第十四章 全等三角形--用角平分线构造全等三角形 专题练 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第14章 全等三角形--用角平分线构造全等三角形 专题练 2025-2026学年上期初中数学人教版（2024）八年级上册 1．如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．    2．如图，已知点P在内，点D，E分别在边，上．若，且，问：点P是否在的平分线上？试证明你的结论． 3．如图，在中，，为角平分线，P为上任意一点，连接，，求证：．    4．如图，已知点C是的平分线上一点，于E，B、D分别在AM、AN上，且．问：和有何数量关系？并说明理由． 5．如图，在中，AD平分，于点E．求证：． 6．如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    7．如图，在中，，于点，平分，交于点，为上一点，且，求证：. 8．如图，在中，，，是一条角平分线. 求证：. 9．如图，在中，，，分别平分，，且交于点.    (1)求的度数； (2)求证：. 10．如图，为的中线，，分别是和的角平分线．求证：． 11．如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 12．如图，在四边形中，，，平分，于点．求证：    (1)； (2)． 13．如图，，，，，交于点，连接.求证：    (1)； (2)平分. 参考答案 1．见解析 【分析】作，的延长线，根据条件证明即可得，从而证明． 【详解】解：如图，作，的延长线，垂足分别为E，F，    ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在的平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的判定， 掌握角平分线的判定定理和全等三角形的判定与性质是关键． 2．点P在的平分线上，证明见解析 【分析】过点P作于F，作于G，根据题意及各角的等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用角平分线的性质即可证明． 【详解】答：点P在的平分线上． 证明：如图，过点P作于F，作于G，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，， ∴点P在的平分线上． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 3．见解析 【分析】在上取一点E，使，连接，可证，利用全等三角形的性质结合三角形的三边关系即可求证． 【详解】证明：在上取一点E，使，连接，    ∵为角平分线，∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．以角平分线构造全等三角形是解题关键． 4．∠1与∠2互补，理由见解析 【分析】作CF⊥AN于F，证明Rt△ACF≌Rt△ACE得到AF=AE，再证明△DFC≌△BEC，得到AF=AE，由已知条件从而证得． 【详解】解：∠1与∠2互补，理由是： 如图，作CF⊥AN于F， ∵∠3=∠4，CE⊥AM， ∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AF=AE， ∵AE=（AD+AB）=（AF-DF+AE+EB）=AE+（BE-DF）， ∴BE-DF=0， ∴BE=DF， ∴△DFC≌△BEC（SAS）， ∴∠5=∠2， ∵∠1+∠5=180°， ∴∠1+∠2=180°． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线性质，作辅助线得到三角形全等，并利用已知条件来求解是解题的关键． 5．证明见解析. 【分析】延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可． 【详解】证明：延长CE交AB于F， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠AEF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠CAE， 在△FAE和△CAE中， ∵ ， ∴△FAE≌△CAE（ASA）， ∴∠ACE＝∠AFC， ∵∠AFC＝∠B＋∠ECD， ∴∠ACE＝∠B＋∠ECD． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE． 6．见解析 【分析】延长，并交于，证，推出，证推出即可． 【详解】证明：延长，并交于，   平分，， ，， 在和中 ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，添加辅助线构造全等三角形是关键． 7．见解析 【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据等角的余角相等可得，等量代换得出，即可得证． 【详解】证明：平分， . 在和中， ， . 中，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 8．证明见解析 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出，，求出∠B＝45°，推出DE＝BE＝CD，即可得出结论． 【详解】 证明：过作. ∵平分，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线性质、等腰直角三角形的性质等知识，作辅助线求出DE＝BE＝CD和AE＝AC是解题的关键． 9．(1) (2)见解析 【分析】（1），，分别平分，得，即可得到的度数； （2）在上截取，连接.先证明，得到.由（1）知，则，再证明，则，即可得到结论. 【详解】（1）解：，，分别平分， ， . （2）证明：如图，在上截取，连接.   平分， . 在和中， ， . 由（1）知， ， . 平分， . 在和中， ， ， . 【点睛】此题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键. 10．见解析 【分析】根据中线的定义可得，在上截取，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，同理证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边证明． 【详解】证明：在上截取，连接，． ∵是边上的中线， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴．同理， ∴． 在中，∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线构造出全等三角形并把、、的长度转化为同一个三角形的三边是解题的关键． 11．PC与PD相等．理由见解析 【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE=PF，只需再证∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证． 【详解】PC与PD相等．理由如下： 过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F． ∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF=90°， ∴∠EPC+∠CPF=90°， 又∵∠CPD=90°， ∴∠CPF+∠FPD=90°， ∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF． 在△PCE与△PDF中， ∵， ∴△PCE≌△PDF（ASA）， ∴PC=PD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点，由角平分线的性质得到，证明，得到，由，即可证明； （2）证明，得到，由，得到，再根据线段之间的关系证明，即． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ；    （2）证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由得，再由，，利用，即可判定； （2）首先作于点，于点，由，可得，即可证得平分． 【详解】（1）证明：， 在和中， （2）证明：如图：过点作于点，于点    ， 在和中， ， 又，， 平分 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及角平分线的判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的做法，注意掌握数形结合思想的应用，解题关键是证明三角形全等． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$