精品解析：重庆市江津区大桥学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

重庆市江津区大桥学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意相似三角形的相似比等于对应高的比．由于，那么，于是，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， 解得． 故选：A． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 5 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 将点代入，得，解方程即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 故选：． 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质及三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 6. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的除法进行计算，然后估算的大小即可求解 【详解】解：∵， ∴ 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：； 第3个图中有13个正方形，可以写成：； 第4个图中有17个正方形，可以写成：； 第n个图中有正方形，可以写成：； 当时，代入得：． 故选：A． 8. 如图，在中，，以点C为圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点E，F，过点F作于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 过点作于，连接，可得，，再证明，即可求证是等边三角形，然后求得，然后利用扇形面积减去梯形面积，即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，如图： ∵四边形是平行四边形，， ∴， ， ∵，，， ∴， ，， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10. 已知整式M：，其中，，，，，均为自然数，若，．则下列说法： ①若，，则所有可能的取值有4个； ②若p，q满足方程，且，则满足条件的不同整式有12个； ③若，当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若，且，则p存在最大值为25 其中，正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质： ①根据， ，，，均为自然数，可知最大为； ②将变形，可得，可得的最小取值，可得只能表示为，且，，进而可判断该说法正误； ③由题意得，进而可求得，得到，为正整数，根据二次函数的性质，可知当时，随着增大，逐渐减小． 【详解】∵， ，，，均为自然数， ∴最大为． ∴可取，，，，所有可能的取值有4个． 说法①正确． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴只能表示为，且，． ∴，． ∴，可能的组合为，或者，或者，，共三种组合；，，，可能的组合为，，，或者，，，或者，，，，共三种组合． ∴满足条件的不同整式有：(个)． 说法②错误． 由题意得． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴的对称轴为． ∵，为自然数，不为， ∴为正整数． ∵，当时，随着增大，逐渐减小， ∴当时，可以取得最大值． 说法③正确． 综上所述，说法正确的为①③． 故选：B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是：， 故答案为：18． 12. 不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及用概率公式求概率，掌握以上知识点是解答本题的关键． 画出树状图得到种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果数为， 所以摸出的两个球颜色不同的概率， 故答案为：． 13. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 14. 若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解分式方程得到，根据分式方程的解无解和分式有意义的条件求出且，再分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出，据此确定a的取值范围，从而确定符合题意的整数a，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴且， ∴且； 解，得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：9． 15. 如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则_________，____________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．连接，由垂径定理和勾股定理即可求出长；连接，分别证明，，，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，； 如图，连接， 在中，． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：8，． 16. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 【答案】 ①. 91 ②. 819 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出一次方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题． 【详解】解：∵整数（其中，且为整数）是“大吉数”， ∴能被13整除； ∵， ∴能被13整除， ∴， ∴， ∴； ∵，是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴，能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴当时，，此时， 当时，不存在满足条件； 当时，不存在满足条件； 当时，，此时， 综上：或， ∴或； ∴或； ∴的最大值为819． 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）计算：； （3）化简：． （4）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），． 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算 、二次根式、整式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先运用有理数乘方、二次根式的性质、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先运用绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （3）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （4）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 当时，原式． 18. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点．（要求：只保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：且． 证明：四边形为平行四边形，且 ① ，，同理可得， ， ② 又，，同理可得， ③ ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④ ． 【答案】（1） 如图，点E即为所作； （2）①；②；③；④平行且相等 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可解题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后得到结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了提高学生防毒禁毒意识，某中学住八、九年龄开展了防毒禁毒知识竞赛，现从八、九年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数x表示，共分为四个等级： A等：、B等：、C等：、D等：．其中A等级为优秀，单位：分） 八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的． 九年级抽取的B等学生成绩为：81，83，84，84，86，88，88，88，88． 八年级所抽学生竞赛成绩条形统计图 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 85 85 中位数 82 b 众数 86 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______，补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若读校八年级有900人，九年级有1200人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）20，85，10 （2）九年级学生的成绩更好，因为九年级的优秀率高于八年级的优秀率（答案不唯一）． （3）390人 【解析】 【分析】（1）用九年级B等学生除以占比即可求出，根据八年级B和D等分别有8和4人，以及八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的即可就出八年级A和C等人数，继而补全条形统计图，那么八年级的优秀率用人数除以总数即可求解，再根据众数和中位数的定义求解b； （2）答案不唯一，结合中位数、平均数、众数以及优秀率均可给出决策； （3）由八年级和九年级的总数分别乘以优秀率，再相加即可． 【小问1详解】 解：九年级B等学生有9人 ∴， ∵八年级B和D等分别有8和4人， ∴八年级A和C等共有人， ∵八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的， ∴A等学生人数有人， 则C等学生人数6人， 则补全统计图为： ∴八年级的优秀率为：， ∴， ∴九年级的优秀学生有：人，即有5人， ∵九年级抽取的B等学生成绩为：81，83，84，84，86，88，88，88，88，而众数为88， 则按照从大到小排列九年级学生成绩，则成绩为88，88，88，88的学生名次为第6，7，8，9名，第10名为86分，第11名为84分， ∵九年级为20名学生， ∴中位数为第10，11名学生的成绩的平均数， ∴中位数为：， ∴， 故答案为：20，85，10； 【小问2详解】 解：九年级学生的成绩更好，因为九年级的优秀率高于八年级的优秀率（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：由题意得：人， 答：两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数有390人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，画条形统计图，样本估计总体、中位数，运用中位数作决策等内容，难度适中，是常考题，正确掌握中位数的定义是解题的关键． 20. 江津区紫金天街某家江津特产店推出了“原味”和“椒盐味”两款特色米花糖． （1）购买1袋“原味”米花糖和1袋“椒盐味”米花糖需要37元，购买1袋“原味”米花糖和2袋“椒盐味”米花糖需要54元，求每袋“原味”米花糖和“椒盐味”米花糖的单价分别为多少元？ （2）五一节当天，该店进行促销活动，将每袋“原味”米花糖的单价降低了元，每袋“椒盐味”米花糖单价降低了元，节日当天“原味”米花糖的销量是“椒盐味”米花糖销量的倍，且“原味”米花糖的销售额为960元，“椒盐味”米花糖的销售额为750元，求的值． 【答案】（1）“原味”米花糖的单价为20元，“椒盐味”米花糖的单价为17元． （2）a的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用等知识点，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设每袋“原味”米花糖和“椒盐味”米花糖的单价分别为x、y元，再根据等量关系“购买1袋“原味”米花糖和1袋“椒盐味”米花糖需要37元”和“购买1袋“原味”米花糖和2袋“椒盐味”米花糖需要54元”列出方程组求解即可； （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“当天“原味”米花糖的销量是“椒盐味”米花糖销量的倍”列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每袋“原味”米花糖和“椒盐味”米花糖的单价分别为x、y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：“原味”米花糖的单价为20元，“椒盐味”米花糖的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ，解得：． 经检验，是方程的解且符合题意， ∴a的值为2． 21. 如图1，在中，，，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画出函数，的图象如图， 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出，易证，即得出，代入数据即可求出关于x的函数表达式；分别求出和，再作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴，即． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知与相交于点， ∴当时，的图象在的图象上方， ∴时x的取值范围为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识．根据三角形相似的判定和性质正确求出，分别关于x的函数表达式是解题关键． 22. 周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到景点的距离。（结果保留根号） （2）小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数） 【答案】（1）米 （2）小宏 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，方位角的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过作于，过作于，根据，求出结果即可； （2）分别求出小宏所用时间（秒），小帆所用时间（秒），然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：过作于，过作于，如图所示： 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 答：景点D到景点的距离为米． 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为矩形 ， 在中，， ， ， ∴， 在中，， ， ∴， ， 小宏：（秒）， 小帆：（秒）， ， 小宏先到达景点． 答：小宏先到达景点． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在直线下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）存在，点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点、的坐标代入抛物线得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）延长交于点，根据直角三角形的三角函数值可得 ，设，则，，则，当时，，即可得出答案； （3）先求出平移后的函数解析式，在上截取一点，使，过点作交于点，过点作轴交于点，分别求出，，则，再由，可得，设，由，求解后可得点的横坐标；点关于轴对称时，，根据关于轴对称的点的坐标特征可得点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 延长交于点， ∵轴， ∴， ∵抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ∴， 当时，有最大值， 此时； 【小问3详解】 存在点，使得，理由如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， 又∵，， ∴，， ∴， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到新抛物线， ∴， 在上截取一点，使，过点作交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴点的坐标为，即，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为， 设点关于轴对称的点，则，此时点横坐标为， 综上所述：点的横坐标为或时，可使得． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中点坐标公式，三角形外角的定义及性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点． （1）如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长； （2）如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点F作交于H， ∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作交的延长线于H，分别求出求出的长，即可得到答案； （2）连接，过点F作交于H，证明， 则，证明是等腰直角三角形，得到，，证明， 则，由即可证明结论； （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，证明，则，设，则，在中，，，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，证明，则，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点E作交的延长线于H，如图1， ∵点D是的中点，且， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转得： ，， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的周长； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， 在中，， ， 当A、Q、G三点共线时， ，取得最大值， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市江津区大桥学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 3. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 4. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 5 C. D. 20 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 8. 如图，在中，，以点C为圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点E，F，过点F作于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中，，，，，均为自然数，若，．则下列说法： ①若，，则所有可能的取值有4个； ②若p，q满足方程，且，则满足条件的不同整式有12个； ③若，当时，该方程存在5个实数解记为，，，，，若，且，则p存在最大值为25 其中，正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 12. 不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为______． 13. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 14. 若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 15. 如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则_________，____________． 16. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）计算：； （3）化简：． （4）先化简，再求值：，其中 18. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点．（要求：只保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：且． 证明：四边形为平行四边形，且 ① ，，同理可得， ， ② 又，，同理可得， ③ ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④ ． 19. 为了提高学生防毒禁毒意识，某中学住八、九年龄开展了防毒禁毒知识竞赛，现从八、九年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数x表示，共分为四个等级： A等：、B等：、C等：、D等：．其中A等级为优秀，单位：分） 八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的． 九年级抽取的B等学生成绩为：81，83，84，84，86，88，88，88，88． 八年级所抽学生竞赛成绩条形统计图 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 85 85 中位数 82 b 众数 86 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______，补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若读校八年级有900人，九年级有1200人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 20. 江津区紫金天街某家江津特产店推出了“原味”和“椒盐味”两款特色米花糖． （1）购买1袋“原味”米花糖和1袋“椒盐味”米花糖需要37元，购买1袋“原味”米花糖和2袋“椒盐味”米花糖需要54元，求每袋“原味”米花糖和“椒盐味”米花糖的单价分别为多少元？ （2）五一节当天，该店进行促销活动，将每袋“原味”米花糖的单价降低了元，每袋“椒盐味”米花糖单价降低了元，节日当天“原味”米花糖的销量是“椒盐味”米花糖销量的倍，且“原味”米花糖的销售额为960元，“椒盐味”米花糖的销售额为750元，求的值． 21. 如图1，在中，，，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到景点的距离。（结果保留根号） （2）小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在直线下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 24. 已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点． （1）如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长； （2）如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $