专题 15.3 画轴对称图形（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024)

专题 15.3 画轴对称图形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 知识点（一）画简单图形的轴对称图形 1 【题型1】画轴对称图形 2 知识点（二）平面直角坐标系中的轴对称 3 【题型2】在平面直角坐标系中的画轴对称图形 3 知识点（三）画“将军饮马”图形 4 【题型3】画“将军饮马”图形 5 知识点（四）轴对称的综合应用 6 【题型4】折叠问题 7 【题型5】平面直角坐标系中的轴对称变换 7 二. 同步练习 8 【基础巩固（16题）】 8 【能力提升（16题）】 12 【中考真题10题】 17 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 【例题1】（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形． （1）在图中画出三角形； （2）若，，则= ． 由【例1】我们可以得出：1.确定原图形的关键点；2.确定平移方向和距离；3.找出关键点的对应点，连接关键点，画出平移后图形。 知识点（一）画简单图形的轴对称图形 类似地，我们只要画出图形中的一些特殊点的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 作图主要步骤： 1.找出原图形的关键点； 2.过关键点作对称轴的垂线，并延长至对称轴另一侧，使延长部分与垂线在对称轴同侧的部分长度相等，得到关键点的对应点； 3.按原图形的连接顺序，连接所有对应点，得到轴对称图形. 【题型1】画轴对称图形 【例题 2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）已知图①是轴对称图形，在图①中作出该图形的对称轴； （2）如图②，直线是线段的垂直平分线，点是直线外一点，位置如图所示．作出点的对称点． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）按下列要求作图： （1）图1，用直尺和圆规作线段的垂直平分线； （2）在图2中画出关于的对称图形（不写作法，保留作图痕迹） 知识点（二）平面直角坐标系中的轴对称 点关于轴对称的点的坐标为； 点关于轴对称的点的坐标为. 【题型2】在平面直角坐标系中的画轴对称图形 【例题 3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，； （2）点的坐标为_________． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．若与关于轴对称，点的对应点分别为、、．请在图中作出，并写出点、、的坐标． 【变式2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． （1）将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 知识点（三）画“将军饮马”图形 “将军饮马” 是初中几何中经典的最短路径问题模型，其核心思路基于轴对称的性质（即 “两点之间，线段最短”）。解决问题的本质是把“折”转化成“直”的问题。 如图①所示，在直线同侧有两个不同的点、,在直线上取一点，使和最小; 方法：过点作关于直线的对称点，连接，如图②，由对称性质得到，得到; 在直线取一点，连接、，如图③由， 点为所求。 【题型3】画“将军饮马”图形 【例题 4】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的和最小，并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写作法）． 知识点（四）轴对称的综合应用 轴对称变换是初中几何学习中的一个重要内容，利用轴对称性质解决问题，主要包括以下三类题型： 1.将军饮马问题（后面专题学习）；2.折叠问题； 3.坐标系中的轴对称变换. 【题型4】折叠问题 【例题 5】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，三角形纸片，将纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． （1）作出直线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，如果，直接写出的度数为 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图，先将纸折叠，然后剪纸，展开即得到图案），则下列四个图案，不能用上述方法剪出的是（　　） A． B． C． D． 【题型5】平面直角坐标系中的轴对称变换 【例题 6】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2025七年级上·广东·专题练习）下面图形中，对称轴数量最多的是（ ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂灰，再将其余的小正方形涂灰一个，使四个被涂灰部分构成的图案为轴对称图形．能满足条件的涂法有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点E的坐标为，其关于轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 种不同的移法． 8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若与关于轴对称，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知点，若线段轴，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，已知正方形，顶点、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为 ． 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为 ．    12．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，与，分别相交于点，，已知，则的周长___．    三、解答题 13．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）作出四边形关于轴对称的四边形； （2）求四边形的面积． 14．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． （1）试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； （2）如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？ 15．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线上找一点，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹） 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 6．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 8．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 10．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 11．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1） ； （2）当的周长最小时，的度数为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）直接写出顶点的坐标（直接写答案）； （3）求出的面积． 14．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）在轴上求作一点使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标：______．（保留作图痕迹，不写作法） 15．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线对称的； （2）的面积为 ； （3）若，请画出坐标系，并在上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． （1）将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； （3）折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； （4）折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．9条 4．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·山东临沂·中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ． 8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 三、解答题 9．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 10．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 15.3 画轴对称图形 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾： 1 知识点（一）画简单图形的轴对称图形 2 【题型1】画轴对称图形 2 知识点（二）平面直角坐标系中的轴对称 5 【题型2】在平面直角坐标系中的画轴对称图形 5 知识点（三）画“将军饮马”图形 8 【题型3】画“将军饮马”图形 8 知识点（四）轴对称的综合应用 12 【题型4】折叠问题 12 【题型5】平面直角坐标系中的轴对称变换 15 二. 同步练习 17 【基础巩固（16题）】 17 【能力提升（16题）】 27 【中考真题10题】 42 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 【例题1】（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形． （1）在图中画出三角形； （2）若，，则= ． 【答案】（1）作图见分析；（2）3 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键； 对于（1），确定平移方向是，平移距离是，画出图形即可； 对于（2），根据平移的性质得，可得答案． 解：（1）解：如图所示； （2）解：∵， ∴． 故答案为：3． 由【例1】我们可以得出：1.确定原图形的关键点；2.确定平移方向和距离；3.找出关键点的对应点，连接关键点，画出平移后图形。 知识点（一）画简单图形的轴对称图形 类似地，我们只要画出图形中的一些特殊点的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 作图主要步骤： 1.找出原图形的关键点； 2.过关键点作对称轴的垂线，并延长至对称轴另一侧，使延长部分与垂线在对称轴同侧的部分长度相等，得到关键点的对应点； 3.按原图形的连接顺序，连接所有对应点，得到轴对称图形. 【题型1】画轴对称图形 【例题 2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 【答案】见分析 【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握其画法是解题的关键． 根据对称轴的定义即可求解． 解：延长对应线段，找到交点，过交点作直线即可，如图①②③所示． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）已知图①是轴对称图形，在图①中作出该图形的对称轴； （2）如图②，直线是线段的垂直平分线，点是直线外一点，位置如图所示．作出点的对称点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，再过交点和另外一个顶点作直线即可． （2）连接并延长，交直线于点，连接交直线于点，连接，再连接并延长交于点，则点即为所求． 解：（1）解：如图①，直线即为所求． （2）如图②，连接并延长，交直线于点，连接交直线于点，连接，再连接并延长交于点， 则点即为所求． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）按下列要求作图： （1）图1，用直尺和圆规作线段的垂直平分线； （2）在图2中画出关于的对称图形（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键． （1）分别以点为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于点E，F，作直线即可； （2）分别作三点关于直线l的对称，连接即可． 解：（1）如图1所示； （2）如图2所示． 知识点（二）平面直角坐标系中的轴对称 点关于轴对称的点的坐标为； 点关于轴对称的点的坐标为. 【题型2】在平面直角坐标系中的画轴对称图形 【例题 3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，； （2）点的坐标为_________． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．若与关于轴对称，点的对应点分别为、、．请在图中作出，并写出点、、的坐标． 【答案】画图见分析、、 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质作图，即可得出答案．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 解：如图，即为所求， 由图知：、、． 【变式2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． （1）将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 解：（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 知识点（三）画“将军饮马”图形 “将军饮马” 是初中几何中经典的最短路径问题模型，其核心思路基于轴对称的性质（即 “两点之间，线段最短”）。解决问题的本质是把“折”转化成“直”的问题。 如图①所示，在直线同侧有两个不同的点、,在直线上取一点，使和最小; 方法：过点作关于直线的对称点，连接，如图②，由对称性质得到，得到; 在直线取一点，连接、，如图③由， 点为所求。 【题型3】画“将军饮马”图形 【例题 4】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的和最小，并写出点的坐标（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见分析；（2）5；（3）图见分析， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可使的和最小． 解：（1）解：作出关于轴对称的图形，如图所示； （2）解：的面积； （3）解：轴上点如图所示， 知识点（四）轴对称的综合应用 轴对称变换是初中几何学习中的一个重要内容，利用轴对称性质解决问题，主要包括以下三类题型： 1.将军饮马问题（后面专题学习）；2.折叠问题；3.坐标系中的轴对称变换. 【题型4】折叠问题 【例题 5】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，三角形纸片，将纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． （1）作出直线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，如果，直接写出的度数为 ． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，线段垂直平分线的作法及轴对称图形的作法，掌握基本图形的作法是解题的关键． （1）根据题意作线段的垂直平分线确定直线； （2）连接交直线于点H，根据折叠的性质可得，再由，可得到的度数，再由对顶角相等，即可得出结果． 解：（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵点关于直线的对称点为点，连接交直线于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图，先将纸折叠，然后剪纸，展开即得到图案），则下列四个图案，不能用上述方法剪出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠性质，折叠剪纸形成的图是轴对称图形．根据题意可得剪纸得到的图形都是轴对称图形，即可求解． 解：根据题意得：剪纸得到的图形都是轴对称图形，且D选项中的图形不是轴对称图形． 故D选项符合题意． 故选：D． 【题型5】平面直角坐标系中的轴对称变换 【例题 6】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等成为解题的关键． 根据点S和关于y轴对称得出、，然后代入进行计算即可． 解： 解：∵点S和关于y轴对称，，， ∴、， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 解：点关于y轴的对称点在第一象限， 点在第二象限， ，， 解得：， 故选：D． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 解：如图所示： 故选：A． 2．（2025七年级上·广东·专题练习）下面图形中，对称轴数量最多的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 解：A．有3条对称轴； B．有4条对称轴； C．有无数条对称轴； D．有6条对称轴； 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂灰，再将其余的小正方形涂灰一个，使四个被涂灰部分构成的图案为轴对称图形．能满足条件的涂法有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题考查构造轴对称图形，根据轴对称图形的性质，结合网格的特点，构造轴对称图形即可． 解：如图，满足条件的涂法有4种， 故选C． 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。 解：关于轴的对称点的坐标为：， 故选：B． 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点E的坐标为，其关于轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，熟练掌握“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征可得m、n的值，然后代入计算即可． 解：∵点E和关于轴对称的点F， ∴， ∴． 故选A． 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，有，两点，在直线上求一点，使取最小值，则点的位置应选在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 解：如图，作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图所示的棋盘有4颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（可前后左右，也可沿正方形的对角线移动，棋子不能重叠），移动后的所有棋子所组成的图形是轴对称图形，则有 种不同的移法． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特征是解题的关键． 根据轴对称图形的特征画出所有可能结果即可解答． 解：如图：有4种不同的移法． 故答案为：4． 8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若与关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与图形变化－轴对称，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 根据关于轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相等求得、值即可， 解：∵与关于轴对称， ， ， 故答案为：1． 9．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知点，若线段轴，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标与图形的性质，解一元一次方程，熟练掌握平行于x轴的点的纵坐标相等是解题的关键． 根据题意可知坐标A，B纵坐标相等，列方程求解即可． 解：∵点，，线段轴， ∴， 解得：； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，已知正方形，顶点、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标系中图形轴对称和平移变换规律问题，解此题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 解：∵正方形，，， ∴ ∴经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， ······ 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质， 根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：如图，作点关于的对称点，    ∴， ∴， 当三点共线，且时，最短，即最小， ∵，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，与，分别相交于点，，已知，则的周长___．    【答案】5 【分析】根据轴对称的性质，可得与的关系，与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 解：因为点，分别是点关于，的对称点， 所以，， 那么， 故答案为：5． 【点拨】本题考查了轴对称，利用对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 三、解答题 13．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）作出四边形关于轴对称的四边形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）16 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，正确理解轴对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作出图形即可； （2）运用割补法将四边形分割成两个三角形和一个直角梯形，根据三角形和梯形的面积公式即可得出结论． 解：（1）（1）如图所示，四边形；即为所求； （2）四边形的面积． 14．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． （1）试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； （2）如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？ 【答案】（1）左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和；（2）它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和． 【分析】本题考查坐标系中的对称和平移，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征，以及 点的坐标平移规律． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征即可得出左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； （2）根据平移规律，即可得出花心坐标发生的变化，以及变化后的坐标． 解：（1）解：∵左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， ∴左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， 答：左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． （2）解：如果将右边图案沿轴向右平移2个单位长度，那么它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变， ∵右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， ∴沿轴向右平移2个单位长度后，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标将变为和， 答：它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和． 15．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）图见分析；（2），，；（3） 【分析】本题考查作图—轴对称变化，点的坐标，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据关于轴对称点的坐标标出对应点，再连接即可； （2）根据（1）写出各点的坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）解：点，，的坐标分别为，，． （3）解：． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线上找一点，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）5.5；（3）见分析 【分析】本题考查作图轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的； （2）根据割补法即可求出的面积； （3）结合（1），连接交直线于点，根据两点之间线段最短得最小． 解：（1）解：如图为所求， ； （2）解：； （3）解：如图，点即为所求， ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】C 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 解：如图所示： ． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，轴对称图形的对称轴的判断，解题的关键的掌握五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断． 解：①如图是作的角平分线，则该射线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段，即该垂线不一定是线段的垂直平分线，则该垂线不一定是线段的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段的垂直平分线，则该垂线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据的周长，且的值固定，得到当最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，利用分割法求出的面积即可． 解：∵的周长，点A、B、C的坐标分别为和， ∴点在轴上，的值为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，如图， ∴， ∴的面积为：； 故选：C． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 6．（2025·河北石家庄·三模）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 解：由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 二、填空题 7．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 【答案】2 【分析】本题主要考查了利用轴对称的定义设计图案，正确掌握轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分析解答即可． 解：如图：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1或2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 10．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若点和点关于轴对称，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标规律． 根据关于轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得C点坐标，再根据点所在象限可得答案． 解：由点和点关于轴对称，得： ，， 解得：，， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 11．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短线段问题及线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，根据面积法求得，再根据线段垂直平分线的性质可得答案． 解：如图，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 12．（23-24八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1） ； （2）当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 解：（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． （1）画出关于y轴对称的； （2）直接写出顶点的坐标（直接写答案）； （3）求出的面积． 【答案】（1）见分析；（2）、、；（3） 【分析】本题主要考查轴对称作图、坐标与图形、求三角形的面积等知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定中三个顶点关于y轴的对称点，再依次连接即可完成作图； （2）根据（1）的作图中点在直角坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可； （2）利用矩形的面积减去三个增添的三角形面积即可解答． 解：（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：、、． （3）解：如图：的面积． 14．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）在轴上求作一点使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标：______．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见分析；（2）见分析， 【分析】本题考查了画轴对称图形，利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点位置，然后写出点的坐标即可． 解：（1）解：如图所示； （2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，此时点P坐标为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线对称的； （2）的面积为 ； （3）若，请画出坐标系，并在上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 【答案】（1）见分析；（2）3；（3）见分析 【分析】（1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可； （2）根据分割法计算面积即可； （3）根据，向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到坐标原点，建立坐标系如下：连接，交于点P，根据对称，得，根据对等角相等，得，继而得到． 本题考查了轴对称作图，分割法计算面积，对顶角相等，熟练掌握轴对称作图是解题的关键． 解：（1）解：根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得的面积为：． （3）解：根据，向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到坐标原点，建立坐标系如下：连接，交于点P，根据对称，得，根据对顶角相等，得，继而得到， 则点P即为所求． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． （1）将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； （3）折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； （4）折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）图见分析，平行，理由见分析；（4）见分析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 解：（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案． 解：∵将点向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为， ∴得到的点关于轴的对称点坐标是． 故选：B． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．9条 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称定义画出正六边形的对称轴即可． 解：如图，正六边形的对称轴有6条． 故答案为：C． 4．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 【点拨】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可． 解：∵三点，，的对称点坐标为，，，结合， ∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， 故坐标为． 故选B． 【点拨】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键． 6．（2023·山东临沂·中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可． 解：由题意，得：点B的坐标为； 故选A． 【点拨】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键． 二、填空题 7．（2023·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 解：点与点B关于x轴对称， 点B的坐标是． 故答案为： ． 8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解． 解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴点Q的横坐标为5， ∵， 由得，，解得：， 把代入①得，，解得：， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键． 三、解答题 9．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 解：（1）解：如图①：四边形即为所求； （不唯一）． （2）解：如图②：四边形即为所求； （不唯一）． （3）解：如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 10．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见分析 【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考； （2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形． 解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图：    【点拨】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$