精品解析：内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗第六中学2024-2025学年下学期八年级数学第一次阶段性测试题

2024-2025学年八年级数学第一次月考试卷 （时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题（共8小题每小题3分，计24分每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列根式是最简二次根式的是　　 A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 5. 下列线段不能组成直角三角形的是( )． A. a＝6，b＝8，c＝10 B. a=1，b=，c= C. a=，b=1，c= D. a=2，b=3，c= 6. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 7. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A B. C. D. 8. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________． 10. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．． 11. 若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ___________． 12. 当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是_____． 13. 如图，在中，，，，是边 上中线，则的面积是________． 14. 已知最简二次根式与可以合并，则值是________． 15. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_______． 16. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，如果，，那么线段的长度是__________． 三、解答题（共6小题，52分） 17. 计算 （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm,忽见 它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm(如图).请问：水深多少？ 20. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由． 21 阅读方框中内容后，求： ； ； （1）______． （2）（为正整数）_______． （3）计算： 22. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级数学第一次月考试卷 （时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题（共8小题每小题3分，计24分每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列根式是最简二次根式的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A．，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.是最简二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6， ∴S△=， 大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13， 所以大正方形的边长为． 故选B． 【点睛】本题考查勾股弦图应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键． 5. 下列线段不能组成直角三角形是( )． A. a＝6，b＝8，c＝10 B. a=1，b=，c= C. a=，b=1，c= D. a=2，b=3，c= 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵62＋82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项错误； B、∵12＋（）2＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误； C、∵（）2＋12＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误； D、∵22＋（）2≠32，∴不能组成直角三角形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 6. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800， 因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000. 所以6002+8002=10002. 所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°. 故选C. 7. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 8. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8， ∴BC=8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形， ∴CE=8﹣3=5， 在Rt△CEF中，CF==4， 设AB=x， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2， 即（x+4）2=x2+82， 解得x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解． 二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 10. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果． 【详解】解：依据题意可得：， ， 少走了， 2步为1米， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键． 11. 若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ___________． 【答案】或##或2 【解析】 【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性，结合非负数和为零成立的条件得出，的值，再根据勾股定理分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，且， ∴，， 当，是两直角边长时，则该直角三角形的斜边长； 由于，当是斜边长时，则该直角三角形的斜边长为； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理以及非负数和为零成立的条件是解题的关键． 12. 当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】将原式化为x2+2x+1+1的形式并运用完全平方公式进行求解. 【详解】解：原式=(x+1)2+1=(﹣1+1)2+1=23+1=24， 故答案为24. 【点睛】观察并合理使用因式分解的相关公式可以大大简化计算过程. 13. 如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，先根据勾股定理求得，进而求得，根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边 上的中线，则的面积是， 故答案为：． 14. 已知最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的含义，同类二次根式的含义．根据最简二次根式的定义，同类二次根式的含义可得，再进一步求解即可； 【详解】解：∵最简二次根式与可以进行合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、利用二次根式的性质化简、整式的加减．先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：， 则 ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，如果，，那么线段的长度是__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由作法得，利用勾股定理计算出，然后利用面积法求的长． 【解答】解：由作法得， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键． 三、解答题（共6小题，52分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘方，乘法，除法运算，再计算加减运算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，则． 19. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm,忽见 它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm(如图).请问：水深多少？ 【答案】水深为75cm 【解析】 【详解】试题分析：设水深为，则荷花的高 因风吹花朵齐及水面，且水平距离为40cm，那么水深与水平40组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 试题解析：设水深为h，则荷花的高h+10，且水平距离为40cm， 则 解得h=75 答：水深75cm. 20. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由． 【答案】△AEF是直角三角形；理由见解析． 【解析】 【分析】依据正方形的边长为4，E是BC的中点，CF＝1，即可得到DF＝3，CE＝BE＝2．再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论． 【详解】解：△AEF是直角三角形． 理由：∵正方形的边长为4，E是BC的中点，CF＝1， ∴DF＝3，CE＝BE＝2． 由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝16+9＝25， EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5， AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20， ∴AF2＝EF2+AE2， ∴△AEF为直角三角形． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的根据是熟知正方形的性质及勾股定理的运用． 21. 阅读方框中内容后，求： ； ； （1）______． （2）（为正整数）_______． （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出， （3）结合规律，化简原式，再进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， …， ， 故答案为： 【小问3详解】 解：由（2）得 ∴ ． 22. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为3 【解析】 【分析】（1）根据平分，证明，最后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理列出方程，求出x的值即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点D作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，根据勾股定理列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $