16.1 一元二次方程 同步课件 2024-2025学年北京版数学八年级下册

16.1认识一元二次方程 1.什么叫方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，前两种方程是整式方程. 2.我们学过哪些方程？ “元”和“次”分别指的是什么含义？ 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 4.什么叫二元一次方程（组）？ 含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程. 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 复习回顾 复习导入 2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？ （1）5x+3 = 8 （2）x + y = 8 （3） 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 某学校的演播厅是一个长为8米，宽为5米的矩形，根据上级要求将原来的观众席改成如图所示，同样在表演区域铺设一块面积为18㎡的地毯，并保证四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出现在观众席的宽度吗？ 8米 5 米 表演区域 x 新知探索 整理，得： 设观众席的宽度为x 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 设五个连续整数中的第一个数为x 根据题意，可得方程： 观察等式： 新知探索 整理，得： 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 8m 10m 你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？ 如果设梯子底端滑动x米，你能列出怎样的方程？ x 新知探索 整理，得： 1m 得出定义和结论 概念：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程． 我们把ax２＋bx＋c＝０(a、b、c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式 一般表达式 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？ 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 比一比 一元一次方程 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程 判断下列方程中是否为一元二次方程. 概念辨析 解:（1）当 ，即当 时是一元二次方程。 （2）当 且 时是一元一次方程。 更上一层楼：方程 （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数． 概念辨析 二次项系数 一次项系数 例： 解： 其中二次项是 ,二次项系数是3； 一次项是 ,一次项系数是-8；常数项是-10. 例：将方程 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及二次项、一次项的系数. 讲一讲 例： (k-3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= . 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 思考：怎么区别二次项和二次项系数，一次项和一次项系数？这里需要注意些什么？ 注意符号！ 关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项 是0, 则m= . 巩固提升 达标检测 根据题意列出一元二次方程: 已知直角三角形的三边长 为连续整数，求它的三边长. 解：设较短边长为 x . 可列方程：x2+(x+1)2=(x+2)2 . 2.把方程 (3x＋2)2 = 4(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次顶系数和常数项. 解: 化为一般形式为 5x2＋36x－32＝0． 二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32． 3.根据题意，列出一元二次方程： （1）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ （1）解: 设这个正方形的边长为 x． (x＋5)(x＋2) ＝ 54，即 x2＋7x－44 ＝ 0． （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为 242，这三个数分别是多少？ （2）解: 设较小数为 x． x(x＋1) ＋ (x＋1)(x＋2) ＋ x(x＋2) ＝ 242，即 x2＋2x－80＝0． 4.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2=0 3x2－5x＋1＝0 3 －5 1 x2 ＋x－8＝0 1 1 －8 －7x2 ＋4＝0 －7 0 4 5.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 解： 设竹竿的长为 x 尺，则门的宽度 为(x－4)尺，长为(x－2)尺， 依题意得方程： (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 即：x2－12x ＋20 ＝ 0 $$