专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 握手循环赛问题 题型十一 其他问题 拓展训练一 图形问题综合 拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（2025·四川遂宁·模拟预测）某超市销售一种牛奶，原价每箱元，连续两次降价后每箱元．若每次下降的百分率相同，都是，则得到方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，正确列式是关键． 根据数量关系，正确运用一元二次方程表示数量关系即可． 【详解】解：原价每箱元，连续两次降价后每箱元，下降的百分率相同，都是， ∴， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可． 【详解】解：如果设长为米，则宽为米， 由此可得， 故答案为：． 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川资阳·期中）某商场对一种商品作调价，按原价的8折销售的售价为88元，则商品原价是（　　　） A．100元 B．110元 C．70.4元 D．120元 【答案】B 【分析】根据原价和售价的关系列方程计算即可． 【详解】解：设原价为x，由题意有： 解的 故选：B 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是确定相等关系列方程求解． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设船儿总数是，则每船装只缸，根据“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸”即可列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故答案为：19． 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了14人． 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用．患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，再解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 依题意得， 即， 解得：或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14人． 1．（2025·四川简阳·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 3．（24-25九年级上·四川眉山·随堂练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【答案】一共有8个人过生日． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）其公司前年缴税万元，今年缴税万元，该公司这两年缴税的年均增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，设该公司这两年缴税的年均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 答：该公司这两年缴税的年均增长率为． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）随着新能源的日益普及，某校教工去年拥有电车144辆，预计明年将达到225辆．设该校电车数量的平均年增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，增长率的问题，设年平均增长率为，则去年数量为144辆，经过2年增长后达到225辆．根据增长模型，列出方程即可． 【详解】解： 设年平均增长率为，则去年数量为144辆，经过2年增长后达到225辆．根据增长模型，列方程： 故选：A 2．（2025·四川乐山·模拟预测）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得： ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川简阳·期中）为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年8月份改造绿化面积为，到了今年10月份增加到，假设改造绿化面积月平均增长率都相同，则月增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设月增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得出答案． 【详解】解：设月增长率为x， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 则月增长率为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）某工厂引进了1条生产线，开工第一天生产300个，第三天生产432个，若每天生产产品的个数增长的百分率相同．请解答下列问题： (1)每天增长的百分率是多少？ (2)经调查发现，一条生产线最大产能是900个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天． ①现该厂要保证每天生产产品3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产量9000个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)增加4条生产线 不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天，根据每天生产9000个，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每天增长的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天， 依题意，得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴． 答：应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天， 依题意，得：， 化简得：， ∵，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产9000个． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为，     根据题意得，，     整理得：， 解得或（舍去），     答：长为． 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了而长减少了，那么面积增加，设长方形原来的宽为，所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长方形原来的宽为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方形原来的宽为，依题意可得： ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）如图，某校准备对校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，则原正方形空地的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设原正方形空地的边长为，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原正方形空地的边长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得：，（舍）， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，要建一个面积为的仓库，仓库的一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现有能围成长的木板，仓库的长和宽分别为 m与 m． 【答案】 13 10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道宽的门，现有能围成长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x， 依题意得， ， ， ∴或， 当时，； 当时，，不合题意舍去． 所以，仓库的长和宽分别为． 故答案为：13，10． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【答案】(1)20米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确列出关于x的方程成为解题的关键． （1）设边的长为x米，则米，然后利用矩形的面积公式列二元一次方程求解，然后再求出验证即可解答； （2）先根据题意列一元二次方程求解，然后运用根的判别式判定方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设边的长为x米，则米， 根据题意得：，     解得：或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：的长为20米． （2）解：不能，理由如下： 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程不存在实数根． ∴不能使得围成的花圃面积为500平方米． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】81 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 1．（2025·四川遂宁·模拟预测）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设较大的奇数为x，那么较小的奇数为，则这两个数的积是即可列出方程． 【详解】解：设较大的奇数为x，根据题意得， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可． 【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为， 根据题意得出：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 个位置相邻的 个数（如 ），若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和是多少？ 【答案】 【分析】设最小数为 ，则最大数为 ，根据题意列出方程求解，然后确定这9个数求和即可． 【详解】解：设最小数为 ，则最大数为 ， 根据题意，得 解得 故这 个数为 所以这 个数的和为 ． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用及有理数的加法的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 1．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价灵石，则每个迷你风火轮的利润为元，销售量为个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，设每件服装应降价x元，根据题意，即可列出方程． 【详解】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 如图是某农户承包的一块矩形果园的平面图，长300米，宽200米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路等宽，左右两条纵向道路等宽，且横向道路宽度是纵向道路的宽度的2倍，中间部分种植水果，已知道路的路面造价是50元/米，由于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米    素材2 该农户发现某种草莓销售前景不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知草莓销售平均利润为100元/米，果园承包费为25万元/年，期间需一次性投入33万元购进新苗，养护、施肥、运输等其余费用25万元/年 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响 （1）设纵向道路宽度为x米，则x的取值范围为 ； （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求请说明理由 任务2 解决果园预期利润问题 （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元么？请说明理由（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） 【答案】（1）；（2）路面设置的宽度符合要求，理由见解析；（3）可以，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度米，不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）路面设置的宽度符合要求； 理由：根据题意，得，整理，得， 解得， ， ∴符合题意， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 理由：假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 设纵向道路宽度为米，根据题意，得， 整理，得， 解得， 又， ∴符合题意， ∴假设成立， 即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：C． 3．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，中，，，，点从沿边向点以的速度移动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度移动，在点停止．    (1)如果点，分别从、同时出发，经过几秒钟，使？ (2)如果点从点先出发，点再从点出发，点出发几秒钟后？ (3)如果点、分别从、同时出发，经过几秒钟后？ 【答案】(1)或 (2) (3)（）秒 【分析】本题主要考查了考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）设、同时出发，经过秒钟，，分别求出，则，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设出发时，则运动的时间为秒，分别求出，则，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设经过秒钟后，则，，进而得到，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设、同时出发，经过秒钟，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得：，． ∵经秒点到离点处，点离点处，经秒点到离点处，点离点处，经验证，它们都符合要求． ∴、同时出发，经过或，． （2）解：设出发时，则运动的时间为秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ∴经秒点离点，点离点，符合题意． ∴出发后，． （3）解：设经过秒钟后，则，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，不合题意，舍去 ∴经过秒钟后． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2025·四川内江·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 1．（2025·四川资阳·模拟预测）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 4．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32． 【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，根据总工作量大于等于39000米列出不等式求解即可； （2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可． 【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为x小时， 根据题意得：， 解得：x≥300， 答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时； （2）由题意得：300×（1+3.2%）×30+60×（1-%）×300×（1+%+30%）=39000+9000， 整理得：， 解得：或， ∵﹥0， ∴=， 故的值是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 2．（2025九年级·陕西汉中·模拟预测）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川内江·期末）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s. 【答案】 【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值． 【详解】依题意得s=×t=t2， 把s=18代入，得18=t2， 解得 t=，或t=-（舍去）． 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 4．（2025·四川成都·模拟预测）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米 (2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 1．（24-25九年级上·四川眉山·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 【答案】 【分析】由题意可得，把函数值h=5直接代入关系式即可求得t的值，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，将h=5代入关系式中， 得到：， 整理即：． 解得：，(负值舍去)， 答：运动员完成动作的时间最多不超过秒． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值h=5m代入函数关系式，就可以求出时间的最大值． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ∴， 则或， 解得或， 或． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键． 3．（24-25九年级上·四川眉山·单元测试）已知：p为实数. p k q … … … 3 16×3＋26 2×2×6 4 16×4＋26 2×3×7 5 16×5＋26 2×4×8 6 16×6＋26 2×5×9 7 16×7＋26 2×6×10 … … … 根据上表中的规律，回答下列问题： (1)当p为何值时，k＝38? (2)当p为何值时，k与q的值相等？ 【答案】(1) p＝；(2)当p＝8或p＝－2时，k＝q. 【分析】（1）首先根据表格总结出k、p之间的关系，然后将38代入求得p值即可； （2）根据表格中有关数字的规律找到q与p之间的关系，与上题中的关系式联立组成有关p的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：k=16p+26． 当k=38时，38=16p+26， 则p=． 答：当p=时，k=38． （2）根据题意，得 ：q=2（p﹣1）（p+3）． 当k=q时，则有16p+26=2（p﹣1）（p+3）． 整理，得：p2﹣6p﹣16=0． 解方程，得：p1=8，p2=﹣2． 答：当p=8或p=﹣2时，k=q． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化类问题，解题的关键是通过观察题目中的表格总结出各个未知数之间的关系． 4．（2025·四川宜宾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 【经典例题十 握手循环赛问题】 【例10】（24-25九年级上·四川内江·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 1．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，每名运动员都要与其他名运动员握手一次，但每对握手会被重复计算两次，因此总握手次数应为．根据题意，总次数为45次，由此建立方程． 【详解】解：设有名运动员，每名运动员需与其他名运动员握手，共产生次握手．由于每对握手被计算了两次，实际总握手次数为． 根据题意，总次数为45次，因此方程为； 故选C． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）为进一步贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，丰富中学生的课余文化生活，释放青春能量，打造团队协作精神．利川市教育局组织一次中学生男子足球赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，弄清比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 根据等量关系，球队数与每支球队需赛的场数的积的一半等于总场数，然后把相关数值代入即可解答． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川简阳·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 4．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 【经典例题十一 其他问题】 【例11】（2025·福建厦门·模拟预测）甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张，求甲乙同学的纪念卡数量． 【答案】甲同学收集了35张纪念卡，乙同学收集了10张纪念卡 【分析】设甲同学收集了张纪念卡，乙同学收集了张纪念卡，根据“甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲同学收集了张纪念卡，乙同学收集了张纪念卡， 根据题意得：， 解得：． 答：甲同学收集了35张纪念卡，乙同学收集了10张纪念卡． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了赠送礼物问题，解题关键是理解题意，本题根据每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，那么x人，每人都赠送了张，据此列出方程即可． 【详解】解：∵每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念， ∴ 故选：B ． 2．（2025·重庆·模拟预测）已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：． 若，则； 若，且，则满足的实数的值有6个； 关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。 以上说法中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得，而均为非负整数， 存在，所以，故不正确； 当时，有，与矛盾； 当时，有， ∴， ∴（舍）或， 当时，有，解得； 当时，有， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， 综上所述，满足条件的实数的值共有个，故不正确； ，且， 满足条件的值有以下情况： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 7 1 2 3 4 8 1 2 3 5 6 1 2 3 5 7 1 2 4 5 6 满足条件的不同多项式共有种，故正确， 综上可知：正确的个数为个， 故选：． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）在△PAB的AB边上任取一点C（异于A，B），连接PC，可以得到3个不同的三角形（如图①所示）；在△PAB的AB边上任取两点C，D（异于A，B），分别连接PC，PD，可以得到 个不同的三角形（如图②所示）；要得到15个不同的三角形，可以在△PAB的AB边上任取 个点（异于A，B），分别与点P连接即可． 【答案】 6 4 【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表述出图形规律，由前两个图可总结出规律当边上有个点时，则图中有三角形个数为：，问题随之得解． 【详解】 的边上有1个点时，则图①中有3个三角形：； 的边上有2个点时，则图②中有6个三角形：； 的边上有3个点时，则图③中有10个三角形：； ， 的边上有个点时，则图中有三角形个数为：， 令， 解得：（负值舍去）， 要得到15个不同的三角形，可以在的边上任取4个点）（异于点A，B）， 故答案为：6，4． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）综合实践： 【操作】如图①），边长为的两个完全相同的止方形纸片重叠放置，两个正方形的边互相垂直，阴影部分的两端长度均为，则阴影部分的面积为__________．（用含n的式子表示） 【探究应用】如图②，在边长为的方格纸中，每个小正方形的边长都是，现用边长为的正整数）的相同正方形纸片沿对角线方向覆盖方格纸直至下端C，且正方形纸片第一张的两条边分别在方格纸的边和上，从第二张开始，每张纸片向右、向下都平移． （1）根据不同的值，把需要的纸片的张数填在格中． 2 3 纸片张数（张） （2）根据表格，所需覆盖的纸片张数为_____________张．（用含n的式子表示） （3）设，方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积是否相等？如果相等求n的值，如果不相等说明理由 【答案】[操作]；[探究应用]（1）见详解；（2）；（3）方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形的规律及一元二次方程的应用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． [操作]：先计算正方形的面积，再计算重叠部分的面积，由此即可求解； [探究应用]： （1）根据图形，找出计算方法即可求解； （2）由计算找出规律即可； （3）被纸片所覆盖的面积是，未覆盖的面积是，若方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：[操作]： 由条件可知阴影部分的面积为， 故答案为：； [探究应用]： （1）当时，所需纸张数为：（张， 当时，所需纸张数为：（张，如图表示， 2 3 纸片张数（张 11 10 （2）根据题意，所需纸张数为（张， 方格的边长为， ， 故答案为：； （3）根据题意，被纸片所覆盖的面积是， 未覆盖的面积是， 若方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积相等， 则， 整理得：， 解得：， 要求是整数， 不符合题意， 方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积不相等． 【拓展训练一 图形问题综合】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，某会堂的座位分为前、后两区，前区第一排共有20个座位，往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区比前区多8排，设前区共有x排． (1)后区每排有________个座位；（用含x的代数式表示） (2)若后区一共有684个座位，则该会堂前区共有多少排？ 【答案】(1) (2)10排 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． （1）根据“往后每排共增加2个座位”列出代数式，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：后区每排的座位数为 ， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 解得， (舍去） 答：该会堂前区共有10排． 2．（24-25九年级上·广西桂林·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【分析】 （）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1） 解：根据道路的宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2） 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 3．（2025·四川宜宾·模拟预测）合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）34；（2）；（3）存在，第10个图形由114个棋子组成 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题． （1）观察得到每一个图形中的棋子数等于图形个数乘以比个数多1的数再加4，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】解：（1）∵由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ∴第5个图形中有个圆形棋子， 故答案为：34． （2）由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）存在，理由如下： 令， 解得，（舍去）． ∴存在，第10个图形由114个棋子组成． 【拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 【答案】(1) (2)过2秒或12秒 【分析】（1）根据点P的速度是，点Q的速度是，，，利用面积公式求解； （2）设经过秒的面积是面积的一半，则，， 进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用． 【详解】（1）解： 点P的速度是，点Q的速度是， 当时，，， ∵，， ∴，， ． （2）解：设经过秒的面积是面积的一半， 根据题意得：， 当 时如图： ， 整理得， 解得（舍去）或． 当时如图： ， 整理得， ，无解． 当时如图： ， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒，的面积是面积的一半． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 3．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，一元二次方程的应用， 对于（1），先根据菱形的性质求出，可确定时，两个点的位置，即可得出答案； 对于（2），先分别求出，再根据面积公式求出答案； 对于（3），分，，，四种情况，分别表示，再根据面积等于列出方程，求出解即可． 【详解】（1）∵四边形时菱形， ∴． 根据题意可知， 当时， 点M在上，点N在上， ∴，． 故答案为：，； （2）当时，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 无解； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）． 所以或或． 【拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以v米/秒的速度竖直向空中发射，经过t秒时，物体距离地面的高度（米），（其中）根据这个规律，若发射的速度米/秒时，问： (1)经过多少秒时，物体距离地面的高度是490米？ (2)求物体落回地面所需要的时间． 【答案】(1)10秒 (2)20秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）把代入得关于t的方程，解方程求出答案即可； （2）由题意可知，再把把代入得关于t的方程，解方程求出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， ， ， ， ∴， ∴经过10秒时，物体距离地面的高度是490米； （2）解：由题意得， 把代入得： ， ， ， 或， 解得：（不合题意舍去） ∴物体落回地面所需要的时间为20秒． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【答案】(1)28 (2) (3) 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析；（2）前行的点数之和为；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 1．（24-25九年级上·四川资阳·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，按照题意找到正确的等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意，每轮传染中平均一个人传染了人，经过两轮传染后共有人患了流感，列出关于的一元二次方程，解方程，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 每轮传染中平均一个人传染了人， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润销售数量每一袋粽子的利润”列式子即可． 【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋， ∴超市每天售出此种粽子的利润． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是关键． 4．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）如图，公园中有一块长为，宽为的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．设通道的宽为，根据矩形草坪的面积，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（   ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：当运动时间为秒时，，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故选：B． 6．（24-25九年级上·四川乐山 ·期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛． 故答案为：8． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 8．（2025·重庆·模拟预测）某企业五月份厨余垃圾的月加工处理量为800吨，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，厨余垃圾的月加工处理量提高到968吨．若月加工处理量的平均增长率相同，设平均增长率为，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用平均增长率问题，理解并掌握平均增长率公式是解题的关键．根据平均增长率公式，设平均增长率为，结合题意即可得解． 【详解】解：设平均增长率为，依题意得， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我们对一个四边形顶点和边都赋给一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相减叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图：四边形的对边值为、对角值为．现在有一四边形特征值如下图，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为 ．    【答案】1或 【分析】根据题意可得，求得四边形的对边值和对角值，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：由题意可得：四边形的对边值为： 对角值为： 由题意可得：，即 解得或 故答案为：1或 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程． 10．（2025七年级·四川眉山·模拟预测）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    【答案】或18 【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米， ①当在上时， 有厘米，厘米，厘米， ， ，即， 整理得，解得（不合题意，舍去），． ②当在上时， 则厘米，厘米， ， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或18． 故答案为：或18． 11．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 12．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为岁 【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可． 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得： ， 解得，， 当时，，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， 答：周瑜去世时的年龄为岁． 【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键． 13．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 14．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)场地的宽为8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，依题意， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 握手循环赛问题 题型十一 其他问题 拓展训练一 图形问题综合 拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（2025·四川遂宁·模拟预测）某超市销售一种牛奶，原价每箱元，连续两次降价后每箱元．若每次下降的百分率相同，都是，则得到方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川资阳·期中）某商场对一种商品作调价，按原价的8折销售的售价为88元，则商品原价是（　　　） A．100元 B．110元 C．70.4元 D．120元 2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 ． 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 1．（2025·四川简阳·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 3．（24-25九年级上·四川眉山·随堂练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）其公司前年缴税万元，今年缴税万元，该公司这两年缴税的年均增长率为多少？ 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）随着新能源的日益普及，某校教工去年拥有电车144辆，预计明年将达到225辆．设该校电车数量的平均年增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川简阳·期中）为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年8月份改造绿化面积为，到了今年10月份增加到，假设改造绿化面积月平均增长率都相同，则月增长率为 ． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）某工厂引进了1条生产线，开工第一天生产300个，第三天生产432个，若每天生产产品的个数增长的百分率相同．请解答下列问题： (1)每天增长的百分率是多少？ (2)经调查发现，一条生产线最大产能是900个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天． ①现该厂要保证每天生产产品3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产量9000个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），求的长．     1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了而长减少了，那么面积增加，设长方形原来的宽为，所列方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）如图，某校准备对校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，则原正方形空地的边长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，要建一个面积为的仓库，仓库的一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现有能围成长的木板，仓库的长和宽分别为 m与 m． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 1．（2025·四川遂宁·模拟预测）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁． 4．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 个位置相邻的 个数（如 ），若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和是多少？ 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 1．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ． 4．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 如图是某农户承包的一块矩形果园的平面图，长300米，宽200米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路等宽，左右两条纵向道路等宽，且横向道路宽度是纵向道路的宽度的2倍，中间部分种植水果，已知道路的路面造价是50元/米，由于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米    素材2 该农户发现某种草莓销售前景不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知草莓销售平均利润为100元/米，果园承包费为25万元/年，期间需一次性投入33万元购进新苗，养护、施肥、运输等其余费用25万元/年 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响 （1）设纵向道路宽度为x米，则x的取值范围为 ； （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求请说明理由 任务2 解决果园预期利润问题 （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元么？请说明理由（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 3．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，中，，，，点从沿边向点以的速度移动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度移动，在点停止．    (1)如果点，分别从、同时出发，经过几秒钟，使？ (2)如果点从点先出发，点再从点出发，点出发几秒钟后？ (3)如果点、分别从、同时出发，经过几秒钟后？ 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2025·四川内江·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 1．（2025·四川资阳·模拟预测）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．   2．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 4．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·陕西汉中·模拟预测）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川内江·期末）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s. 4．（2025·四川成都·模拟预测）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    1．（24-25九年级上·四川眉山·课后作业）一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？(结果保留根号) 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 3．（24-25九年级上·四川眉山·单元测试）已知：p为实数. p k q … … … 3 16×3＋26 2×2×6 4 16×4＋26 2×3×7 5 16×5＋26 2×4×8 6 16×6＋26 2×5×9 7 16×7＋26 2×6×10 … … … 根据上表中的规律，回答下列问题： (1)当p为何值时，k＝38? (2)当p为何值时，k与q的值相等？ 4．（2025·四川宜宾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【经典例题十 握手循环赛问题】 【例10】（24-25九年级上·四川内江·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 1．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）为进一步贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，丰富中学生的课余文化生活，释放青春能量，打造团队协作精神．利川市教育局组织一次中学生男子足球赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川简阳·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 4．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【经典例题十一 其他问题】 【例11】（2025·福建厦门·模拟预测）甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张，求甲乙同学的纪念卡数量． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：． 若，则； 若，且，则满足的实数的值有6个； 关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。 以上说法中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）在△PAB的AB边上任取一点C（异于A，B），连接PC，可以得到3个不同的三角形（如图①所示）；在△PAB的AB边上任取两点C，D（异于A，B），分别连接PC，PD，可以得到 个不同的三角形（如图②所示）；要得到15个不同的三角形，可以在△PAB的AB边上任取 个点（异于A，B），分别与点P连接即可． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）综合实践： 【操作】如图①），边长为的两个完全相同的止方形纸片重叠放置，两个正方形的边互相垂直，阴影部分的两端长度均为，则阴影部分的面积为__________．（用含n的式子表示） 【探究应用】如图②，在边长为的方格纸中，每个小正方形的边长都是，现用边长为的正整数）的相同正方形纸片沿对角线方向覆盖方格纸直至下端C，且正方形纸片第一张的两条边分别在方格纸的边和上，从第二张开始，每张纸片向右、向下都平移． （1）根据不同的值，把需要的纸片的张数填在格中． 2 3 纸片张数（张） （2）根据表格，所需覆盖的纸片张数为_____________张．（用含n的式子表示） （3）设，方格纸被纸片所覆盖的面积与未覆盖的面积是否相等？如果相等求n的值，如果不相等说明理由 【拓展训练一 图形问题综合】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，某会堂的座位分为前、后两区，前区第一排共有20个座位，往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区比前区多8排，设前区共有x排． (1)后区每排有________个座位；（用含x的代数式表示） (2)若后区一共有684个座位，则该会堂前区共有多少排？ 2．（24-25九年级上·广西桂林·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 3．（2025·四川宜宾·模拟预测）合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 3．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 【拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以v米/秒的速度竖直向空中发射，经过t秒时，物体距离地面的高度（米），（其中）根据这个规律，若发射的速度米/秒时，问： (1)经过多少秒时，物体距离地面的高度是490米？ (2)求物体落回地面所需要的时间． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 1．（24-25九年级上·四川资阳·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）如图，公园中有一块长为，宽为的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（   ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 6．（24-25九年级上·四川乐山 ·期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 8．（2025·重庆·模拟预测）某企业五月份厨余垃圾的月加工处理量为800吨，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，厨余垃圾的月加工处理量提高到968吨．若月加工处理量的平均增长率相同，设平均增长率为，可列方程为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我们对一个四边形顶点和边都赋给一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相减叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图：四边形的对边值为、对角值为．现在有一四边形特征值如下图，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为 ．    10．（2025七年级·四川眉山·模拟预测）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    11．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 12．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 13．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 14．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$