物，则购买套革命家故事丛书． 根据题意可列不等式， 解得， 最大值取12， 最多可以购买12套青少年科普读物； 【小问2详解】 设购买套革命家故事丛书， 根据题意得：， 解得， 为正整数， 的最大值为4． 答：最多可购买4套革命家故事丛书 24. 在中，，点在上，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，即 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是关键； （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，，由题意得，即可证明； （2）连接，设，根据线段垂直平分线的性质得到，，从而表示出，分别用勾股定理表示出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 设， ∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 即 25. 如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论； （2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在边上取一点，使得． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴． 26. 数学课上，何老师提出如下的问题： 如图，在等边中，点在边上，点在边的延长线上，且，试确定的形状，并说明理由； 如图，过点作，交于点，先证是等边三角形，再证得，从而得出是等腰三角形． 完成下面问题： （1）上述思路证明的依据是_________； （2）聪明的小智同学想到另一种不同的思路：过点作交于点．请沿着小智同学的思路，求证：是等腰三角形； （3）在边长为的等边中，点在直线上运动，点在直线上运动，当，且是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2） 证明：如图1，过点作交于点． 是等边三角形， ， 又， ， 是等边三角形， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）过点作，交于点，根据平行线的性质证明是等边三角形，根据性质证明，根据求证即可； （）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质即可求证； （）分两种情况讨论即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：（或边角边）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 或． 分两种情况． ①如图，过点作于点，过点作于点，则． 是等边三角形， ． ， ， ． ， ， ． ， 为的中点， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． 又， ． ②如图，过点作于点，过点作于点，则． 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ， ， ，， ， ． 又，， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $