精品解析：江苏省泰州中学附属初级中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷

2025年春学期九年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. 0 B. ﹣3 C. ﹣ D. 1 2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 3. 我国九章量子计算机算力取得重大进步，九章3号比九章2号计算速度快了100万倍，100万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中不正确的是(　　) A. 函数y＝2x的图象经过原点 B. 函数y＝的图象位于第一、三象限 C. 函数y＝3x－1的图象不经过第二象限 D. 函数y＝－的值随x的值的增大而增大 5. 若第一组数据，，，，（各不相等）的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数变小，方差变大 D. 平均数不变，方差变大 6. 定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （ ） A. 线点P的坐标满足或者 B. 是线点 C. 线点P在直线上（除外） D. 线点P在直线上（除外） 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分解因式：x2-16= ________________． 8. 二次根式中，x的取值范围是______． 9. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是_____． 10. 已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是_____． 11. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为________． 12. 已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 13. 已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为________． 14. 如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点落在点处，且轴，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 16. 如图，在中，，，为上的点且，在线段上，，则________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路所用时间 21 24 15 21 23 22 24 24 26 20 平均数 中位数 众数 方差 线路所用时间 22 线路所用时间 根据以上信息解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 19. 小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． （1）用树状图或列表法求出小王去的概率； （2）小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m2＝0 （1）求证：该方程有两个不等的实根； （2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝7，求m的值． 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：以为一个内角的菱形，使顶点在边上，、分别在、上．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求菱形的边长． 22. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． （1）通道斜面的长为________米； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 23. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 24. 已知：，，点是线段上任意一点（不含端点），点在射线上，且，连接，过点作交于点，连接． （1）如图1，①若，求的度数； ②试判断的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数； （2）若，当时，求的长度； （3）如图2，当时，求证：． 25. 已知函数， （1）无论为何值，函数必过一个定点，求该定点的坐标； （2）对于函数，我们知道，当时，，图像是直线在轴右侧的部分；当时，，图像过点；当时，，图像是直线在轴左侧的部分． ①在平面直角坐标系中作出函数的图像； ②指出函数的两个性质； （3）当时，如果方程组无解，求的取值范围． 26. 一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； （3）如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级数学单元独立作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. 0 B. ﹣3 C. ﹣ D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小可判断． 【详解】在A、B、C、D四个选项中只有B、C为负数， 根据实数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小可得，最小的数应从B、C中选择， 又因为|﹣3|＞|﹣|， 所以﹣3＜﹣， 故答案选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数比较的法则． 2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形沿着某个点旋转180度后能与原图形完成重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，但不是轴对称图形；故符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 我国九章量子计算机算力取得重大进步，九章3号比九章2号计算速度快了100万倍，100万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：100万， 故选：C． 4. 下列说法中不正确的是(　　) A. 函数y＝2x的图象经过原点 B. 函数y＝的图象位于第一、三象限 C. 函数y＝3x－1的图象不经过第二象限 D. 函数y＝－的值随x的值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐项判定即可． 【详解】解：选项A，函数y=2x的图象经过原点，正确； 选项B，函数y=的图象位于第一、三象限，正确； 选项C，函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限，正确； 选项D，函数y=﹣的值，在每个象限内，y随x的值的增大而增大，错误． 故答案选D． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是关键． 5. 若第一组数据，，，，（各不相等）的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数变小，方差变大 D. 平均数不变，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变， 设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为， 则， ， ， ， 若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小． 故选：B． 6. 定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （ ） A. 线点P的坐标满足或者 B. 是线点 C. 线点P在直线上（除外） D. 线点P在直线上（除外） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式因式分解等知识点，理解新定义是解题的关键． A：由题意得，两式相减得到，即可判断；B：将分别代入，根据新定义判断即可；C、D：由A可知，则，那么线点P在直线上，由于，则除外，故可判断C，D． 【详解】解：A、由题意得， 两式相减得到，， ∴， ， ， ， 故A错误，不符合题意； B、将分别代入得：， ， ， ， ， ∴不是“线点”，故B错误，不符合题意； C、由A可知， ∴， ∴线点P在直线上， ∵， ∴除外， ∴线点P在直线上，（除外），故C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 8. 二次根式中，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 9. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换，根据关于y轴的对称点的坐标的规律即可求解，熟练掌握关于y轴的对称点的坐标的规律是解题的关键． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 10. 已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、圆的面积公式，首先根据圆的面积公式求出圆锥的底面圆的周长，即为圆锥的侧面展开的扇形的弧长，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是， 圆锥的底面圆周长为， 圆锥的侧面积是 故答案为： ． 11. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 13. 已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 14. 如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点落在点处，且轴，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查翻折的性质、反比例函数的性质以及勾股定理，延长交x轴于点D，则，设，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求得，得到点C的坐标为，结合点C在反比例函数图象上，可求得，进一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案． 【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示： 设，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，为上的点且，在线段上，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先根据，作，得出，则，取的中点，连接，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取的中点，连接 ∵在中，，，， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程： （1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂的意义计算即可； （2）先把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1）原式 （2）两边同时乘以得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路所用时间 21 24 15 21 23 22 24 24 26 20 平均数 中位数 众数 方差 线路所用时间 22 线路所用时间 根据以上信息解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 【答案】（1），， （2） 选择线路，理由：根据表格可知：两条线路用时的平均数相同，但是B线路用时的方差小，波动就小，时间可控，故选择B线路． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，方差，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的关键． （1）根据中位数定义将线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为线路所用时间的中位数，利用平均数的定义求出线路所用时间的平均数，找出线路所用时间中出现次数最多的数据即为线路所用时间的众数，从而得解； （2）根据平均数和方差的大小，得出结论进而提出建议即可． 【小问1详解】 解：将线路所用时间按从小到大顺序排列得：，，，，，，，，，，中间两个数是，， ∴线路所用时间的中位数为：， 由题意可知线路所用时间得平均数为： ， ∵线路所用时间中，出现次数最多的数据是， ∴线路所用时间的众数为：， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 19. 小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． （1）用树状图或列表法求出小王去的概率； （2）小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据（1）的结论，要使得游戏公平，则两种情况的得分一样，据此，即可求解． 【小问1详解】 解：列表如下 和 共有12种等可能结果，其中和小于6的有9种， 故小王去的概率为； 【小问2详解】 解：∵数字之和小于6的有9种，不小于6的有种， 要使得游戏公平，要得分相等，则， 即． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m2＝0 （1）求证：该方程有两个不等的实根； （2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝7，求m的值． 【答案】 （1）证明：∵在方程x2−3x−m2=0中,△=(−3)2−4×1×(−m2)=9+4m2>0， ∴该方程有两个不等的实根； （2）m=±2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=9+4m2>0，由此可证出该方程有两个不等的实根； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2=3①，x1⋅x2=−m2②，结合x1+2x2＝7③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值． 【详解】(1)略 (2)∵该方程的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2=3①,x1⋅x2=−m2②． ∵x1+2x2＝7③， ∴联立①③解之,得：x1=−1,x2=4， ∴x1⋅x2=−4=−m2， 解得：m=±2. 【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系. 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：以为一个内角的菱形，使顶点在边上，、分别在、上．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求菱形的边长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先作的平分线交于点F，再作的垂直平分线分别交于点E、G，连接，则四边形即为所求；由线段垂直平分线的性质得到，则，由角平分线的定义可得，则可证明，可得，则四边形是菱形； （2）设，则，由菱形的性质得到，证明，得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴菱形的边长为． 22. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． （1）通道斜面的长为________米； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵在中，， ∴， ∴， ∴（米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1） 证明：连接OC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴CD是⊙O的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得； （2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接AC，BC， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，． 24. 已知：，，点是线段上任意一点（不含端点），点在射线上，且，连接，过点作交于点，连接． （1）如图1，①若，求的度数； ②试判断的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数； （2）若，当时，求的长度； （3）如图2，当时，求证：． 【答案】（1）①；②不变， （2） （3） 证明：如图，过点作于点交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点， 由（1）可得， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，中位线的性质与判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是作辅助线； （1）①根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理求得，在中，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而求得的度数； ②设，同①的方法，即可求解； （2）延长交于点，证明得出，进而可得是的中位线，根据中位线的性质，即可求解； （3）过点作于点交于点，根据三线合一可得，结合已知得出，进而证明是的中点，根据等腰直角三角形的性质可得，得出，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：①，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 的度数是； ②的度数不变化，；理由如下： ，， ， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， 的度数是； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 【小问3详解】 略 25. 已知函数， （1）无论为何值，函数必过一个定点，求该定点的坐标； （2）对于函数，我们知道，当时，，图像是直线在轴右侧的部分；当时，，图像过点；当时，，图像是直线在轴左侧的部分． ①在平面直角坐标系中作出函数的图像； ②指出函数的两个性质； （3）当时，如果方程组无解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①如图所示； ②函数最大值为1；函数图象关于y轴对称 （3）且 【解析】 【分析】本题考查一次函数，画一次函数图象，一次函数交点与方程组的解的关系；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，即可得出该定点的坐标； （2）①根据题意分别画出当时，和当时，的函数图象，即可求解； ②根据函数图象的最大值以及对称性，即可求解； （3）结合过定点的坐标为，且与的函数无交点，分别求得过点时的值，以及与平行时的值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴时， ∴该定点的坐标为； 【小问2详解】 ①对于函数：当时，，时，， 列表如下， ②函数的两个性质：函数最大值为1；函数图象关于y轴对称； 【小问3详解】 解：如图， ∵方程组无解， 即直线和无交点， ∵直线过定点 当过点时， 解得： 根据函数图象可得，当时，和无交点， 当与平行时， 根据函数图象可得，时，和无交点， 综上所述，的取值范围为且． 26. 一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； （3）如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【答案】（1） （2）①，； ②证明：当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、O三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过， 即可求出的长度；通过，F即可求出的长度； （3）①根据题意分别表示出，的坐标，进而求得， ，根据，建立方程，解方程，即可求解． ②由点是的中点时，建立方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②略 【小问3详解】 ①依题意，，在上，对称轴为直线 ∴，， ∵在上，对称轴为直线 当时， 解得： ∴ ，， ∴， ， ∵ ∴ 解得或 （舍去） ∴ ②由①可得，， 当点是的中点时， ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $