第11讲 幂函数 分层练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

暑假领航（人教A版 必修第一册） 第11讲 幂函数 A 基础夯实 一、选择题 1．下列函数为幂函数的是( ) A. B. C. D. 2．下列函数中,其图像如图所示的函数为( ) A. B. C. D. 3．幂函数，，，在第一象限的图象如图所示，则下列不等关系成立的是( ) A. B. C. D. 4．已知函数为幂函数，则( ) A.或2 B.或1 C. D.1 5．已知函数是偶函数，则函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 二、多项选择题 6．在下列幂函数中，是偶函数且在上单调递增的有( ) A. B. C. D. 7．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有( ) A.函数是偶函数 B.函数是增函数 C.当时， D.当时， 三、填空题 8．当时，幂函数的图象在直线的上方，则p的取值范围是_________. 9．给出下列命题： ①幂函数图象不过第四象限； ②的图象是一条直线； ③若函数的定义域是，则它的值域是； ④若函数的值域是，则它的定义域一定是. 其中是假命题的有____________.（填序号） 四、解答题 10．已知函数，m为何值时，函数是（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）幂函数？ 11．已知幂函数,且函数在上单增 (1)函数的解析式; (2)若,求实数a的取值范围. 12．已知幂函数的图象过点. （1）求实数n的值； （2）设函数，用定义证明：在上单调递减. B 思维拓展 一、选择题 1．对于幂函数，若，则，的大小关系是 A. B. C. D.无法确定 二、多项选择题 2．已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有( ) A. B. C. D. 三、填空题 3．已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为___________. 四、解答题 4．已知幂函数的图象经过点. (1)试求m的值并写出该幂函数的解析式,指出其定义域； (2)试求满足的实数a的取值范围. 第11讲 幂函数 A 基础夯实 1．答案：D 解析：根据幂函数的定义，可知符合.故选D. 2．答案：A 解析：由图象可知函数为奇函数,定义域为,且在单调递减, 对于A,,定义域为,, 所以函数为奇函数,在单调递减,故A正确； 对于B,,定义域为R,故B错误； 对于C,,定义域为R,故C错误； 对于D,,定义域为,,函数为偶函数,故D错误. 故选：A. 3．答案：C 解析：由图可知，，，所以，所以，又，，所以，故选C. 4．答案：C 解析：因为为幂函数，所以，所以或.又，所以. 5．答案：A 解析：由是偶函数，可得，即， 所以. 故，故有， 故函数为奇函数. 6．答案：AD 解析：对于A，定义域关于原点对称，，为偶函数，且在上单调递增，则A满足题意； 对于B，定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足题意； 对于C，定义域关于原点对称，，为奇函数，则C不满足题意； 对于D，定义域关于原点对称，，为偶函数，且在上单调递增，则D满足题意.故选AD. 7．答案：BCD 解析:因为幂函数的图象过点，所以，则， 所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错误； 又，所以是增函数，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，因为，， 所以， 所以，故D正确.故选BCD. 8．答案： 解析：当时，幂函数的图象在直线的上方，则此时， 因为，所以，即p的取值范围是. 9．答案：②③④ 解析：由幂函数图象易知①确； 的图象是直线上去掉点，②错误； 函数的定义域是，则它的值域是，③错误； 若函数的值域是，则它的定义域也可能是，④错误. 所以是假命题的有②③④. 10．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）若函数为正比例函数， 则. （2）若函数为反比例函数， 则. （3）若函数为幂函数， 则，. 11．答案：(1) (2) 解析：(1)为幂函数,则有,解得或, 时,,在上单调递增,符合题意; 时,,在上单调递减,不合题意; 所以. (2),函数定义域为R,, 函数为偶函数,在上单调递减,在上单调递增, 若,有,解得, 所以实数a的取值范围为. 12．答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由函数是幂函数，得，解得. 当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意； 当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点， 所以，函数，. （2）证明：由（1）知，函数，则函数. 任取，且， 则， 由，得，且， 因此，， 则，即， 所以函数在上单调递减. B 思维拓展 1．答案：A 解析：幂函数在上单调递增，大致图象如图所示. 设，，其中，则的中点E的坐标为，，，. 因为，所以.故选A. 2．答案：BC 解析：设幂函数，则有，得， 所以. 易知在上单调递增，所以由知， 所以，故A错误. 令，所以在上单调递减， 所以由知，即， 所以，故B，C正确，D错误.故选BC. 3．答案： 解析：幂函数在上单调递减，则，解得. 不等式化为，显然函数在R上单调递增， 因此，解得，所以a的取值范围为. 4．答案：(1)；； (2) 解析：(1)因为的图象经过点, 所以,所以, 所以,解得或,又,所以, 则该幂函数的解析式为,故其定义域为. (2)因为, 所以的定义域为,且在上单调递增, 故由,得,解得, 所以a的取值范围为. ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$