14.3 角的平分线 跟踪练习 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

14.3 角的平分线 跟踪练习 2025-2026学年 上期初中数学人教版（2024）八年级上册 一、单选题 1．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 7．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F，若，，，则的长为（ ） A． B．4 C．5 D．6 8．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 10、15、20， 其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO： S△CAO等于 A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5 10．如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线 上一点，，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 12．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为 ． 14．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数是 .    15．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为 ． 16．如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 17．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，点到的距离是6，则的长是 ．    18．已知四边形，，，，，，，则四边形的面积是 ．    三、解答题 19．已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 20．如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 21．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F，G． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）求证：DF＝DG． 22．【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 23．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC． 试说明： (1)△ACE≌△DCB． (2)PC平分∠APB． 24．感知：如图，平分，，，易知：． 探究：（1）如图，平分，，，求证：． 应用：（2）在图中平分，如果，，，，则______．    参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B A C A C C B 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 2．D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得边上的高，再由，即可得解． 【详解】解：作于F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．B 【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 5．A 【分析】过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴， ∴， 解得， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 7．A 【分析】首先由角平分线的性质可知，然后由及三角形的面积公式得出结果． 【详解】解：∵是中的平分线，于点E，交于点F， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是解题关键． 8．C 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离． 【详解】如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA. ∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD ∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12 OD=3 故选：C 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键． 9．C 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是10，15，20，所以面积之比就是2：3：4． 【详解】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三条角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝(AB•OE)：(BC•OF)：(AC•OD)＝AB：BC：AC＝10：15：20=2：3：4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 10．B 【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值． 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 11．B 【分析】作于E，角平分线上的点到两边距离相等即，即可求得的面积． 【详解】解：作于E，如图所示： ∵射线是的角平分线，，， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质等知识内容，正确作辅助线是解题的关键． 12．D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 13．27 【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积． 【详解】如图，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE=OF=3， ∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB =AB•OD+AC•OE+BC•OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27， 故答案为27． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键． 14．/度 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，进而得出，然后根据三角形外角和的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形外角和的性质，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 15．12 【分析】本题考查角平分线的性质，先根据角平分线的性质得出，再将的周长转化为，即可得出答案． 【详解】∵平分，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12 16．33 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别平分和， ∴点O到的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 17．15 【分析】根据作图过程得出平分，根据角平分线的性质得出，再根据已知线段之比求出，继而可得结果． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，点到的距离是6， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15．    【点睛】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质的运用，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 18．21 【分析】如图，作交的延长线于H，作交的延长线于F，作于E．首先证明，利用面积法求出，即可解决问题． 【详解】解：作交的延长线于H，作交的延长线于F，作于E．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则有：， ∴， ∴， ∴， 故答案为21． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 19．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 20．(1)， (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴，. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）平分； 理由：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分. 21．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据BD是∠ABC的平分线，可得，进而根据边角边证明即可； （2）由(1)得，从而，由，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得． 【详解】（1） BD是∠ABC的平分线， ， 在与中， ， （2） ， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键． 22．（1）122；（2）证明见详解；（3）①，理由见解析；②理由见解析. 【分析】（1）根据三角形内角和为和角平分线的定义，可得，再利用三角形内角和，即可求得的大小； （2）根据根据三角形内角和为和角平分线的定义，可表达出，再用同样的方法表达出，即可证明； （3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论. 【详解】（1）在中，平分平分 . （2）平分、平分， ，，          在中， ， 平分， ， ，， ， . （3）①与相平行， 平分， ， 又， ， . ② ， . 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题. 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证∠ACE＝∠DCB，再由SAS证明△ACE≌△DCB即可； （2）由全等三角形的性质得AE＝BD， ，再由全等三角形的面积相等得CH＝CG，然后由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE＝∠DCE+∠BCE， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）； （2）解：如图，过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G， 由（1）可知，△ACE≌△DCB， ∴AE＝BD，， ∴AE和BD边上的高相等，即CH＝CG， ∴∠APC＝∠BPC， ∴PC平分∠APB． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）5． 【分析】探究：欲证明，只要证明≌即可． 应用：由直角三角形的性质可求，由“”可证≌，可得，即可求解． 【详解】探究：证明：如图中，作于，于，   平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ． 应用： 如图中，   ，，， ． ， ≌， ， ，，， ≌ ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$