精品解析： 浙江省杭州市拱墅区启正中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据定义逐项判断即可得出答案. 【详解】解：，，， 选项A、B、C都不是最简二次根式，是最简二次根式． 故选：D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的加法运算法则、二次根式的除法运算法则、二次根式的乘法运算法则、分母有理化逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由与不能合并，则A选项错误； B.由，故B选项符合题意； C. 由，故C选项不符合题意； D.由，故D项不符合题意． 故选：B． 3. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先整理得，再根据可得答案． 【详解】解：， ， ， 在4和5之间． 故选：C． 4. 已知＝，则的取值范围是( ) A. a≤0 B. a＜0 C. 0＜a≤1 D. a＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案． 【详解】∵，， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键． 5. 若是正整数，最小的正整数n是（ ） A. 6 B. 3 C. 48 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值． 【详解】解：= 若是正整数，最小的正整数是3． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了二次根式意义，解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简． 6. 已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的知识，先根据一次函数的解析式可以判断其必过点，再根据一次函数是递增函数，将点与选项各点逐一比较即可得解． 【详解】， 当时，，即必过点 A．，，此时满足y随x的增大而增大，故A项正确，符合题意； B．，，此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误，不符合题意； ，，在平行于轴的同一直线上，C，D不符合题意； 故选：A． 7. 如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）． A. 42 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 折叠后椅子比完全打开时高， 故选：D． 8. 已知：，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 9. 如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质．先根据四边形是正方形，证明，再根据，证明，然后设，则，根据全等三角形的性质证明，在中，由勾股定理求出，最后根据正方形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 10. 把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（ ） A. B. 16cm C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， 先分别求出两个阴影部分的周长，再求和即可. 【详解】解：由题知，小长方形的长为 因为左下方阴影长方形的宽为：， 所以左下方阴影长方形的周长为： 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：， 所以右上方阴影长方形的周长为：， 所以图中两块阴影部分的周长之和为： 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 二次根式中字母x的取值范围是______． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：3x-6≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 当时，代数式______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，已知字母的值求代数式的值，二次根式的混合运算，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ， 故答案为：1 13. 若是三角形的三边长，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 15. 如图，中，，为边上中线，若，周长为，则的面积为____. 【答案】4 【解析】 【分析】设长为，长为，根据为直角三角形斜边的中线，可求出的长度，即求出的值，然后根据周长为，可求出的值，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设长为，长为， 在中，，为边上中线且， ， ， 又周长为， ， ． 的面积为：． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和完全平方公式，解答本题的关键在于根据为直角三角形斜边的中线，求出的长度，利用勾股定理和完全平方公式变形求解． 16. 如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质及二次根式的运算法则是解决本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）利用完全平方公式计算即可求解； （3）先化简各二次根式，再合并即可求解； （4）先化简二次根式，再算乘法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 根据题目所给条件求代数式的值． （1）设实数的整数部分为a，小数部分是b，求的值； （2）求当时，代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的运算，整式的化简求值，熟练掌握运算法是解题关键． （1）根据题意，可以写出a和b的值，然后将所求式子化简，再将a、b的值代入计算即可； （2）先化简a，然后将所求式子化简，再将a的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵实数的整数部分为a，小数部分是b，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 19. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比是，背水坡的坡比是，大坝高米，大坝顶宽米． （1）求大坝横截面的面积； （2）求大坝横截面的周长． 【答案】（1）3040平方米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵迎水坡的坡比是， ∴， ∵米，∴米， 由题意可知：四边形DEFC为矩形， 米，米， ∵背水坡的坡比是， ∴米， ∴（米）， ∴大坝横截面的面积为：（平方米）； 【小问2详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， 在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， 大坝横截面的周长 米． 20. 在如图的方格内有，它的顶点都在格点上，且，，． （1）将，边化为最简二次根式； （2）在方格中画出一个满足条件的； （3）求点到的距离． 【答案】（1）， （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，以及勾股定理的应用和二次根式的计算，关键是正确化简，的长． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据勾股定理画出，再确定的位置，即可画出图形； （3）过点作于点，利用等面积法求出即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作于点， ，，， ， ， 即点到的距离为． 21. 如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，结合正方形的性质得正方形①的边长为，正方形③的边长为，故正方形②的边长为，根据阴影部分的面积等于它的长乘宽进行列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：正方形①、③的面积分别为24和3， 正方形①的边长为，正方形③的边长为， 正方形②的边长为， 阴影部分的面积为： 22. 一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： （1）分别求出小轿车和大客车速度； （2）点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； （3）求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】（1）小轿车的速度为：，大客车的速度为：； （2），两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地； （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． (1)分别根据速度路程时间计算即可； (2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可； (3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可得， 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． 【小问2详解】 解：线段所在直线的函数关系式为， 线段所在直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地． 【小问3详解】 解：所在直线的函数关系式为， 小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为 ， 当，两车相距时，得，解得； 当，两车相距时，得，解得(舍去)； 当，两车相距时，得，解得或； ∴出发后经过或或两车相距． 23. 已知一次函数（为常数且）． （1）若一次函数经过点，求此时函数表达式； （2）若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； （3）若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）将点代入解析式求出m的值即可； （2）由一次函数图象不经过第三象限，得求解即可； （3）分情况：当时，当时，根据函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数为常数且的图象经过， ， 解得：， ； 【小问2详解】 ∵一次函数为常数且的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为； 【小问3详解】 一次函数为常数且中， 当时，y随x的增大而减小， 当时，有， 解得：， 当时，y随x的增大而增大， 至少有一个x的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或， 故答案为：或 24. 如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； 过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求得，由等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理即可求出的长度； 过点作于点，构造，设，利用可证得，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可求得的长，进而可求得的长． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，，， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 在等边三角形中，，， 又， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的解法，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 4. 已知＝，则的取值范围是( ) A. a≤0 B. a＜0 C. 0＜a≤1 D. a＞0 5. 若是正整数，最小的正整数n是（ ） A. 6 B. 3 C. 48 D. 2 6. 已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）． A. 42 B. C. D. 8. 已知：，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（ ） A. B. 16cm C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 二次根式中字母x的取值范围是______． 12. 当时，代数式______． 13. 若是三角形的三边长，化简______． 14. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是______． 15. 如图，中，，为边上中线，若，周长为，则的面积为____. 16. 如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 根据题目所给条件求代数式的值． （1）设实数的整数部分为a，小数部分是b，求的值； （2）求当时，代数式的值． 19. 如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡比是，背水坡的坡比是，大坝高米，大坝顶宽米． （1）求大坝横截面的面积； （2）求大坝横截面的周长． 20. 在如图的方格内有，它的顶点都在格点上，且，，． （1）将，边化为最简二次根式； （2）在方格中画出一个满足条件的； （3）求点到的距离． 21. 如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 22. 一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： （1）分别求出小轿车和大客车速度； （2）点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； （3）求出发后经过多少小时两车相距？ 23. 已知一次函数（为常数且）． （1）若一次函数经过点，求此时函数表达式； （2）若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； （3）若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 24. 如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $