精品解析：湖北省武汉市华宜寄宿学校2024-2025学年下学期九年级数学三月考试题

2025年九年级三月数学素养调研 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的是2个白球、1个黑球 D. 摸出的是2个黑球、1个白球 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选A 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知， 时，分式有意义， 解得． 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故C选项不符合题意； D．，故D选项符合题意． 故选：． 5. 下图中的三视图所对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图问题．由主视图和左视图、俯视图可判断出此几何体即可． 【详解】解：三视图所对应的几何体是 ， 故选：B． 6. 如图，已知线段，，，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据点A、点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵将线段缩小后得到线段，点A的坐标为，点的坐标为， ∴线段与线段的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的对应点的坐标为， 故选：A． 7. 某中学篮球队12名队员的年龄如下表： 年龄：（岁） 13 14 15 16 人数 1 5 4 2 关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是( ) A. 众数是14岁 B. 极差是3岁 C. 中位数是14.5岁 D. 平均数是14.8岁 【答案】D 【解析】 【详解】分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案． 解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14，故选项A正确，不合题意； 极差是：16﹣13=3，故选项B正确，不合题意； 中位数是：14.5，故选项C正确，不合题意； 平均数是：（13+14×5+15×4+16×2）÷12≈14.5，故选项D错误，符合题意． 故选D． “点睛”此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键． 8. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．如图，过点A作于E，则，先证明和是等腰直角三角形，是的直径，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于E，则， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是的直径，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴（负值舍）， ∴的半径是； 故选：C． 9. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请判断关于的方程的实数根的个数（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三次函数和一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．把原方程变形为，可得方程的根的个数为函数与函数的交点的个数，再画出两函数图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴方程的根可以看作为函数与函数的交点的横坐标， 在平面直角坐标系中作出函数与函数的图象如下：  观察图象得：函数与函数的图象有三个交点， ∴方程的实数根有个． 故选：C． 10. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形， 设，，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数加法运算．根据有理数加法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 据统计，2024年“十一”长假武汉接待的游客共2191.2万人次，2191.2万用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法 【详解】解：2191.2万用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 点都在双曲线上，则的大小关系（用“”表示）是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入反比例函数，求出的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：∵点都在双曲线上， 则 ∵， ∴， 故答案为： 14. 如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为______．（精确到，，，） 【答案】7.6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点E，则，， 在中， ∴ ∴ 故答案为：7.6． 15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 16. 已知抛物线（是常数，且）图像开口向上，过点两点，且．下列四个结论： ①； ②； ③若点在该抛物线上，则； ④若关于的方程有两个相等实数根，则． 其中正确的是______． 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴交点等知识，关键是掌握这些知识和应用．根据函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，且）图象开口向上，过点两点，且， ∴抛物线的对称轴在和之间， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c是常数，且）图象开口向上，过点两点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴在和之间，且开口向上， ∴当点在该抛物线上，则，故③正确； ∵关于x的方程有两个相等实数根， ∴， ∵抛物线过， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 【答案】，不等式组的整数解为：，，， 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．求出不等式组的解集，进而即可解答． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为：，，，． 18. 如图，四边形是平行四边形，平分且交于点，平分且交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个与线段相关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，，，证出，由即可得出，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加即可使得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加 由（1）知：四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，某校体育老师对若干名九年级学生“一分钟跳绳”这一项目进行了测试，随机抽取名学生的成绩作为样本（跳绳个数用表示），将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 等级 跳绳个数 频数 A：优秀 36 B：良好 C：合格 72 D：不合格 12 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出和的值； （2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计测试成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1），，； （2）估计测试成绩为优秀的学生人数为162人． 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，频数分布表与扇形统计图，熟练掌握样本估计总体是解题的前提． （1）根据C合格的人数除以占比，求得m的值；求出成绩为B良好的人数可得b的值；求出A优秀的百分比即可得出n的值； （2）根据A优秀的学生的占比乘以900，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计测试成绩为优秀的学生人数为162人． 20. 如图，直线经过上的点，并且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的直径为，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 为的半径， 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的余弦值，全等三角形的判定与性质，切线的判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定即可得出答案； （2）根据勾股定理进行计算得出，再结合求一个角的余弦值进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵的直径为， ∴， 由（1）得， ， 在中，． ∴． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务． （1）在图1中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在线段上找一点，使； （2）在图2中，在线段上找一点，使，垂足为点；并在线段上找一点，使． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2） 所作图形如图所示： 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解直角三角形，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用旋转变换的性质作出线段，取格点M，N，连接交于点E，连接即可； （2）取格点J，连接交于点H，线段即为所求，取格点P，Q，连接交于点F，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】（1）①；②石块能飞越防御墙 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 23. 问题提出： 如图1，在等边中，点，，分别为三边上的动点，连接，交于点，．记，，探究，之间的等量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当点与顶点重合，时，直接写出的值为______； （2）再探究一般情况，在图1中完成探究得出，之间的等量关系． 问题拓展： （3）如图3，连接，若平分，请直接写出的值______．（用含、的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）当时，则，可证得，则，即可求得答案； （2）过点D作交于点G，设，，则，再证得，，即可求得答案； （3）过点D作交于点G，先证得，，则． 【详解】解：（1）如图，当时，则， ∵为等边三角形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）如图，过点D作交于点G， ∵， 设，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）如图3，过点D作交于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴为直线，点的坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点为抛物线第二象限上的一点，连接交于点，若，求点的坐标； （3）如图2，经过点的直线交抛物线于两点（点在点右侧），直线交线段于点（点不与点重合），若的值与无关，求的值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或； （3）． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）联立直线l和的表达式求得，联立直线l和抛物线的表达式求得，，点P、Q、N、M在同一直线上，求得则， ，设，求得，整理得，根据题意得到则，则，据此求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线，点的坐标为，则点， 则抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为：， 过点D作轴交于点H，作轴交于点N，则点，则， 设点，则点，则， ∵轴，则， 则，即， 解得：或， 则点的坐标为或； 【小问3详解】 解：在直线l：上，则直线l的表达式为：， 联立直线l和的表达式得：，则， 联立直线l和抛物线的表达式得：， 则，， ∵点P、Q、N、M在同一直线上，则， 同理：， 设， ∴ ， ∴， 整理得， ∵s的值和k为无关，则，则， 整理得， 解得：，（舍去）． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级三月数学素养调研 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的是2个白球、1个黑球 D. 摸出的是2个黑球、1个白球 3. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下图中的三视图所对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知线段，，，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 某中学篮球队12名队员的年龄如下表： 年龄：（岁） 13 14 15 16 人数 1 5 4 2 关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是( ) A. 众数是14岁 B. 极差是3岁 C. 中位数是14.5岁 D. 平均数是14.8岁 8. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. 2 B. C. D. 4 9. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请判断关于的方程的实数根的个数（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果为______． 12. 据统计，2024年“十一”长假武汉接待的游客共2191.2万人次，2191.2万用科学记数法表示为______． 13. 点都在双曲线上，则的大小关系（用“”表示）是______． 14. 如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为______．（精确到，，，） 15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 16. 已知抛物线（是常数，且）图像开口向上，过点两点，且．下列四个结论： ①； ②； ③若点在该抛物线上，则； ④若关于的方程有两个相等实数根，则． 其中正确的是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 18. 如图，四边形是平行四边形，平分且交于点，平分且交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个与线段相关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，某校体育老师对若干名九年级学生“一分钟跳绳”这一项目进行了测试，随机抽取名学生的成绩作为样本（跳绳个数用表示），将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 等级 跳绳个数 频数 A：优秀 36 B：良好 C：合格 72 D：不合格 12 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出和的值； （2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计测试成绩为优秀的学生人数． 20. 如图，直线经过上的点，并且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的直径为，求的值． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务． （1）在图1中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在线段上找一点，使； （2）在图2中，在线段上找一点，使，垂足为点；并在线段上找一点，使． 22. 发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 23. 问题提出： 如图1，在等边中，点，，分别为三边上的动点，连接，交于点，．记，，探究，之间的等量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当点与顶点重合，时，直接写出的值为______； （2）再探究一般情况，在图1中完成探究得出，之间的等量关系． 问题拓展： （3）如图3，连接，若平分，请直接写出的值______．（用含、的式子表示） 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴为直线，点的坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点为抛物线第二象限上的一点，连接交于点，若，求点的坐标； （3）如图2，经过点的直线交抛物线于两点（点在点右侧），直线交线段于点（点不与点重合），若的值与无关，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $