第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷-2025-2026学年高一上学期人教A版必修第一册

第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元检测卷 本试卷共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1、设，，，则P，Q，R的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2、对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 3、已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 4、若且.则成立的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 5、已知x＞0，y＞0且1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥9 B．m≤-3 C．m≥-1 D．﹣9＜m＜1 6、已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（　　） A．{2} B．m≥2 C．0＜m≤2 D．m＞0 7、已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　） A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1 8、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、不等式的解集中恰有三个正整数解，则a的可能取值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 10、若不等式ax2+bx+c＞0的解为﹣1＜x＜2，则下列说法正确的是（　　） A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解为﹣3＜x＜1 D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解为x＜﹣3或x＞1 11、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图象的对称轴是直线x＝3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12、正数a，b满足，若存在a，b满足不等式2a+b＜x2+3x有解，则实数x的取值范围为 13、已知，，，则＋的最小值为____． 14、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有 　　个． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、求不等式的解集： （1）﹣x2+4x+5＜0； （2）2x2﹣5x+2≤0； （3）； （4）． 16、解关于x的不等式： (1) (2) 17、设a，b，c均为正数，且a+b＝1． （1）求的最小值； （2）证明：． 18、已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0． （1）当a∈R时，解关于x的不等式； （2）当2＜x＜3时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围． 19、（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围． （2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1． 第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元检测卷 本试卷共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1、设，，，则P，Q，R的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， 而，， 而， ，即， 综上，. 故选：B. 2、对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　） A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可． 【解答过程】解：因为， 所以，故①错误； 当取x＝﹣1时，显然不成立，故②错误； 因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2， 所以，故③正确． 故选：C． 3、已知a，b为正实数且a+b＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【解题思路】由已知可知1，利用基本不等式即可求解． 【解答过程】解：因为a，b为正实数且a+b＝2， 所以1≥21＝2+1＝3，当且仅当，即a＝b时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：D． 4、若且.则成立的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.当时，，则，故A错误； B.当时，不满足，故B错误； C.当时，，则，反过来，时， ，推不出，所以是成立的一个充分非必要条件，故C正确； D.当时，不满足，故D错误. 故选：C 5、已知x＞0，y＞0且1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥9 B．m≤-3 C．m≥-1 D．﹣9＜m＜1 【解题思路】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案． 【解答过程】解：∵x＞0，y＞0，且且1， ∴x+y＝（x+y）（）＝525＝9， 当且仅当，即x＝3，y＝6时取等号． ∴（x+y）min＝9， 由x+y＞m2+8m 恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9， 解得：﹣9＜m＜1， 故选：D． 6、已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（　　） A．{2} B．m≥2 C．0＜m≤2 D．m＞0 【解题思路】由题意可得ab2≥＝4，将化为am，再利用基本不等式可求得m的范围． 【解答过程】解：因为a，b为正实数，所以ab2≥2+2＝4， 当ab，即ab＝1时等号成立，此时b， 又因为，所以am， 所以由基本不等式可知a2（a＝1时等号成立）， 所以m≥2． 故选：B． 7、已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　） A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1 【解题思路】对k进行分类讨论，当k＝0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求得k的范围，最后综合得到答案． 【解答过程】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立， 当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立， 当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立， 需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0， 解得0≤k≤1， 故选：A． 8、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解题思路】由已知结合二次函数的性质分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：由图象可知，a＜0，1，c＞0， 所以b＝﹣2a＞0， 所以abc＜0①错误； 由图象可知，抛物线与x轴有2个交点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，②正确； 因为f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝8a+c＜0，③正确； 因为f（﹣1）＝a﹣b+c＞0，f（2）＝4a+2b+c＞0， 所以5a+b+2c＞0，④正确． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误. 【详解】 由，分类讨论如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或. 故选：AB. 10、若不等式ax2+bx+c＞0的解为﹣1＜x＜2，则下列说法正确的是（　　） A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解为﹣3＜x＜1 D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解为x＜﹣3或x＞1 【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解． 【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解为﹣1＜x＜2，则a＜0，正确． B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解为﹣1＜x＜2，可得f（1）＝a+b+c＞0，正确． C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得1，2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1， 关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解为x＜﹣3或x＞1，C错误，D正确． 故选：ABD． 11、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图象的对称轴是直线x＝3 【解题思路】根据所给的图象可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴，由过A（1，0），B（5，0），可知对称轴的方程以及最值情况． 【解答过程】解：当x＝0时，y＝c，由二次函数的图象可知，图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，即c＞0，故A错误； 因为图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，故B错误； 因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0）， 所以对称轴方程为x3，故D正确； 结合图象可知，在x＝3处函数取得最小值，故C正确； 故选：CD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12、正数a，b满足，若存在a，b满足不等式2a+b＜x2+3x有解，则实数x的取值范围为 　{x|x＞1或x＜﹣4}　． 【解题思路】先根据基本不等式求得2a+b的最值，再结合已知求出实数x的取值范围即可． 【解答过程】解：∵正数a，b满足， ∴2a+b（2a+b）（）（4） （4+2）＝4，当且仅当b＝2a时等号成立， ∵不等式2a+b＜x2+3x有解， ∴x2+3x＞4，解得x＞1或x＜﹣4， ∴实数x的取值范围为{x|x＞1或x＜﹣4}． 故答案为：{x|x＞1或x＜﹣4}． 13、已知，，，则＋的最小值为____． 【答案】 【分析】 将原等式化为，从而可得，利用换元法和基本不等式可求最值. 【详解】 可化为， 因为，，故，故， 所以. 设，故且， 故 又， 因为，故即，当且仅当时等号成立， 故的最小值为4，故的最小值为. 故答案为：. 14、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有 　4　个． 【解题思路】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②③；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，即可判断④；讨论ax2+bx+c＝±1，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤． 【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0， ∴abc＜0，①错误； ∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a）， ∴2，9a， ∴b＝4a，c＝﹣5a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a， ∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正确； 9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正确； ∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1.0）， ∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，④正确； 若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2， 则2，可得x1+x2＝﹣4， 设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则2，可得x3+x4＝﹣4， 所以这四个根的和为﹣8，⑤正确． 故答案为：4． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、求不等式的解集： （1）﹣x2+4x+5＜0； （2）2x2﹣5x+2≤0； （3）； （4）． 【解题思路】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可； （2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集； （3）不等式化为，再求解集； （4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集． 【解答过程】解：（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0， 解得x＜﹣1或x＞5， 所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}； （2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0， 解得， 所以不等式的解集为； （3）由，可得， 解得x≤﹣1或x＞3， 所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}； （4）由，可得， 等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1， 所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}． 16.已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值； (2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，求k的值； (3)若不等式的解集为R，求k的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围． 【解析】(1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－. (2)由不等式的解集为，可知，解得k＝－. (3)依题意知，解得k<－. (4)依题意知，解得k≥. 17、设a，b，c均为正数，且a+b＝1． （1）求的最小值； （2）证明：． 【解题思路】（1）由已知结合乘1法及基本不等式即可求解； （2）法一：证明：由柯西不等式即可直接证明， 法二：结合分析法，要证明，只需证明 ，只需证明 ，只需证明 ，然后结合基本不等式即可求证． 【解答过程】解：（1）∵a，b均为正数，且a+b＝1， ∴， 当且仅当，即， 时，等号成立， 故的最小值为． （2）法一：证明：由柯西不等式可得，（2﹣a+2﹣b）（12+12）≥（）2，即， 当且仅当，等号成立． 法二：证明：（分析法）要证明， 只需证明 ， 只需证明 ， 只需证明， 因为，当且仅当2﹣a＝2﹣b，即a＝b时，等号成立． 综上所述：． 18、已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0． （1）当a∈R时，解关于x的不等式； （2）当2＜x＜3时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围． 【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，讨论a＝0和a＜0、a＞0时，求出对应不等式的解集即可． （2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a恒成立，求出f（x）在x∈[2，3]时的最小值即可． 【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0， 当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1， 当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x）≥0， 解得x，或x≥1； 当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x）≤0； ①0＜a时，1，解不等式得1≤x， ②a时，1，解不等式得x＝1， ③a时，1，解不等式得x≤1． 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}， 当a＜0时，不等式的解集为{x|x或x≥1}， 0＜a时，不等式的解集为{x|1≤x}， a时，不等式的解集为{x|x＝1}， a时，不等式的解集为{x|x≤1}． （2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1， 当2＜x＜3时，1＜x-1＜2，且3＜x+1＜4， 所以原不等式可化为a恒成立， 设y，2＜x＜3， 则f（x）的最小值为， 所以a的取值范围是a≤． 19、（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围． （2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1． 【解题思路】（1）利用Δ＜0列不等式求出实数m的取值范围； （2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集． 【解答过程】解：（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0， 由m2+1＞0知，Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0， 化简得﹣4m﹣3＜0，解得m， 所以实数m的取值范围是m； （2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＞0，且1， 解得x＜1或x， 所以不等式的解集为{x|x＜1或x}； a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0， 解得x＜1， 所以不等式的解集为{x|x＜1}； a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x）＜0，且1， 解得x＜1， 所以不等式的解集为{x|x＜1}． 综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x}； a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}； a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$