16.1一元二次方程 教案2022-2023学年北京版数学八年级下册

授课专题 16.1一元二次方程 时间 2023.5.11 课型 新授课 课时 1 学习目标 1.能够在具体问题情境中，寻找到等量关系列出一元二次方程，理解一元二次方程的概念及其一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 2.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型. 3.通过在具体问题中认识一元二次方程，感受数学的应用价值。 教学重点 理解一元二次方程的概念及其一般形式 教学难点 将实际问题转化为数学问题 学科思想 培育 分类讨论思想 模型思想 类比思想 化归思想 创新思维 培养 发散思维、延伸性思维，应用意识 课程思政 融入 通过对一元二次方程的研究，提升数学文化素养． 板书 16.1 一元二次方程 一元二次方程的概念 （文）①只含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2的 ③整式方程 ( 系数数 ) ( 系数数 ) ( 常数项 ) ( 一次项 ) ( 二次项 )（符）ax² + bx + c =0(a≠0，a、b、c为常数） 教学过程 师生活动 环节一：创设情景、 知识回顾 问题1：用80米长的篱笆围一个矩形菜园，如果这个矩形菜园的长x(米）比宽多10米，该矩形菜园的长和宽应是多少？ 解：设矩形的长为x米，则宽为__________米 ， 根据题意, 列方程,得__________________________。 它是一个_________________方程。 教师提问：你能说说什么是一元一次方程吗？ 问题2：用80米长的篱笆围一个矩形菜园，如果这个矩形菜园的长x(米），宽为y(米）, 你能列方程表示它的长与宽的关系吗？ 解：根据题意, 列方程,得__________________________。 它是一个_________________方程。 教师提问：你能说说什么是二元一次方程吗？ 问题3：李老师家装修时，有甲、乙两个工程队想要承包，其中甲队单独装修需要x天，乙队单独装修比甲队多2天，若甲、乙两队合作完成需要20天，则x满足的方程是_______________________。 它是一个_________________方程。 教师提问：你能说说什么是分式方程吗？ 设计意图：通过情景回顾旧知，得到已学过的三类方程：一元一次方程、一元二次方程和分式方程，同时也为类比一元一次方程概念得出一元二次方程概念作好铺垫。 环节二：提出问题、 导入新知 问题4：一个数的平方等于它的本身，求这个数。 解：设这个数为x， 根据题意, 列方程,得__________________________。 化简，整理，得：________________=0 问题5：用80米长的篱笆围一个矩形菜园，当矩形面积是375平方米时， 它的长和宽应是多少？ 解：设矩形的长为y米，则宽为__________米 ， 根据题意, 列方程,得__________________________。 化简，整理，得：________________=0 问题6：给木质器具表面刷油漆时，每平方米需要油漆100克，当我们把一个正方体表面刷满油漆时，恰好用掉油漆2400克，那么这个正方体的棱长是多少呢？ 解：设这个正方形的棱长为a米， 根据题意, 列方程,得__________________________。 化简，整理，得：________________=0 问题7:大约公元1世纪成书的《九章算术》中第九卷“勾股”中有个问题：今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、邪各几何？ 译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽和对角线得长各是多少？ 解；设对角线长为m尺，则门宽为_______尺， 门高为____________尺 根据题意，列方程，得_________________________________ 化简，整理，得：________________=0 问题8 昌平区要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？ 解：设组织者应邀请n支队参赛， 根据题意，列方程，得_________________________________ 化简，整理，得：________________=0 设计意图：学生从问题情境中建立新的方程模型，经历一元二次方程的产生过程，明白数学来源于生活。 环节三：归纳探究、形成概念 问题 所列方程 （化简，整理后的） 所列方程 的共同特征 问题4 （1） 方程两边的代数式都是整式 （2） 都只含有一个未知数（一元） （3） 未知数的最高次数为2（二次） 问题5 问题6 问题7 问题8 教师提问：（1）根据它们的共同特征，你能给这些方程取个名字吗？ （2） 你能给像上面这样的方程下个定义吗？ 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 教师提问：你能根据它们在形式上的共同特点，概括出它的一般形式吗？ 一元二次方程的一般形式： 追问：b、c可以为0吗？ 设计意图：学生自己给出定义就是对所学一元一次方程的概念的类比与对比，概括一般形式是对一元二次方程概念另一个角度的理解，对数学符号语言的应用能力的提升。 环节四：巩固练习，辨析概念 填一填： 问题 所列方程的 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 问题4 问题5 问题6 问题7 问题8 辨一辨 下列方程中，是一元二次方程的是___________________ ①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 设计意图：再次深入认识一元二次方程，深化对概念的本质属性的理解，让学生发现当a=0时，一般式bx+c=0 (b≠0）即变为一元一次方程， 强调a≠0的重要性。 环节五：开放问题、 巩固概念 试一试 以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程的各项系数和常数项 (数不能重复）请你至少写出一个满足条件的一元二次方程。 设计意图：及时强化巩固，暴露学生认识上的错误，抓住易错处进行强调，让知识生成更自然，而不是为了强调故作假设。 练一练 1.(1) m__________时，关于x的方程 是一元二次方程。 (2) m__________时，关于x的方程 是一元一次方程。 设计意图：更深一个层次对一元二次方程概念的进行理解，抽象为符号表示的形式对学生思维层次要求会更高。 2.历史名将周瑜在指挥著名的“赤壁之战”时 ，羽扇纶巾,雄姿英发,可惜英年早逝,你知道他去世时的年龄吗? 读诗词解题 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快，多少年华属周瑜? （1）通过列方程,算出周瑜去世时的年龄，先只列不解 （2）判断所列方程的类型，如果是一元二次方程，请你整理成一般形式，并指出各项系数和常数项。 设计意图：以历史人物为题材，激发学生学习数学的兴趣，感受数学文化。 编一编 请根据所给方程：（25-2x）(15-2x)=231 ，联系实际，编写一道应用题。 设计意图：让学生感受数学学习要与实际生活相结合，感受数学的应用价值。 环节六：课堂总结、形成体系 1.初中阶段重点研究的方程类型。 2.研究方程的过程（学习方程的基本流程） 设计意图：帮助学生进行知识建构，让概念“精致”化。 环节七：分层作业、巩固提升 1.将方程5x (x - 1) =4(x+2)化为一般形式。并指出各项系数和常数项。 2.关于x的方程(2a-4)x2-2x +a =0，在什么条件下为一元二次方程?在什么条件下为一元一次方程? 3.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是说:已知长方形门的高比宽高6尺8 寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少? 4.2022年卡塔尔世界杯小组赛，每个小组里的球队共进行6场比赛，小组内的每支球队都必须和其他球队进行且只进行一场比赛，请问一个小组里有几支球队参赛？ 卡塔尔世界杯参赛队分成了8个小组，请问共有多少支球队参加了世界杯小组赛？卡塔尔世界杯一共进行了多少场比赛? 设计意图：帮助学生更加深刻的理解概念，体会模型思想，感受数学文化， 感受足球文化。 学生列出方程并整理，进行数学建模 学生回答 教师小结 引导学生说出分式方程与整式方程的区别。 学生讨论，教师巡视学生出现的问题，并及时指导 观察得出的这些方程，思考它们在形式上的共同点，学生尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式。 学生举手回答或随机选择学生回答，调动学生广泛参与。 用概念指导辨析，方程③⑤⑥⑦同学们可能会禅城争议，方程③帮助学生 明确一元二次方程是整式方程。方程⑥和⑦ 对二次项系数不为0的条件加深认识。 学生应用概念解决问题， 通过对比，再次辨析概念的本质属性 学生根据所给的一元二次方程，编写一道实际问题，学以致用。 学生进一步认识概念，加深对概念的理解。 学科网（北京）股份有限公司 $$