15.3.1《平行四边形的性质》——对角线的性质同步 课件 2024-2025学年北京版数学八年级下册

15.3.1平行四边形的性质 ——对角线的性质 学习目标 掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. □ABCD 有几条对角线?他们分别是？ A B C D O OA与OC,OB与OD有什么关系? 猜一猜： 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么? 上节课我们研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B C D O 边： 角： 平行四边形的性质 对边相等且平行. 对角相等，邻角互补. A B C D O 如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系? 猜一猜 OA = OC，OB = OD 平行四边形的对角线的性质 这个结论正确吗？证明看看！ 度量法 A B C D O 5.5 cm 5.5 cm 7.5 cm 7.5 cm 剪拼法 A B C D ( C ) ( A ) ( D ) OA = OC， OB = OD OA = OC， OB = OD O 动手操作 证一证 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA = OC，OB = OD. A C D B O 3 2 4 1 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 几何语言： ∵□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴ OA = OC，OB = OD. 要点归纳 例1 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.AC=6，BD=10， CD=4.8，试求△COD和△AOD的周长. A C D B O 试比较△COD和△AOD的周长，谁的周长长，长多少. 周长差=相邻边长差 它们的面积有什么关系. 面积相等 例.在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AC BC且AB=10cm，AC=6cm，则OB= . 变式1：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ，BC=15，OC=6，则 BOC的面积为 变式2：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=10，则边AB的长可以是（ ） A、1 B、8 C、10 D、12 例2: 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF. 求证:BE=DF. 变式：如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作 直线EF,分别交BC,AD于点E，F.求证：OE=OF. O A B C D E F ● ● 证明：∵在 ABCD中 ∴AD∥BC.(平行四边形对边平行） ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AO=CO(平行四边形对角线互相平分） ∴△AOF≌△COE（AAS）∴OE=OF 3（ ）4 2（ ）1 思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? 拓展：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边相交，得到线段总相等。 变式： 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长． 例2 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF, 分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. A B C D F E O 思考：改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? 变式：如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF, 分别交AB,CD于点E，F.若AD=4，AB=5，OF=1.5. 求：四边形FEBC的周长. A B C D F E O 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 总结 A B D O E F A B C D O E F C A B C D O E F 思考 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 同议一议2 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等. 如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠ADB＝90°，OA = 6，OB = 3，求 AD 和 AC 的长. 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD = 3， AC = 2 OA = 12． ∵ ∠ADB＝90°， ∴ 在 Rt△ADO 中， 做一做 平行四边形 性质 对角线互相平分 对边相等且平行 边 ___________________ 角 ____________________ 对角线 _____________________ 对角相等，相邻两角互补 1. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC + BD = 16，CD = 6，则△ABO 的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 B B C D A O 2. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形 D 3. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC，求 BC、CD、AC、OA 的长. 8 10 B C D A O 解： ∴ △ABC 是直角三角形. 又∵ AC⊥BC， ∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10. 又∵ OA = OC， ∴ ∴ ？ ？ ？ ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 1.若▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，则S▱ABCD＝ ． 课堂练习 B C D A O 2. 如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线 a 的取值范围是 ． B C D A O 3. 若□ABCD的周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4， 则边AB＝ ，BC＝ ． $$