专题05 一元二次方程80道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

第05讲 一元二次方程80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数的关系计算 题型八 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）解关于的方程：． 【答案】当时，方程无实数根；当时，；当时，，． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．先移项得：，即，再进行讨论当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解： 移项可得：，即， 当时，，因为实数的平方都大于等于0，所以此时方程无实数根； 当时，方程为，解得：； 当时，，解得：，； 综上，当时，方程无实数根；当时，；当时，，． 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ∴，． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：解方程： （1）；              （2）； 【答案】（1）x1=x2=1；（2）x1=-4，x2=1 【分析】（1）方程整理后，利用直接开方法求出解即可； （2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：（1）（x+1）2=4x， ∴x2-2x+1=0， ∴（x-1）2=0， ∴x-1=0， 解得：x1=x2=1． （2）（x+4）2=5（x+4）， ∴（x+4）2-5（x+4）=0， ∴（x+4）（x+4-5）=0， ∴x+4=0，x+4-5=0， 解得：x1=-4，x2=1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法，即可求解； （2）利用直接开平方法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） 或． 5．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）运用开平方法求解； （2）因式分解法求解即可； （3）公式法求解即可； （4）先移项，再运用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解： 或 解得：，； （3）解： ， ∴， ∴，． （4）解： 或， ∴，． 6．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）用两种方法求解方程： 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．用直接开平方法和因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方法一：， 原方程可变为：， 开平方得： 解得：，； 方法二：， 化为一般形式为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 7．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)方程无实数根 (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各种解法是解题的关键． （1）直接开平方法求解； （2）公式法求解； （3）公式法求解； （4）因式分解法求解． 【详解】（1）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； （2）解：， ， ， ∴， ∴原方程的根为：； （3）解： ， ∴原方程无实数根； （4）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 8．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的运算法则是解题的关键． （1）两边分别开方进行计算即可； （2）因式分解进行计算； （3）因式分解进行计算即可； （4）观察数字特征，得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，即或， ； （2）解：因式分解，得， ； （3）解：因式分解，得， ； （4）解：观察数字特征，得， ， 或 ． 9．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两个方程． ①；②；③；④． 【答案】 ①， ②， ③， ④， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握公式法，直接开方法，因式分解法求一元二次方程是解题的关键． 根据题意，运用公式法时先确定的及的正负，在运用求根公式代入计算即可；直接开方法，因式分解法求解即可． 【详解】解：①， ∵，，，， ∴方程有两个不等的实数根， ，； ②， 等式两边同时除以得，， 直接开方得，， ，； ③， ∵，，，， ∴方程有两个不等的实数根， ，； ④， 因式分解得，， ∴，或， ，． 10．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）小华解方程的过程如下： 解：移项，得，    第一步 根据平方根的意义，得，    第二步 由此可得，    第三步 小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】二，解答过程见解析 【分析】本题考查了利用平方根的定义解一元二次方程，先把移到右边，再根据平方根的意义开方，最后求出方程的解即可，理解平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：小华的解答从第二步开始出错， 故答案为：二， 正确的解答过程为： 移项，得， 根据平方根的意义，得， 由此可得，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可． 【详解】 ， ∴，． 12．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）用适当的方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，． 13．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）解下列关于的方程： (1)（用配方法）； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 设，则原方程可变为： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：，； ∴原方程的解为：，，，． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个方程的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （3）方程变形得：， 配方得：，即， 解得：，； （4）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 15．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)无实数根 (5)， (6) 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法、公式法及解一元一次方程． （1）移项后分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （2）分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （3）配方后直接开平方，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （4）整理成一般式，求得，则原方程无实数根； （5）移项后分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （6）整理后得到，系数化为即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ，； （3）解：， ， ， ，． （4）解：， ， ，，， ， 原方程无实数根； （5）解：， ， 或 ，； （6）解：， ， ， ． 16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可； （2）把的值代入方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 关于的一元二次方程为， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程为， ，． 17．（24-25九年级上·广西贵港·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， ； （2）解： ∴． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法； (2)自己喜欢的方法． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）系数化1，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后，利用直接开方法进行计算即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ，； （2）， ，即， 或， ，． 19．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）先展开，变成一般式，因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； ∴； （2） ， ∴； （3） ， ∴； （4） ， ∴． 20．（24-25九年级上·四川简阳·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是先求出的值，再代入公式求出方程的解． 【详解】解：， ，，， ， ， 所以，． 22．（24-25九年级上·四川简阳·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴，． 23．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 24．（24-25九年级上·四川内江·期末）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 25．（24-25九年级上·四川巴中·期末）解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 26．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述两种解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程； （3）利用公式法解一元二次方程； （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：移项得： 提取公因式，得到： 和， 解得：，； （2）去括号，得：， 即， 方程左边因式分解，得：， ∴和， 解得：，； （3）方程， , ∴， ∴， ∴，； （4）， 方程两边同乘，得， , ∴， ∴， 解得：，． 27．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）， 【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握二次根式的相关运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减； （2）利用二次根式的混合运算法则计算即可， （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ， 或， 解得：，； （4）， 其中，，，， ∴， ∴，． 28．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）用指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（选用适当的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法成为解题的关键． （1）先求出，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先将含未知数的项移至等号的左边，常数项移至等号的右边，然后再运用配方法即可解答； （3）直接运用公式法求解即可； （4）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以，． （2）解：， ， ， ， ， 所以，． （3）解：， ， ， 所以，． （4）解：， ， ， ， 所以，． 29．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 30．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程的根． 利用因式分解法法求解即可． 【详解】解： ， ∴或， ∴， 32．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用因式分解法法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可. 【详解】（1）解： 方程化为：，， ∴， ∴或； ∴，． （2）解： ∴， ∴或， ∴，． 33．（24-25九年级上·福建厦门·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， ∴，． 34．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ， 或， ，． 35．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）解方程（组） (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元二次方程的解法， （1）利用加减消元法直接求解即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ②①，得， 将代入①式，得，解得， 原方程组的解为． （2）解：， ， ∴，， ∴，． 36．（24-25九年级上·四川巴中·期末）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3) (4)无解 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的步骤及方法是解题的关键． （1）由因式分解法即可求解； （2）由因式分解法即可求解； （3）先去分母化为整式方程，再解方程，然后再检验； （4）先去分母化为整式方程，再解方程，然后再检验． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，； （3）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：； （4）解： ， 解得：， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 37．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可； （3）利用直接开平方法即可求得方程的解； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）原方程移项得：， ， 或， ； （3）原方程化为：， ， ； （4）因式分解得，， 或， ． 38．（2025·广西桂林·模拟预测）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ①　②　③ 【答案】（1）0  （2）①  ②  ③ 【分析】（1）根据，计算解答即可． （2）①利用直接开平方法解答即可．　 ②利用因式分解法解答即可． ③利用公式法解答即可． 【详解】解：(1) ． (2)①解：∵, ∴ ∴或， 解得，． ②解：∵， ∴ 解得，． ③解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查了因式分解法，直接开平方法公式法求解方程的根，零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的化简，选择适当解方程的方法，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 39．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ． 小滨的解答如下：   解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5）， 方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1， 小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】方程解答不正确，两边除以(x-5)时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可． 【详解】解：不正确． 正确的解答过程如下：， ， ， 则或， 解得，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 40．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 42．（25-26九年级上·四川宜宾·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用直接开方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化成的形式； 利用直接开平方法解方程，通过移项，系数化为1，将方程进行变形成上述形式，再进行开方，即可得出答案. 移常数项，二次项系数化为，直接开平方，即可求解； 移常数项后直接开平方，求出的值后再求. 【小题1】移项，得， 【小题2】移项，得， 43．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）按要求解方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是关键； （1）把方程化为，再进一步求解即可； （2）方程移项得：，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 则，，， ∴， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 44．（24-25九年级上·重庆·期末）利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 45．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，关键是解题步骤的应用．因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． （）直接通过提取公因式即可分解，是因式分解法的基础应用； （）需要先移项，再将多项式看作整体提取公因式，考察对“整体思想”的运用； （）通过移项构造平方差形式，再利用公式分解，考察公式法与移项技巧的结合； 【详解】（1）解：因式分解，得， ∴，或， ∴，． （2）原方程可变形为， ， ，或， ∴，． （3）原方程可变形为， ， ， ，或， ∴，． 46．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）由已知方程可得两个关于的一元一次方程，解之即可得出答案； （2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）直接开平方法求解即可； （4）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解：， ， 则或， 解得，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， 或， 解得，． 47．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 48．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 49．（24-25九年级上·四川眉山·期末）按要求解方程： (1)（适当的方法） (2)（用公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，， ， 50．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程∶ (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（直接开方法） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）先把方程两边同时乘以3，再把方程两边同时开平方，进而解方程即可． 【详解】（1）解： 化为一般式为， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【经典计算题六 换元法解一元二次方程】 51．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 52．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 可根据方程特点设，则原方程可化为，解一元二次方程求y，再求x． 【详解】设，则原方程化为 ， 即， 解得，． 当时，，该方程无解， 当时，． 解得，， 检验：当时，原方程左边右边， 当时，原方程左边右边， ∴，都是原方程的根， ∴原方程的根是，． 53．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、换元法、因式分解法成为解题的关键． （1）设，则，再移项、运用直接开平方法求得y，进而求得x即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， 所以该方程的解为：． （2）解：， ， ， 所以该方程的解为：． 54．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解题的关键. （1）先用直接开平方法整体求出，进而求得方程的解； （2）设，则有，然后用因式分解法求得y，进而完成解答. 【详解】（1）解：， ， 所以. （2）解：设，则有， ， ∴， ∵， ∴. 55．（24-25九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）1或． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设，则有， ，即或， ，， 的值为1或． 56．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）【阅读材料】解方程． 解：设,则原方程可变形为． 当时， 当时，,此方程无实数根． ∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法． 【问题解决】利用上述方法解方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解并正确运用换元法是解题的关键． 先设，把原方程变形为关于的方程，解方程得到的值，再代入中求出的值． 【详解】解：设，则原方程可变形为． 解得：， 当时，，解得， 当时，，解得． ∴原方程的解为． 57．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以原方程的解为，． 58．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 59．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， ． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为：，． 60．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）阅读理解 为了解方程，可以将看作一个整体． 设，则原方程化为，解得，． 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上，原方程的根是，，，． 小试牛刀 请利用以上方法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程，令，得，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值即可． 【详解】解：令，则， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得， 综上，原方程的解是，，． 【经典计算题七 一元二次方程根与系数的关系计算】 61．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 各小题利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，是的两根， 则，； （2）解：变形为， 设，是的两根， 则，； （3）解：设，是的两根， 则，； （4）解：变形为， 设，是的两根， 则，． 62．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 【答案】（1），；（2）①1；② 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）运用因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ． 63．（24-25九年级上·四川河南新乡·期中）已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，首先利用有两个根求得m的范围，再结合已知等式利用完全平方公式化简，利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 则， ∵该方程两实数根分别为，， ∴，． ∵， ∴， 即， 解得：或， ∵， ∴实数m的值为2． 64．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 65．（2025九年级·四川宜宾·模拟预测）记一元二次方程的两根分别为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系，时，需要弄清楚、、的意义． （1）利用根与系数的关系求得求的值的值； （2）由一元二次方程的解可得再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）， ； （2）是一元二次方程的根， ， 又， ． 66．（24-25九年级上·四川内江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 【答案】(1)； (2)11． 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系． （）把代入计算即可求解； （）利用根与系数的关系得到、的值，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴一元二次方程为， ∴，， ∴． 67．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）（1）用适当方程解一元二次方程：； （2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 【答案】（1）；（2），或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用根与系数的关系得到，再由得到，则，解得，则原方程为，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或； 68．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键； （1）利用根与系数的关系，可得出，即可． （2）把化为，再整体代入计算即可； （3）由，再整体代入计算即可； （4）由，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，； （2）； （3）； （4）． 69．（24-25九年级上·四川内江·期中）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足： ①，，方程：__________； ②，，方程：__________． 【应用】，，若，求的值． 【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】探究：①；②；应用：；推广：2 【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 探究：根据一元二次方程的两个根构造方程；根据一元二次方程的两个根构造方程； 应用：先求出，，则，为方程的两根，由方程的解代入方程得到，，然后整体代入得到，据此即可求解； 推广：由，，转化为，是关于方程的两根，然后用根的判别式即可求解． 【详解】解：探究：∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴ 故答案为：； 应用：∵，， ∴，， ∴，为方程的两根， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得：； 推广：∵，， ∴，， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：正数的最小值为． 70．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）关于的方程的两根的平方和是，则的值． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．设方程的两根分别为m、n，根据根与系数的关系得到，，再由得，再列方程求解，然后根据判别式确定满足条件的a的值． 【详解】 解：设方程的两根分别为m、n， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，原方程变形为，，方程没有实数解， 当时，原方程变形为，，方程有实数解， ∴． 【经典计算题八 一元二次方程的新定义运算】 71．（24-25九年级上·福建厦门·期中）对于实数，我们定义一种运算“”为： 化简：； 解关于的方程 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题目定义的运算利用乘法公式化简原式； （2）列出方程，用配方法解一元二次方程． 【详解】解：（1）∵， ； （2）， ， ， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方法的方法． 72．（2025·四川宜宾·模拟预测）对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n． （1）化简：（a+b）※（a﹣b）； （2）解关于x的方程：x※（1※x）=﹣1． 【答案】（1）（a+b）※（a﹣b） =a2﹣b2+2a；（2）x1=x2=﹣1． 【分析】（1）根据新定义运算：m※n=mn+m+n，先列式，再利用整式的运算法则计算即可. （2）先根据新定义运算求出1※x=2x+1，再x※(2x+1)=-1转化为x（2x+1）+x+2x+1=-1，解方程求解即可 【详解】1）(a+b)※(a一b)=(a+b)(a一b)+(a+b)+(a一b) =a2-b2+a+b+a-b =a2-b2+2a； （2）∵1※x=x+1+x=2x+1， ∴x※(2x+1)=-1， ∴x（2x+1）+x+2x+1=-1， 整理得：x2+2x+1=0， （x+1）2=0， ∴x=-1， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，以及整式的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 73．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于任意的实数m，n，定义运算“∧”，有m∧n=． （1）计算：3∧（-1）； （2）若，，求m∧n (用含x的式子表示)； （3）若，， m∧n=-2 ，求x的值 ． 【答案】（1）3；（2）1-x或；（3）或 【分析】（1）根据新定义的运算法则进行计算即可； （2）根据新定义的运算法则代入，然后根据x的取值范围不同分情况讨论计算； （3）根据新定义的运算法则代入，然后根据x的取值范围不同分情况讨论计算即可． 【详解】（1） （2）当x≤-2时，m=1-x，n=-x-2； m∧n=1-x； 当x≥1时，m=x-1，n=x+2； m∧n=2+x； 当-2＜x＜1时，m=1-x，n=x+2，； ①当-2＜x≤-时，； ②当-＜x＜1时， 答：m∧n的值为1-x或x+2． （3）把m=x2+2x-3，n=-x-3代入m∧n=，得： m∧n= ①当x≤-3或x≥0时，m∧n=x2+2x-3=-2 解得x1=-1+，x2=-1-（不合题意，舍去） ②当-3＜x＜0时，m∧n=-x-3=-2；解得x3=-1； 综上所述，x=-1+或-1． 答：x的值为-1+或-1． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．另外，本题运用到了分类讨论的数学思想，这是一种常用的数学思想，应重点掌握． 74．（24-25九年级上·四川宜宾·课后作业）对于实数，，我们定义一种运算“”为：，例如． （1）计算； （2）若，求的值． 【答案】（1）12；（2）或． 【分析】（1）直接根据新定义得到答案； （2）根据题中的新定义，把转化为，然后解这个方程即可． 【详解】解：（1）根据新定义可知： ； （2）由新定义可知， 转化为． 解方程得到或． 【点评】此题考查了解一元二次方程，把新定义运算化为普通运算，得出一元二次方程是解本题的关键． 75．（2025·四川·模拟预测）我们定义一种关于“★”的新运算：★，试根据条件回答问题. （1）计算：2★ ； （2）若★，求的值； （3）请你判断按这种方式定义的新运算是否满足交换律，若不满足，请举一个反例；若满足，请说明理由. 【答案】（1）-1；（2）x的值为1或-2；（3）按这种方式定义的新运算不满足交换律；反例：1★2=1，2★1=3.（反例不唯一，正确即可） 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）根据运算的定义构造方程求解即可； （3）根据运算定义，给出反例问题可解. 【详解】解：（1）2★2×+2-（-3）=-1； （2）由★ 则有 解得x的值为1或-2； （3）按这种方式定义的新运算不满足交换律； 反例：1★2=1，2★1=3. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及解一元二次方程的知识，正确理解运算的定义，将问题转化为数学模型是关键． 76．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，求m的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，先解方程得：或，再分当关于x的一元二次方程与有公共解时，当关于x的一元二次方程与有公共解时，分别把公共解代入方程中，求出m的值，进而求出方程另外一个解，由此根据“友好方程”的定义判断即可得到答案． 【详解】解：解方程得：或， 当关于x的一元二次方程与有公共解时， ∴，解得， ∴方程即为，解得或， ∴此时满足关于x的一元二次方程与为“友好方程”； 当关于x的一元二次方程与有公共解时， ∴，解得， ∴方程即为，解得或， ∴此时满足关于x的一元二次方程与为“友好方程”； 综上所述，m得值为或1． 77．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）在实数范围内定义一种新的运算“※”，其规则为：． (1)根据这个运算规则，计算的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，有理数的混合运算， （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得，然后利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：   ， 的值为； （2）    ∴或 ∴，， 故方程的解为，． 78．（24-25九年级上·四川简阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，理解新定义是解题关键． （1）根据定义的新运算即可求解； （2）先解方程得或，再分，和，两种情况分类讨论，根据定义的新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：解方程得或， 当，时，∵， ∴； 当，时，∵， ． ∴的值为或． 79．（2025·四川广安·模拟预测）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．现给出下面两个方程，请通过计算说明这两个方程是否是自然方程． (1)； (2)． 【答案】(1)该方程不是“自然方程” (2)该方程是“自然方程” 【分析】 本题主要考查解一元二次方程： （1）先解方程，求出方程的解，再利用“自然方程”定义判断即可； （2）先解方程，求出方程的解，再利用“自然方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：这里，，． ∵， ∴． 故根不是整数，该方程不是“自然方程”． （2）解：原方程可变形为． ∴，或， ∴，． 故根是整数，且满足， ∴该方程是“自然方程”． 80．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：____________；____________ (2)计算： (3)在复数范围内解方程： 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，然后根据计算即可； （3）利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，配方法解一元二次方程等知识点，深刻理解题意，能够利用进行计算并熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数的关系计算 题型八 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）解关于的方程：． 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）解方程：． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）计算：解方程： （1）；              （2）； 4．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）求下列各式中x的值 (1) (2) 5．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）用两种方法求解方程： 方法一： 方法二： 7．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两个方程． ①；②；③；④． 10．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）小华解方程的过程如下： 解：移项，得，    第一步 根据平方根的意义，得，    第二步 由此可得，    第三步 小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）解方程：． 12．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）用适当的方法解方程： 13．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）解下列关于的方程： (1)（用配方法）； (2)． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当时，求方程的根． 17．（24-25九年级上·广西贵港·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法； (2)自己喜欢的方法． 19．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25九年级上·四川简阳·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）用公式法解方程：． 22．（24-25九年级上·四川简阳·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 23．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 24．（24-25九年级上·四川内江·期末）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 25．（24-25九年级上·四川巴中·期末）解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 26．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 28．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）用指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（选用适当的方法） 29．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 30．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）解方程：． 32．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 33．（24-25九年级上·福建厦门·期末）计算： (1)； (2) 34．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）解方程： (1)； (2)． 35．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）解方程（组） (1) (2) 36．（24-25九年级上·四川巴中·期末）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 37．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 38．（2025·广西桂林·模拟预测）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ①　②　③ 39．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ． 小滨的解答如下：   解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5）， 方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1， 小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程． 40．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）用配方法解方程：． 42．（25-26九年级上·四川宜宾·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 43．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）按要求解方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法）． 44．（24-25九年级上·重庆·期末）利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 45．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 46．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 47．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 48．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 49．（24-25九年级上·四川眉山·期末）按要求解方程： (1)（适当的方法） (2)（用公式法） 50．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程∶ (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（直接开方法） 【经典计算题六 换元法解一元二次方程】 51．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）解方程 52．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）解方程：． 53．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 54．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）解方程： (1)； (2). 55．（24-25九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 56．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）【阅读材料】解方程． 解：设,则原方程可变形为． 当时， 当时，,此方程无实数根． ∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法． 【问题解决】利用上述方法解方程． 57．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 58．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 59．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 60．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）阅读理解 为了解方程，可以将看作一个整体． 设，则原方程化为，解得，． 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上，原方程的根是，，，． 小试牛刀 请利用以上方法解方程：． 【经典计算题七 一元二次方程根与系数的关系计算】 61．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 62．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 63．（24-25九年级上·四川河南新乡·期中）已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 64．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 65．（2025九年级·四川宜宾·模拟预测）记一元二次方程的两根分别为． (1)求的值； (2)求的值． 66．（24-25九年级上·四川内江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 67．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）（1）用适当方程解一元二次方程：； （2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 68．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 69．（24-25九年级上·四川内江·期中）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足： ①，，方程：__________； ②，，方程：__________． 【应用】，，若，求的值． 【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 70．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）关于的方程的两根的平方和是，则的值． 【经典计算题八 一元二次方程的新定义运算】 71．（24-25九年级上·福建厦门·期中）对于实数，我们定义一种运算“”为： 化简：； 解关于的方程 72．（2025·四川宜宾·模拟预测）对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n． （1）化简：（a+b）※（a﹣b）； （2）解关于x的方程：x※（1※x）=﹣1． 73．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于任意的实数m，n，定义运算“∧”，有m∧n=． （1）计算：3∧（-1）； （2）若，，求m∧n (用含x的式子表示)； （3）若，， m∧n=-2 ，求x的值 ． 74．（24-25九年级上·四川宜宾·课后作业）对于实数，，我们定义一种运算“”为：，例如． （1）计算； （2）若，求的值． 75．（2025·四川·模拟预测）我们定义一种关于“★”的新运算：★，试根据条件回答问题. （1）计算：2★ ； （2）若★，求的值； （3）请你判断按这种方式定义的新运算是否满足交换律，若不满足，请举一个反例；若满足，请说明理由. 76．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，求m的值． 77．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）在实数范围内定义一种新的运算“※”，其规则为：． (1)根据这个运算规则，计算的值； (2)求关于的方程的解． 78．（24-25九年级上·四川简阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 79．（2025·四川广安·模拟预测）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．现给出下面两个方程，请通过计算说明这两个方程是否是自然方程． (1)； (2)． 80．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：____________；____________ (2)计算： (3)在复数范围内解方程： 学科网（北京）股份有限公司 $$