精品解析： 浙江省杭州市钱塘区观澜中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年浙江省杭州市钱塘区观澜中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题（本题共10小题，学数有邻每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解，本题考查了一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次对各选项进行计算后，再进行判断即可. 【详解】A选项：不能直接相加，故错误； B选项：，故错误； C选项：，故正确； D选项：，故错误； 【点睛】考查了二次根式的计算，解题关键是熟记其计算法则进行计算. 4. 在某次演讲比赛中，位评委给选手小欣打分，得到互不相等的个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计数量中一定不会发生改变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，根据平均数、众数、中位数、方差的意义即可求解． 【详解】根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，不变的是中位数． 故选：C． 5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 6. 某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．根据关键描述语“毕业时植树总数为1324棵”找到等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设该年级植树平均每年增长率是x，那么八年级时该年级植树棵，九年级时该年级植树棵． 方程可列为， 故选：D． 7. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 8. 嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据嘉嘉及琪琪的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和， ∴两根之和， ∴当时，； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和6， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：B． 9. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据△=1-m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2-4b+m=0，整体代入，可得y的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△=1-m＞0， ∴m＜1， ∵b是方程的一个实数根， ∴， ∴4b2-4b+m=0， ∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m， ∴m=， ∴＜1， ∴y＞-1， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系． 10. 设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的性质（方程的根满足方程）以及代数式的降次与变形，解题的关键是利用方程根的定义将高次幂的项转化为低次幂的项，再结合已知条件进行计算． 由是方程的根，可得，进而推出高次幂的降次公式；利用该公式将转化为含的式子，代入已知值计算． 【详解】∵是方程的两个实根， ． 由此可得，对于任意有： ， 同理，． ． ∵已知 ∴代入上式得： ． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，学数有邻每小题3分，共18分） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 12. 甲、乙、丙三位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是3.3，2.8，4.2，则成绩最稳定的同学是_______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的性质， 根据三名同学的平均数相同，方差越小成绩越稳定解答即可． 【详解】解：因为， 则乙同学的方差最小， 所以成绩最稳定的是乙同学． 故答案为：乙． 13. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为________． 【答案】12800 【解析】 【分析】本题考查了坡度比知识，解题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长以及熟练掌握勾股定理．先根据勾股定理求出和，再根据坡度比求出，最后根据即可求得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12800． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此即可解答，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴即，且， 即有， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 15. 代数式的最小值是 _____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把原式化为：可求出最小值． 【详解】解：∵ ； ∵， ∴ ∴的最小值为13． 故答案为：13． 16. 已知：m、n是方程的两根，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的含义，根与系数的关系，求解代数式的值．根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ； 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）先化简二次根式，再合并即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，求x的值； （2）当时，求n的值． 【答案】（1） （2）或5 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出方程是解题关键． （1）根据题意，列出方程，解出方程即可； （2）根据题意，列出方程，解出方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 当时，， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 当时，， 即， 解得：， 当时，； 当时，； 综上所述，或5． 20. 已知，，求和的值． 【答案】3， 【解析】 【分析】考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，多项式乘多项式，分母有理化，解题的关键是由已知条件得出，，注意整体思想的运用．先由已知条件得出，，再整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ； ． 21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元； （3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？ 【答案】（1）50，补全统计图详见解答； （2）15，15； （3）8040元． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的16%，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， “捐款为15元”的学生有（人），补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元， 故答案为：15，15； 【小问3详解】 （3）样本平均数为（元/人）， 所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元）， 答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元． 22. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 当时， ， 整理得， ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， 整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 23. 某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个． （1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？ （2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？ （3）在（2）销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由 【答案】（1）4800元 （2）60元 （3）应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元 【解析】 【分析】（1）根据总利润单个利润数量列出算式，计算即可求出值； （2）设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意得：元， ∴降价前商场每月销售学习机的利润是4800元； 【小问2详解】 解：设每个学习机应降价x元， 由题意得：， 解得：或， 由题意尽可能让利于顾客，舍去，即， ∴每个学习机应降价60元； 【小问3详解】 解：设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元， 根据题意得：， 方程整理得：， 解得：， ∴应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润售价进价，总利润单个利润数量. 24. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2） （3），， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， 【小问3详解】 解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市钱塘区观澜中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题（本题共10小题，学数有邻每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在某次演讲比赛中，位评委给选手小欣打分，得到互不相等的个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计数量中一定不会发生改变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A. B. C. D. 6. 某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ） A. B. C. D. 10. 设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. D. 二、填空题（本题共6小题，学数有邻每小题3分，共18分） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 12. 甲、乙、丙三位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是3.3，2.8，4.2，则成绩最稳定的同学是_______． 13. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为________． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 15. 代数式的最小值是 _____． 16. 已知：m、n是方程的两根，则 _____． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，求x的值； （2）当时，求n的值． 20. 已知，，求和的值． 21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元； （3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？ 22. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 23. 某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个． （1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？ （2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？ （3）在（2）销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由 24. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $