15.4.2《特殊的平行四边形的性质与判定》（正方形的判定）课件 2024-2025学年北京版八年级数学下册

——正方形的判定 15.4.2特殊的平行四边形的判定 学习目标 1、理解并掌握正方形的判定和推导过程. 2、能熟练运用正方形的判定进行计算和证明. 正方形的性质有哪些？ 复习回顾 A B C D O 边： 角： 对角线： 四条边都相等，两组对边分别平行 四个角都是直角 对角线相等，并且互相垂直平分 你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考:怎样判定一个四边形是正方形呢？ 复习回顾 四边形 A B C D / / / / 四条边相等 四个角是直角 ？ ？ A B C D A B C D O / / / / 对角线相等且互相垂直平分 ？ 正方形的判定 正方形是我们熟悉的几何图形,它的四条边都相等,四个角都是直角.因此,正方形既是矩形,又是菱形.它既有矩形的性质,又有菱形的性质. 如何判定一个四 边形是正方形？ 回顾思考 猜想2 探究与猜想 猜想1 2.有一个角是直角的菱形是正方形 3.有一组邻边相等的矩形是正方形 猜想3 1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行 四边形叫正方形 平行四边形 正方形 （1） 思考1：满足什么条件的平行四边形是正方形？ 1、一组邻边相等 2、有一个角为直角 定义法：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 形是正方形。 几何语言： A B C D ∠A=90° 平行四边形 正方形 （1） 思考2：满足什么条件的平行四边形是正方形？ 1、两条对角线相等 2、一组邻边相等 平行四边形 正方形 （1） 1、对角线互相垂直 2、有一个角为直角 思考3：满足什么条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 （2） 一组邻边相等 判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 A B C D 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形且AB=AD ∴ 四边形ABCD是正方形. 思考4：满足什么条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 （2） 两条对角线互相垂直 判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形. A B C D 思考4：满足什么条件的菱形是正方形？ 菱形 正方形 （3） 有一个角是直角 判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形且∠A=90° ∴ 四边形ABCD是正方形. A B C D 思考5：满足什么条件的菱形是正方形？ 菱形 正方形 （3） 两条对角线相等 判定定理：两条对角线相等的菱形是正方形。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形且AC=BD ∴ 四边形ABCD是正方形. A B C D 7：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 8：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形 正方形的判定方法 探究拓展 1：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 3：一组邻边相等的矩形是正方形。 4：对角线互相垂直的矩形是正方形。 5：有一个角为直角的菱形是正方形。 6：对角线相等的菱形是正方形。 2：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 例1 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形． 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例精析 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AD 是∠CAB 的平分线， ∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 例3.正方形ABCD中，O为对角线的交点，DE//CA,AE//BD. 求证:四边形AODE是正方形. D A E B C O ∵正方形ABCD， ∴OA=OD ∵DE//CA, AE//BD. ∴四边形AODE是平行四边形 ∴平行四边形AODE是菱形. ∵正方形ABCD， ∴∠AOD＝90° ∴四边形AODE是正方形. 证明： 典型例题 例4 如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线交点 O，且 EG⊥FH. 求证：四边形 EFGH 是正方形. B A C D O E H G F 证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ OB = OC，∠ABO =∠BCO = 45°， ∠BOC = 90° = ∠COH +∠BOH. ∵ EG⊥FH， ∴∠BOE +∠BOH = 90°. ∴∠COH =∠BOE. ∴△CHO≌△BEO. ∴ OE = OH. 同理可证：OE = OF = OG. ∴ OE = OF = OG = OH， 即 EG 与 FH 互相垂直平分. ∴ 四边形 EFGH 为菱形. ∵ EO + GO = FO + HO，即 EG = HF， ∴ 四边形 EFGH 是正方形. 当堂练习 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 ∠ABC = 90° 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D 3. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 对角线互相平分 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边分平行且相等 两组对角分别相等 一个角为直角 一个角为直角 一组邻边相等 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线相等 三个角为直角 四条边相等 对角线相等 对角线互相垂直 对角线互相垂直且相等 四边形的关系 四边形 四边形 平行四 边形 矩 形 菱 形 正方形 $$