专题 15.5 等边三角形（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024)

专题 15.5 等边三角形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 知识点（一）等边三角形性质 1 【题型1】利用等边三角形性质求值 1 【题型2】利用等边三角形性质证明 3 知识点（二）等边三角形判定 8 【题型3】利用等边三角形判定求值 8 【题型4】利用等边三角形判定证明 11 知识点（三）含30°的直角三角形性质定理 15 【题型5】利用“30°的直角三角形性质定理”求值 15 【题型6】利用“30°的直角三角形性质定理”证明 17 知识点（四）三角形中边与角之间的不等关系 20 【题型7】利用“三角形中边与角之间的不等关系”求值证明 21 【题型8】利用等边三角形性质与判定综合求值证明 25 二. 同步练习 28 【基础巩固（20题）】 28 【能力提升（20题）】 46 【中考真题9题】 72 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 等边三角形的定义： 三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊等腰三角形. 由等腰三角形性质“等边对等角”很容易得到： 知识点（一）等边三角形性质 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°; 【题型1】利用等边三角形性质求值 【例题 1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，等边三角形中，为边的中点，为延长线上一点，，于．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答的关键； 由等边△的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据外角的性质可求的度数，进而得，即可求得的度数． 解：三角形是等边， ，， 又， ， 又， ； ∵为边的中点，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可． 解：AD是等边三角形ABC的角平分线， ． 以AD为斜边作等腰直角三角形ADE， ， ． 故答案为：． 【题型2】利用等边三角形性质证明 【例题 2】（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知等边三角形是直线上一点，以为一边，向上作等边三角形，连接． （1）如图①，当点D在边上时，求证：． （2）在（1）的条件下，猜想之间的位置关系，并说明理由． （3）如图②，当点D在边的延长线上时，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析；（3）仍然成立，证明见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （3）同样的方法，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得． 解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴． （3）解：仍然成立，证明如下： ∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键． 根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③． 解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； ， 和边上的高相等， 即点B到和边的距离相等， 平分，故③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识；根据等边三角形的性质可得，，，求出，即可证明，①正确；利用证明和，可得②错误；利用三角形外角的性质可求出，③正确；作于点，作于点，利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，即可判断④正确．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 解：、均为等边三角形， ，，， ∴，即， ，①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， 图中至少有三对全等三角形，②错误； ∵， ∴， ∴，③正确； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，④正确； 综上，正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 由等腰三角形判定“等角对等边”和“三角形内角和为180°”很容易得到： 知识点（二）等边三角形判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【题型3】利用等边三角形判定求值 【例题 3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由线段垂直平分线的性质得，即得，进而得，又根据直角三角形的性质得，即得，即可求证； （）由角的和差关系得，即得，进而得，再根据线段的和差关系即可求解． 解：（1）证明：∵点在的垂直平分线上， ， ， ， 于点， ∴， ， ， 是等边三角形； （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，方位角的表示，先由题意得出，，（海里），再结合平行线的性质得，然后得证是等边三角形，即可作答． 解：连接，如图所示： ∵一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地， ∴，，（海里）， ∵， ∴， 即， ∵（海里）， ∴是等边三角形， 则海里． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【答案】 等边三角形 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，由轴对称可得，，，，即得，，即得为等边三角形；又由轴对称的性质得，，即可得的周长，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：∵与关于对称，与关于对称， ∴，，，， ∴，， ∴为等边三角形； ∵与关于对称，与关于对称， ∴，， ∴的周长， 故答案为：等边三角形；． 【题型4】利用等边三角形判定证明 【例题 4】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）为等边三角形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，可得，由“”可证，即可证明； （2）证明，，由等边三角形的判定定理，即可判断的形状． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式1】（23-24八年级上·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负性可得，从而可得，再根据等边三角形的判定即可得． 解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·山东·期末）如图，平分，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分．则下列结论中： ①是的高； ②是等边三角形； ③； ④． 其中正确的是 （填写序号） 【答案】①③④ 【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD，则可证明∠C=∠ABC，于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D点作DH⊥AB，如图，利用角平分线的性质得到DE=DH，DH=DF，则可对③进行判断；证明△ADE≌△ADH得到AH=AE，同理可得BH=BF，则可对④进行判断． 解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC=∠FBD， ∵AC∥BF， ∴∠C=∠FBD， ∴∠C=∠ABC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD=BD， ∴是的高；是等腰三角形； 所以①正确；②错误； 过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB， ∴DE=DH， ∵AC∥BF，DE⊥AC， ∴DF⊥BF， ∵BD平分∠ABF，DH⊥AB， ∴DH=DF， ∴DE=DF，所以③正确； 在△ADE和△ADH中，， ∴△ADE≌△ADH（HL）， ∴AH=AE， 同理可得BH=BF， ∴AB=AH+BH=AE+BF，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质． 【例5】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：中，，求证：． 证明：在上取点F，使，连接． ∵， ∴ ∴是等边三角形（______） ∴， ∴______ ∵ ∴______（______） ∴ ∴ 【答案】等边三角形的判定；；；等边对等角 【分析】本题主要考查了对“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”的理解，解题的关键是正确理解题意，作出辅助线求解．在上取点F，使，连接，结合，可得出是等边三角形，再由等边三角形的性质，等腰三角形的性质即可得出答案． 解：证明：在上取点F，使，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形（等边三角形的判定）， ∴，， ∴， ∵， ∴（等边对等角）， ∴， ∴． 故答案为：等边三角形的判定；；；等边对等角 这样，我们就得到了含直角三角形的性质. 知识点（三）含30°的直角三角形性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 数学语言：如图7在中，，，则 。 图7 【题型5】利用“30°的直角三角形性质定理”求值 【例题 7】（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，． （1）求的度数． （2）求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由垂直平分得，即可求得的度数，根据三角形外角的性质即可得到答案； （2）根据含角的直角三角形的性质求得的长，则可求得答案． 解：（1）解：∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； （2）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为． 【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及直角三角形两锐角互余等知识点．掌握垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点M．已知，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质作出辅助线是解题的关键． 根据尺规作角平分线的方法可知平分，因此作，可得，进而由直角三角形的性质可得的长度． 解：由题意可知：平分，过点作交于点，如图： ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D； 【变式2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，已知是射线上一动点（即可以在射线上运动），， 当 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质解答． 解：当时，， ， 当时，， ， 故答案为：或． 【题型6】利用“30°的直角三角形性质定理”证明 【例题 8】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角可得，然后再计算出的度数，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半进而可求解； 解：（1）解：补全图形如下： （2）证明：如图，连接， 由（1）知，是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，两直线与相交于点，它们相交所成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】先利用轴对称作出点B关于直线m的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 解：如图，作B点关于直线m的对称点E，作直线， 根据轴对称可知：，，， 过点E作，垂足为点F，交直线n于点H， ∵垂线段最短，两点之间线段最短， ∴当C点位于点F，D点位于点H时，的值最小，等于， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念． 【例题 12】求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么较大的边所对的角也较大． 【答案】见分析． 【分析】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三角形的外角性质求出∠AEC＞∠B即可． 解：已知：△ABC中，AB＞AC， 求证：∠ACB＞∠B 证明：在AB上截取AE=AC，连接CE， ∵AE=AC， ∴∠AEC=∠ACE， ∵∠AEC＞∠B，∠ACB＞∠ACE， ∴∠ACB＞∠B． 【点拨】本题主要考查对三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠AEC=∠ACE和∠AEC＞∠B是解此题的关键． 知识点（四）三角形中边与角之间的不等关系 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.反过来， “在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大”也成立。 数学语言：如图2，在中，若，则。 图5 【题型7】利用“三角形中边与角之间的不等关系”求值证明 【例题 10】（2025·重庆·二模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 【答案】（1）见分析；（2），，，大 【分析】此题考查了基本作图，全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是关键． （1）按照角平分线的作图方法作图，再作线段等于已知线段即可； （2）证明，则，由得到． 解：（1）如图即为所求， （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较大．（填“大”或“小”）． 故答案为：，，，大 【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．证出，根据全等三角形的性质可得，则可判断选项A正确；先根据平行线的性质可得，再根据，则可得，由此即可判断选项B错误；根据可得，由此即可判断选项C错误；根据，即可判断选项D错误． 解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，则选项A正确； 由图可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴，则选项B错误； 由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 解：证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 【题型8】利用等边三角形性质与判定综合求值证明 【例题 11】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式1】（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，连接，，由，，则，又垂直平分，垂直平分，故有，，所以，，通过外角性质可得，证明是等边三角形，最后通过等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，而，，即可根据证明，得，，所以是等边三角形，则，求得，于是得到问题的答案． 解：是等边三角形，点在上， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．利用含角的直角三角形的性质可得答案． 解：在中，，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断． 解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 当添加时， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是的三边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及等边三角形的判定方法是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得三边的数量关系，进而可判断出的形状． 解：∵， ∴，， ∴，，即， 又∵，，是的三边， ∴是等边三角形． 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 5．（2025·安徽·三模）如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得，然后证得是等边三角形，然后得到，然后根据三角形外角的性质，即可求解； 解：∵是含直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外角， ∴； 故选：A； 6．（24-25八年级上·天津·期末）如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先由直角三角形的性质可得，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在中，，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（   ） A．12 B． C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， 点D到的距离为3， ， 在中，， ， ， 故选：C． 8．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得． 解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到．由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形． 解：∵直尺的对边平行 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 10．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．先利用等边三角形的性质证明，证明是等腰三角形，即可解决问题． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了角平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线性质得到，再结合含角的直角三角形性质求出． 先作辅助线，利用角平分线性质得出，再根据含角的直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半求出，最后计算的长度． 解：作于， ∵是的角平分线，， ， ， ， ， 故答案为：9． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为 元． 【答案】240000 【分析】线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，，由角平分线的定义证得，进而证得，得，可得当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，， ∵，， ∴，， ， ∵平分， ， ， 又， ∴， ， ， ∴当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， 是等边三角形， ， ∵步道建设成本为每米400元， ∴这两条步道总建设费用的最小值为元， 故答案为：240000． 【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 14．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为 °． 【答案】120 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，折叠的性质，正六边形的性质， 作于点，作于点，易得，再根据折叠的性质得都是等边三角形，然后由阴影部分为正六边形的一半，且周长为30，可得，进而得出，即可得出答案． 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴. ∴， ∴； 根据题意可知，， ∴， ∴． ∴； 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形. ∵阴影部分为正六边形的一半，且周长为30， ∴， ∴，则的周长为． 故答案为：54． 16．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示放置的都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，且点都在同一直线l上，且，，，……则的横坐标为 ，纵坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．过点向x轴作垂线，根据的坐标，求出的坐标，根据以上规律即可得到答案． 解：过点向x轴作垂线，垂足为C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵坐标为， ∴，， ∵轴，， ∴点坐标为， 同理可得点坐标为， 点坐标为， ……， 按照以上规律，我们可得： 点横坐标为，纵坐标为， 故答案为：； 三、解答题 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，， 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先结合题意确定，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”易得，再证明，进一步可得． 解：证明：∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 18．（2025·四川宜宾·二模）如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M． （1）求证：． （2）求． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和，即可求出答案； 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解题的关键． 解：（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知：， ∴， ∴， ∴在中， ； ∴ 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． （1）求证：； （2）分别求出的度数． 【答案】（1）见分析；（2）； 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 解：（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 20．（24-25八年级上·吉林·期中）中， ，点 E、F分别是边和上的动点，但始终保持不变． （1）如图①，若求证： （2）如图②，当与不平行时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）设则 周长的最小值为 （用含a 的式子表示）． 【答案】（1）见分析；（2）（1）中结论仍然成立，证明见分析；（3） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由平行线的性质推出，则，再由三线合一定理得到，则可证明，进而可证明； （2）在上截取，连接，证明，得到，，导角证明，得到，则； （3）证明是等边三角形，推出当时，最小，即此时的周长最小，求出，此时有，即可得到的周长最小为． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，最小，即此时的周长最小， ∵ ∴， ∴此时有， ∴的周长最小为． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．连接、．根据轴对称的性质，证明是等边三角形，可得结论． 解：如图，连接、． ∵点P关于、的对称点分别为E、F， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过E点作的延长线于F点，作于G点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据 线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过E点作的延长线于F点，作于G点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 二、填空题 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，证，推出，求出，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 又∵， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 【答案】 45 4 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用角度关系推导角的度数，结合角直角三角形的特殊性质及勾股定理计算线段长度． （1）通过直角三角形角度关系、角平分线性质及等腰三角形性质，推导角度间的数量关系，得出的度数． （2）通过角平分线和直角三角形性质推导出，结合 判定 为等腰直角三角形，得 ；再利用 角所对直角边等于斜边一半，在 中得 ，在 中得 ，进而得 ． 解：（1）在中，，，则． ∵ 是的平分线， ∴． 由于为等腰三角形，，故． ，则． 在中，． 又因为与互补，所以． 故答案为：． （2）∵平分，， ∴，又， ∴，又得， ∴，又由（1）知 ∴， 结合知，是等腰直角三角形， ∴． 在中，，则， 在中，，则， 因，则． 故答案为： 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，垂直平分线的判定与性质，以为边在下方作等边，连接，交于点，则有，，又是等边三角形，所以，，证明，得到，得，即垂直平分，则，从而有，则当点三点共线时最小，即最小，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，以为边在下方作等边，连接，交于点， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 则当点三点共线时，如图， ∴最小，即最小，为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 解：（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 16．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，角平分线、交于点，于点．下列结论： ①；②；③；④； 其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点，由角平分线的性质得，根据等面积法即可判断①正确；由，得，根据角平分线的定义，进而得出，可判断②正确；由，推导出，而，则可判断③错误；在上截取，连接，可证明，推导出，再证明，，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 解：如图，作于点， 的角平分线、交于点，于点， ， ， 即，故①正确； ， ， ，， ， ， 故②正确； ，， ， ， ， 故③错误； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题 17．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，由等边三角形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质推出，，即可求出BH的长． 解：是等边三角形，是角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 18．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】本题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过P作的平行线至于F，易证是等边三角形，再证明与全等，得出结论； （2）利用是等边三角形，，得出，再由，得出，由此得出与的关系解决问题． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 过P作的平行线至于F， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：结论：，理由： ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． （1）观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． （2）探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）①成立，理由见分析；②，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键 （1）作于点D，根据角平分线的性质结合题意证明，即可得出结论； （2）①同（1）的方法证明即可；②先证明，得到得到，，结合题意利用含30度角的直角三角形性质得到，，进而推出结论 解：（1），理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ． ②∵点P在的角平分线上，， ， ， ， ，， ， , ， 又，， ，即 20．（24-25八年级上·吉林·期末）已知点在y轴正半轴上，以为边作等边． （1）如图①，点P在x轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交x轴于点C． ①求证：； ②求证： （2）如图②，若点M为y轴正半轴上一动点，点M在点A的上边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交x轴于点D，当点M运动时，的值是否发生变化？若不变，直接写出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2）不变， 【分析】本题主要考查了等边三角形性质、全等三角形的性质和判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质可得，进而得到，根据即可证明结论；②由全等三角形的性质可得；等边三角形的性质可得，根据角的和差可得，最后根据等边对等角即可证明结论； （2）先求得，再运用（1）的方法证明可得，进而得，由角的性质可知，最后根据线段的和差即可解答． 解：（1）解：①∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的值不变， ∵， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值不变，其值． 【中考真题9题】 一、单选题 1．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 2．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 二、填空题 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 解：证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 9．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 解：（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 15.5 等边三角形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 知识点（一）等边三角形性质 1 【题型1】利用等边三角形性质求值 1 【题型2】利用等边三角形性质证明 2 知识点（二）等边三角形判定 3 【题型3】利用等边三角形判定求值 3 【题型4】利用等边三角形判定证明 4 知识点（三）含30°的直角三角形性质定理 6 【题型5】利用“30°的直角三角形性质定理”求值 6 【题型6】利用“30°的直角三角形性质定理”证明 7 知识点（四）三角形中边与角之间的不等关系 8 【题型7】利用“三角形中边与角之间的不等关系”求值证明 8 【题型8】利用等边三角形性质与判定综合求值证明 9 二. 同步练习 10 【基础巩固（20题）】 10 【能力提升（20题）】 15 【中考真题9题】 21 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 等边三角形定义：三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊等腰三角形. 由等腰三角形性质“等边对等角”很容易得到： 知识点（一）等边三角形性质 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°; 【题型1】利用等边三角形性质求值 【例题 1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，等边三角形中，为边的中点，为延长线上一点，，于．求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为 ． 【题型2】利用等边三角形性质证明 【例题 2】（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知等边三角形是直线上一点，以为一边，向上作等边三角形，连接． （1）如图①，当点D在边上时，求证：． （2）在（1）的条件下，猜想之间的位置关系，并说明理由． （3）如图②，当点D在边的延长线上时，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 由等腰三角形判定“等角对等边”和“三角形内角和为180°”很容易得到： 知识点（二）等边三角形判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【题型3】利用等边三角形判定求值 【例题 3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 【变式2】（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【题型4】利用等边三角形判定证明 【例题 4】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【变式2】（23-24八年级上·山东·期末）如图，平分，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分．则下列结论中： ①是的高； ②是等边三角形； ③； ④． 其中正确的是 （填写序号） 【例5】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：中，，求证：． 证明：在上取点F，使，连接． ∵， ∴ ∴是等边三角形（______） ∴， ∴______ ∵ ∴______（______） ∴ ∴ 这样，我们就得到了含直角三角形的性质. 知识点（三）含30°的直角三角形性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 数学语言：如图7在中，，，则 。 图7 【题型5】利用“30°的直角三角形性质定理”求值 【例题 7】（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，． （1）求的度数． （2）求的长度． 【变式1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点M．已知，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，已知是射线上一动点（即可以在射线上运动），， 当 时，为直角三角形． 【题型6】利用“30°的直角三角形性质定理”证明 【例题 8】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，两直线与相交于点，它们相交所成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值是 ． 【例题 12】求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么较大的边所对的角也较大． 知识点（四）三角形中边与角之间的不等关系 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.反过来， “在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大”也成立。 数学语言：如图2，在中，若，则。 图5 【题型7】利用“三角形中边与角之间的不等关系”求值证明 【例题 10】（2025·重庆·二模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在中，．求证：． 证明：∵平分， ∴ ① ， 在和中， ∴ ③ ， ∵， ∴． 结论：在三角形中，如果两条边的长度不相等，那么它们所对的角也不相等，且大边所对的角较 ④ ．（填“大”或“小”）． 【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【题型8】利用等边三角形性质与判定综合求值证明 【例题 11】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    二. 同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，，是的三边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2025·安徽·三模）如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·天津·期末）如图所示，在中，，于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（   ） A．12 B． C．9 D．6 8．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 二、填空题 9．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是 三角形． 10．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为 ． 11．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，，则 ． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为 元． 14．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为 °． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为 ． 16．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图所示放置的都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，且点都在同一直线l上，且，，，……则的横坐标为 ，纵坐标为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，， 求证：． 18．（2025·四川宜宾·二模）如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M． （1）求证：．（2）求． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． （1）求证：； （2）分别求出的度数． 20．（24-25八年级上·吉林·期中）中， ，点 E、F分别是边和上的动点，但始终保持不变． （1）如图①，若求证： （2）如图②，当与不平行时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）设则 周长的最小值为 （用含a 的式子表示）． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且B，C，D在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 10．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为 ． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 16．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，角平分线、交于点，于点．下列结论： ①；②；③；④； 其中正确的是 ． 三、解答题 17．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 18．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． （1）求证：； （2）线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． （1）观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． （2）探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·吉林·期末）已知点在y轴正半轴上，以为边作等边． （1）如图①，点P在x轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交x轴于点C． ①求证：； ②求证： （2）如图②，若点M为y轴正半轴上一动点，点M在点A的上边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交x轴于点D，当点M运动时，的值是否发生变化？若不变，直接写出其值；若变化，请说明理由． 【中考真题9题】 一、单选题 1．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 9．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$