15.4.2《特殊的平行四边形的性质与判定》（矩形的判定）课件 2024-2025学年北京版八年级数学下册

15.4.2特殊的平行四边形的判定 ——矩形的判定 想一想 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 情景引入 平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法， 那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 探究新知 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 我们知道“矩形的对角线相等”，它的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 探究新知 我们知道“矩形的对角线相等”，它的逆命题是对角线相等的平行四边形是矩形，你觉得对吗？ 根据定义，可以判定一个四边形是不是矩形. 除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？ 推理论证 矩形的判定 提出逆命题 矩形的性质 定义 性质 判定 提出猜想 推理论证 推出 推出 知识点1： 矩形的判定 问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 我猜想：对角线相等的四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 例 2 如图，在 ABCD 中，对角线 AC = BD. 求证： ABCD 为矩形. D A B C 例题讲解 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD = BC. 又 ∵ DC = CD，AC = BD， ∴ △ADC ≌ △BCD . ∴ ∠ADC = ∠BCD. 又∵ ∠ADC + ∠BCD = 180°， ∴ ∠ADC = ∠BCD = 90°. ∴ ABCD为矩形. 矩形的判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在□ABCD 中，∵ AC = BD， ∴ □ ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 练一练 想一想： 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 例 3 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形 AECF 是矩形. A B C E D F 1 2 证明 ∵ AE // BC， ∴ ∠1 = ∠2. 在 △ADE 和 △CDF 中， ∵ ∠1 =∠2，AD = CD，∠ADE =∠CDF， ∴ △ADE ≌ △CDF. ∴四边形 AECF 是平行四边形. 又∵四边形 ABFE 是平行四边形 ∴EF = AB. ∵ AC = AB，∴ EF = AC. ∴四边形 AECF 是矩形. 问题2 ：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗? 即四个角都是直角的四边形是矩形吗? 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形? 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 不是矩形 不是矩形 矩形 知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形 想一想 例4 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 证一证 矩形的判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. 归纳总结 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 解：对角线相等的平行四边形是矩形. 1.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？ 练习 解：还需要从花房运来38盆“红花”. 如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆. 因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对角线的交点没有摆花盆. 化复杂为简单 达标检测： 1、为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC、BD的长度，若二者长度相等，则书架的侧边与上、下边都垂直，请你说明其中的数学原理（ ）。 达标检测： A B C D O 小试牛刀： A C B E D 矩形 角 ______________的四边形是矩形 _________的平行四边形是矩形 有一个角是直角 有三个角是直角 对角线 的平行四边形是矩形 对角线相等 __________________ 判定定理 矩形的定义 当堂小结 $$