4.3 一次函数的图象 暑假巩固练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 4.3 一次函数的图象 暑假巩固 一、正比例函数的图象与性质 1.正比例函数y＝x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 2.函数y＝kx（k＜0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 3.在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　） A. B. C. D. 4.如图，三个正比例函数的图象对应的表达式为：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，则a，b，c的大小关系是 　    　（用“＞”连接）． 5.正比例函数y＝x的图象平分第　    　象限． 6.已知函数y＝x；y＝﹣2x．y＝x，y＝3x． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　      　． 7.画出正比例函数y＝2x的图象． 二、一次函数图象与轴对称 1.在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），若直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，则△ABA′的面积是（　　） A.18 B.27 C.54 D.81 2.直线y＝2x﹣3关于x轴对称后得到直线（　　） A.y＝﹣2x﹣3 B.y＝2x+3 C.y＝2x﹣3 D.y＝﹣2x+3 3.如果将一次函数y＝x+b的图象关于y轴对称，所得的图象经过点（2，3），则b的值为（　　） A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5 4.如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是     　． 5.定义：在函数中，我们把关于x的一次函数y＝mx+n与y＝nx+m称为一组对称函数，如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2是一组对称函数．则y＝﹣6x+4的对称函数与y轴交点坐标 　    　． 6.（1）点（1，1）关于x轴对称的点的坐标是 　  　； （2）直线y＝x关于x轴对称的直线的解析式为 　    　； （3）求直线y＝kx+b关于x轴对称的直线的解析式． 7.因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．求函数y＝3x﹣2的“镜子”函数． 三、一次函数的性质 1.已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A. B. C. D. 2.关于一次函数y＝2x﹣3，下列说法不正确的是（　　） A.图象经过点（2，1） B.图象与x轴交于点（﹣3，0） C.图象不经过第二象限 D.函数值y随x的增大而增大 3.对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（　　） A.它的图象必经过点（1，3）   B.它的图象经过第一、二、四象限 C.当x＞0时，y＜0 D.y的值随x值的增大而增大 4.请写出一个过点（0，1），且y随着x的增大而减小的一次函数解析式 　   　． 5.已知正比例函数y＝（k+3）x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是　    　． 6.已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3， （1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 7.已知一次函数y＝mx﹣3m2+12，请按要求解答问题： （1）m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？ （2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数解析式； （3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求m的值． 四、一次函数图象的平移 1.在平面直角坐标系中，把一次函数y＝5x向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（　　） A.y＝5x+5 B.y＝5x﹣5 C.y＝﹣5x+5 D.y＝﹣5x﹣5 2.将函数y＝4x﹣1的图象向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为（　　） A.y＝4x﹣6 B.y＝4x+5 C.y＝4x+4 D.y＝4x 3.如图，直线与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿x轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 4.若将直线y＝3x+2向下平移5个单位长度，则平移后直线与y轴的交点坐标为 　    　． 5.直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 　    　． 6.在直角坐标系中，将直线y＝﹣x向下平移2个单位后经过点（a，2），求a的值． 7.已知函数y＝（2m+1）x+m﹣1的图象经过原点，将此函数图象向下平移3个单位． （1）求平移后的函数解析式； （2）请在如图所示的坐标系中画出平移后的函数图象，并指出此时函数y随着x的增大而　   　． 五、一次函数图象上点的坐标特征 1.下列点中，在函数y＝x﹣2的图象上的是（　　） A.（2，0） B.（0，2） C.（﹣2，0） D.（2，2） 2.下列各点中，不在函数y＝1﹣2x的图象上的是（　　） A.（1，﹣1） B.（0，1） C.（﹣1，0） D. 3.已知一次函数y＝x﹣1的图象经过点（m，2），则m的值为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知点A（1，a）和点B（﹣2，b）是一次函数y＝﹣x+c图象上的两点，则a 　　b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 5.如果点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上，那么m＝　  ． 6.如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求O点到直线AB的距离． 7.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”． （1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 　      　； （2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值． 六、利用一次函数的性质比较大小 1.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数y＝﹣2x+b的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定成立的是（　　） A.y1+y2＜0 B.y1+y2＞0 C.y1＜y2 D.y1＞y2 2.已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点（1，m）和（2，n），则下列比较m，n大小关系正确的是（　　） A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定 3.若点P（﹣3，a），Q（2，b）在直线y＝﹣3x+2的图象上，则a与b的大小关系是（　　） A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法比较大小 4.如图，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上，且x1＞x2，比较y1和y2的大小：　    　． 5.已知点（﹣4，y1），（2，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则用“＜”比较y1，y2，y3的值的大小关系为 　     　． 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标． （2）点M（﹣1，y1），N（3，y2）在该函数的图象上，比较y1与y2的大小． 7.已知直线y＝kx+b，若点C（m，n），点D（p，q）（其中m＜p）都在直线y＝kx+b上，且m+p＝2，n+q＝b2+4b+2，试比较n和q的大小，并说明理由． 七、一次函数的图象与坐标轴交点问题 1.一次函数y＝2x+3的图象与坐标轴的交点分别为A、B，点C，则△ABC的面积为（　　） A. B. C.6 D.3 2.直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A.3 B.4 C.6 D.12 3.如果直线y＝kx﹣4与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则k的值是（　　） A.2 B.±4 C.4 D.±2 4.如图，直线与坐标轴交于A，B两点，在x轴上有一点P，当△ABP是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是 　    　． 5.直线y＝﹣2x﹣5与坐标轴的交点坐标分别是      　． 6.如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B两点，点C在线段OA上，OC＝3AC，P为线段AB上的一点，连接PO，PC． （1）求AC的长； （2）当△BOP与△ACP面积相等时，求P的坐标． 7.已知一次函数y＝3﹣2x （1）求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在下面的直角坐标系中画出它的图象； （2）从图象看，y随着x的增大而增大，还是随x的增大而减小？ （3）x＝6时，求y的值？ 湘教版八年级下册 4.3 一次函数的图象 暑假巩固（参考答案） 一、正比例函数的图象与性质 1.正比例函数y＝x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限；当k<0时经过二、四象限，据此解答. ∵＞0， ∴正比例函数y＝x的图象经过第一、三象限，且靠近x轴， 故选：A． 2.函数y＝kx（k＜0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限；当k<0时经过二、四象限，据此解答. 函数y＝kx（k＜0）的图象经过二、四象限， 故选：C． 3.在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限；当k<0时经过二、四象限，据此解答． ∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴直线y＝kx经过原点和第二、四象限． 故选：C． 4.如图，三个正比例函数的图象对应的表达式为：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，则a，b，c的大小关系是 　    　（用“＞”连接）． 【答案】c＞b＞a． 【解析】利用特殊值法，借助函数的力象解答． 分别把x=1代入三个函数中得y=a，y=b，y=c，各函数对应的函数值如下图所示： 由图可知，c＞b＞a， 故答案为：c＞b＞a． 5.正比例函数y＝x的图象平分第　    　象限． 【答案】见试题解答内容 【解析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限；当k<0时经过二、四象限，据此解答． ∵k＝1>0， ∴一次函数y＝x的图象经过第一、三象限，且平分第一、三象限． 故答案为：一、三． 6.已知函数y＝x；y＝﹣2x．y＝x，y＝3x． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为　      　． 【答案】解：（1）令x＝1，则y＝x＝1，y＝-2x＝-2，y＝x＝，y＝3x＝3， ∴直线y＝x过原点和点（1，1）， 直线y＝-2x过原点和点（1，-2）， 直线y＝x过原点和点（1，）， 直线y＝3x过原点和点（1，3）， 分别画出函数图象如图所示： （2）观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的夹角越小． （3）由（2）规律可知，k1＞k2， 故答案为k1＞k2． 7.画出正比例函数y＝2x的图象． 【答案】解：（1）列表： （2）描点并连线如图所示． ． 二、一次函数图象与轴对称 1.在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），若直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，则△ABA′的面积是（　　） A.18 B.27 C.54 D.81 【答案】B 【解析】利用l1：与y轴交于点B（0，9），算出m的值，得到直线l1的解析式，算出l1与x轴的交点A，再根据直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，得到点A′的坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． ∵l1：与y轴交于点B（0，9）， ∴m2＝9， 解得m＝±3， 当m＝3时，直线l1：y＝3x+9， 当y＝0时，x＝﹣3，如图1， ∴A（﹣3，0）， ∵直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′， ∴A′（3，0）， ∴△ABA′的面积是， 当m＝﹣3时，直线l1：y＝﹣3x+9， 当y＝0时，x＝3，如图2， ∴A（3，0）， ∵直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′， ∴A′（﹣3，0）， ∴△ABA′的面积＝＝27． 故答案为：B． 2.直线y＝2x﹣3关于x轴对称后得到直线（　　） A.y＝﹣2x﹣3 B.y＝2x+3 C.y＝2x﹣3 D.y＝﹣2x+3 【答案】D 【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． ∵点(x，y)关于x轴对称的点为(x，-y) ∴直线y＝2x﹣3关于x轴对称的直线解析式是﹣y＝2x﹣3，即y＝﹣2x+3， 故选：D． 3.如果将一次函数y＝x+b的图象关于y轴对称，所得的图象经过点（2，3），则b的值为（　　） A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5 【答案】C 【解析】根据关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数得到y＝﹣x+b，把点（2，3）代入即可求得b的值． ∵将一次函数y＝x+b的图象关于y轴对称，所得的图象经过点（2，3）， ∴点（2，3）关于y轴的对称点（﹣2，3）在函数y＝x+b的图象上， ∴3＝﹣2+b， 解得b＝5， 故选：C． 4.如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是     　． 【答案】y＝x﹣1． 【解析】关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数． ∵关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是﹣y＝﹣x+1，即y＝x﹣1． 故答案为：y＝x﹣1． 5.定义：在函数中，我们把关于x的一次函数y＝mx+n与y＝nx+m称为一组对称函数，如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2是一组对称函数．则y＝﹣6x+4的对称函数与y轴交点坐标 　    　． 【答案】（0，﹣6）． 【解析】根据对称函数得出函数解析式，进而解答即可． 由对称函数的定义可得，y＝﹣6x+4的对称函数是y＝4x﹣6， 把x＝0代入y＝4x﹣6，可得：y＝﹣6， ∴y＝﹣6x+4的对称函数与y轴交点坐标为（0，﹣6）， 故答案为：（0，﹣6）． 6.（1）点（1，1）关于x轴对称的点的坐标是 　  　； （2）直线y＝x关于x轴对称的直线的解析式为 　    　； （3）求直线y＝kx+b关于x轴对称的直线的解析式． 【答案】解：（1）点（1，1）关于x轴对称的点的坐标是（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）； （2）直线y＝x经过点（1，1）， 这点关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣1）， ∴直线y＝x关于x轴对称的直线的解析式是y＝﹣x． 故答案为：y＝﹣x． （3）①若 k＝0，则直线 y＝kx+b即为y＝b，是一条过（0，b）且与x轴平行的直线， ∴它关于x轴对称的直线是过点 （0，﹣b） 且与x轴平行的直线，其解析式为y＝﹣b； ②若k≠0， ∵直线y＝kx+b与x轴、y轴的交点为 、B（0，b）， ∴直线 y＝kx+b关于x轴对称的直线过点 、B′（0，﹣b）． ∴所求的直线解析式为y＝﹣kx﹣b， ∴直线 y＝kx+b 关于x轴对称的直线解析式为y＝﹣kx﹣b． 7.因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．求函数y＝3x﹣2的“镜子”函数． 【答案】解：根据题意可得：函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：y＝﹣3x﹣2； 故答案为：y＝﹣3x﹣2； 三、一次函数的性质 1.已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用一次函数的性质进行判断． ∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小 ∴k＜0 又∵kb＜0 ∴b＞0 ∴此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：A． 2.关于一次函数y＝2x﹣3，下列说法不正确的是（　　） A.图象经过点（2，1） B.图象与x轴交于点（﹣3，0） C.图象不经过第二象限 D.函数值y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】根据一次函数的性质一一判断即可． A．当x＝2时，y＝2×2﹣3＝1， ∴一次函数y＝2x﹣3的图象过点（2，1），选项A正确，不符合题意； B．当y＝0时，2x﹣3＝0，解得：x＝， ∴一次函数y＝2x﹣3的图象与x轴交于点（，0），选项B不正确，符合题意； C．∵k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项C正确，不符合题意； D．∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 3.对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（　　） A.它的图象必经过点（1，3）   B.它的图象经过第一、二、四象限 C.当x＞0时，y＜0 D.y的值随x值的增大而增大 【答案】B 【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞0时，函数图象在y轴的左侧，y＜1，则可对C进行判断． A、当x＝1时，y＝﹣3x+1＝﹣2，则点（1，3）不在函数y＝﹣3x+1的图象上，所以A选项错误； B、k＝﹣3＜0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项正确； C、当x＞0时，y＜1，所以C选项错误； D、y随x的增大而减小，所以D选项错误． 故选：B． 4.请写出一个过点（0，1），且y随着x的增大而减小的一次函数解析式 　   　． 【答案】y＝﹣x+1． 【解析】根据一次函数的性质得k值小于0，令k＝﹣1，然后求解即可． 不妨设为y＝﹣x+b， ∵y随着x的增大而减小， ∴k＜0， 取k＝﹣1． ∵点（0，1）在一次函数图象上， ∴b＝1． 故答案为：y＝﹣x+1． 5.已知正比例函数y＝（k+3）x，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是　    　． 【答案】k＜﹣3． 【解析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+3＜0，然后解不等式即可． ∵正比例函数 y＝（k+3）x中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴k+3＜0， 解得，k＜﹣3； 故答案为：k＜﹣3． 6.已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3， （1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】解：（1）∵函数是正比例函数， ∴2m+1≠0，m﹣3＝0， 解得：m＝3； （2）根据y随x的增大而减小可得k＜0， 即2m+1＜0． 解得：m＜． 7.已知一次函数y＝mx﹣3m2+12，请按要求解答问题： （1）m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？ （2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数解析式； （3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求m的值． 【答案】解：（1）∵一次函数y＝mx﹣3m2+12，函数图象过原点，且y随x的增大而减小， ∴ 解得，m＝﹣2， 即当m＝﹣2时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小； （2）∵一次函数y＝mx﹣3m2+12，函数图象平行于直线y＝﹣x， ∴m＝﹣1， ∴﹣3m2+12＝﹣3×（﹣1）2+12＝9， ∴一次函数解析式是y＝﹣x+9； （3）∵一次函数y＝mx﹣3m2+12，点（0，﹣15）在函数图象上， ∴m×0﹣3m2+12＝﹣15， 解得，m＝±3， 即m的值是±3． 四、一次函数图象的平移 1.在平面直角坐标系中，把一次函数y＝5x向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（　　） A.y＝5x+5 B.y＝5x﹣5 C.y＝﹣5x+5 D.y＝﹣5x﹣5 【答案】B 【解析】根据一次函数平移的规律：上加下减，即可解答． 把一次函数y＝5x向下平移5个单位后， 可得新的一次函数的表达式是y＝5x﹣5， 故选：B． 2.将函数y＝4x﹣1的图象向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为（　　） A.y＝4x﹣6 B.y＝4x+5 C.y＝4x+4 D.y＝4x 【答案】C 【解析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可． 将函数y＝4x﹣1的图象向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为y＝4x+4． 故选：C． 3.如图，直线与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿x轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、OC的长度，即点B的纵坐标，表示出B的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． y＝x﹣2， 当y＝0时，x﹣2＝0， 解得：x＝4， 即OA＝4， 过B作BC⊥OA于C， ∵△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形， ∴BC＝OC＝AC＝2， 即B点的坐标是（2，2）， 设平移的距离为a， 把（2，2）代入y＝（x+a）﹣2得：2＝×（2+a）﹣2， 解得：a＝6， 即△OAB平移的距离是6， 故选：C． 4.若将直线y＝3x+2向下平移5个单位长度，则平移后直线与y轴的交点坐标为 　    　． 【答案】（0，﹣3）． 【解析】根据一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减解答． 将直线y＝3x+2向下平移5个单位长度得直线y＝3x+2﹣5＝3x﹣3， 所以平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）． 故答案为：（0，﹣3）． 5.直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是 　    　． 【答案】（1，0）． 【解析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可． 直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位， 则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2， 当y＝0时，则x＝1， 故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）． 故答案为：（1，0）． 6.在直角坐标系中，将直线y＝﹣x向下平移2个单位后经过点（a，2），求a的值． 【答案】解：将直线y＝﹣x向下平移2个单位后得y＝﹣x﹣2， ∵经过点（a，2）， ∴2＝﹣a﹣2， 解得：a＝﹣4． 7.已知函数y＝（2m+1）x+m﹣1的图象经过原点，将此函数图象向下平移3个单位． （1）求平移后的函数解析式； （2）请在如图所示的坐标系中画出平移后的函数图象，并指出此时函数y随着x的增大而　   　． 【答案】解：（1）∵y＝（2m+1）x+m﹣1的图象经过原点， ∴m＝1（1分）． ∴y＝3x（2分）． 又∵函数y＝3x的图象向下平移3个单位， ∴y＝3x﹣3． 即平移后的函数解析式是：y＝3x﹣3（3分）． （2）令y＝0，代入y＝3x﹣3得x＝1， ∴函数图象与x轴的交点坐标是（1，0） 图象正确即可得（2分）（7分） 此时函数y随着x的增大而增大． 五、一次函数图象上点的坐标特征 1.下列点中，在函数y＝x﹣2的图象上的是（　　） A.（2，0） B.（0，2） C.（﹣2，0） D.（2，2） 【答案】A 【解析】分别计算自变量为2、0、﹣2所对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． A、当x＝2时，y＝x﹣2＝0，则点（2，0）在函数y＝x﹣2的图象上，所以A选项符合题意； B、当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，则点（0，2）不在函数y＝x﹣2的图象上，所以B选项不符合题意； C、当x＝﹣2时，y＝x﹣2＝﹣4，则点（﹣2，0）不在函数y＝x﹣2的图象上，所以C选项不符合题意； D、当x＝2时，y＝x﹣2＝0，则点（2，2）不在函数y＝x﹣2的图象上，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2.下列各点中，不在函数y＝1﹣2x的图象上的是（　　） A.（1，﹣1） B.（0，1） C.（﹣1，0） D. 【答案】C 【解析】分别把各点代入函数的解析式进行验证即可． A、当x＝1时，y＝﹣1，所以点（1，﹣1）在函数y＝1﹣2x的图象上，不符合题意； B、当x＝0时，y＝1，所以点（0，1）在函数y＝1﹣2x的图象上，不符合题意； C、当x＝﹣1时，y＝3≠0，所以点（﹣1，0）不在函数y＝1﹣2x的图象上，符合题意； D、当时，y＝2，所以点在函数y＝1﹣2x的图象上，不符合题意． 故选：C． 3.已知一次函数y＝x﹣1的图象经过点（m，2），则m的值为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】把已知点的坐标代入直线y＝x﹣1，解关于m的方程即可．解之即可得出m的值． ∵一次函数y＝x﹣1的图象经过点（m，2）， ∴2＝m﹣1， 解得：m＝3 ∴m的值为3． 故选：D． 4.已知点A（1，a）和点B（﹣2，b）是一次函数y＝﹣x+c图象上的两点，则a 　　b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【解析】把A（1，a），B（﹣2，b）代入一次函数y＝﹣x+c得两个二元一次方程，把两个方程相减，求出a﹣b的值，进行判断即可． 把A（1，a），B（﹣2，b）代入一次函数y＝﹣x+c得： ， ①﹣②得：， ∴a＜b， 故答案为：＜． 5.如果点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上，那么m＝　  ． 【答案】5． 【解析】根据直线上任意一点的坐标都满足函数关系式，即可求出m的值． ∵点A（14，m）在函数y＝x+3的图象上， ∴m＝×14+3＝5． 故答案为：5． 6.如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求O点到直线AB的距离． 【答案】解：（1）将x＝0代入y＝﹣x+4得， y＝4， 所以点A的坐标是（0，4）． 将y＝0代入y＝﹣x+4得， x＝3， 所以点B的坐标是（3，0）． （2）过点O作AB的垂线，垂足为C， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3． 在Rt△AOB中， AB＝． 又， 所以AO•BO＝AB•OC， 即4×3＝5OC， 得OC＝． 所以点O到直线AB的距离是． 7.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”． （1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 　      　； （2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值． 【答案】解：（1）∵（4+4）×2＝4×4，（6+3）×2＝6×3， ∴点N，Q是美好点． 故答案为：N，Q． （2）分两种情况考虑： ①当a＞0时，（a+3）×2＝3a， ∴a＝6． ∵点P（6，﹣3）在直线y＝x+b上， ∴﹣3＝﹣6+b， ∴b＝9； ②当a＜0时，（﹣a+3）×2＝﹣3a， ∴a＝﹣6． ∵点P（﹣6，﹣3）在直线y＝x+b上， ∴﹣3＝﹣6+b， ∴b＝3． 综上所述：a＝6，b＝9或a＝﹣6，b＝3． 六、利用一次函数的性质比较大小 1.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数y＝﹣2x+b的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定成立的是（　　） A.y1+y2＜0 B.y1+y2＞0 C.y1＜y2 D.y1＞y2 【答案】D 【解析】本题考查的是一次函数的性质：一次函数y＝kx+b：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小． ∵k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小， ∵x1＜0＜x2， ∴y1＞y2 故选：D． 2.已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点（1，m）和（2，n），则下列比较m，n大小关系正确的是（　　） A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定 【答案】A 【解析】本题考查的是一次函数的性质：一次函数y＝kx+b：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小． 在一次函数解析式中，﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵1＜2， ∴m＞n． 故选：A． 3.若点P（﹣3，a），Q（2，b）在直线y＝﹣3x+2的图象上，则a与b的大小关系是（　　） A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法比较大小 【答案】B 【解析】本题考查的是一次函数的性质：一次函数y＝kx+b：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小． ∵y＝﹣3x+2，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣3＜﹣2， ∴a＞b， 故选：B． 4.如图，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上，且x1＞x2，比较y1和y2的大小：　    　． 【答案】y1＜y2． 【解析】本题考查的是一次函数的性质：一次函数y＝kx+b：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小． 由图可知，y随x的增大而减小， ∵x1＞x2， ∴y1＜y2． 故答案为：y1＜y2． 5.已知点（﹣4，y1），（2，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则用“＜”比较y1，y2，y3的值的大小关系为 　     　． 【答案】y2＜y3＜y1． 【解析】本题考查的是一次函数的性质：一次函数y＝kx+b：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小． ∵直线y＝﹣x﹣b，k＜0， ∴y随着x的增大而减小， 又∵﹣4＜﹣2＜2， ∴y1＞y3＞y2， 故答案为：y2＜y3＜y1． 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标． （2）点M（﹣1，y1），N（3，y2）在该函数的图象上，比较y1与y2的大小． 【答案】解：（1）把y＝0代入y＝﹣2x+1得：0＝﹣2x+1， 解得x＝， ∴点A坐标为（，0）， 把x＝0代入y＝﹣2x+1得： y＝0+1＝1， ∴点B坐标为（0，1）． （2）x＝﹣1时，y1＝﹣2×（﹣1）+1＝3， x＝3时，y2＝﹣2×3+1＝﹣5， ∴3＞﹣5， 由函数图象知，y随x的增大而减小， ∴y1<y2． 7.已知直线y＝kx+b，若点C（m，n），点D（p，q）（其中m＜p）都在直线y＝kx+b上，且m+p＝2，n+q＝b2+4b+2，试比较n和q的大小，并说明理由． 【答案】解：n＜q，理由如下： ∵点C（m，n），点D（p，q）在直线y＝kx+b上， ∴有， ∴n+q＝k（m+p）+2b， 又∵m+p＝2，n+q＝b2+4b+2， ∴2k+2b＝b2+4b+2，即2k＝b2+2b+2＝（b+1）2+1≥1， ∴k＞0，y随x的增大而减小． ∵m＜p， ∴n＜q． 七、一次函数的图象与坐标轴交点问题 1.一次函数y＝2x+3的图象与坐标轴的交点分别为A、B，点C，则△ABC的面积为（　　） A. B. C.6 D.3 【答案】D 【解析】先令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值即可得出A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． ∵当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝﹣， ∴一次函数y＝2x+3的图象与两坐标轴的交点是B（0，3），A（﹣，0）， ∵点C， ∴AC＝+＝2， ∴S△ABC＝×2×3＝3， 故选：D． 2.直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A.3 B.4 C.6 D.12 【答案】B 【解析】首先求出直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式计算，． 令x＝0，则y＝﹣4， 令y＝0，则x＝﹣2， 故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4）、（﹣2，0）， 故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣4|×|﹣2|＝4． 故选：B． 3.如果直线y＝kx﹣4与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则k的值是（　　） A.2 B.±4 C.4 D.±2 【答案】D 【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y＝kx﹣4与两坐标轴的交点坐标，结合直线y＝kx﹣4与两坐标轴围成的三角形面积等于4，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出k的值． 当x＝0时，y＝k×0﹣4＝4， ∴直线y＝kx﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）； 当y＝0时，kx﹣4＝0，解得：x＝， ∴直线y＝kx﹣4与x轴的交点坐标为（，0）． ∴直线y＝kx﹣4与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣4|×||＝4， 解得：k＝±2， 经检验，k＝±2是解题的关键，且符合题意． 故选：D． 4.如图，直线与坐标轴交于A，B两点，在x轴上有一点P，当△ABP是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是 　    　． 【答案】（﹣8，0）或（3，0）． 【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，当PA＝PB时，可得出OP＝OB＝8，进而可得出点P的坐标；当PA＝PB时，利用勾股定理，可求出OP的长，进而可得出点P的坐标． 当x＝0时，y＝﹣×0+4＝4， ∴点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝4； 当y＝0时，﹣x+4＝0， 解得：x＝8， ∴点B的坐标为（8，0）， ∴OB＝8． 当AP＝AB时，OP＝OB＝8， ∴点P的坐标为（﹣8，0）； 当PA＝PB时，OP2+OA2＝PA2＝（OB﹣OP）2， 即OP2+42＝（8﹣OP）2， 解得：OP＝3， ∴点P的坐标为（3，0）． 综上所述，点P的坐标是（﹣8，0）或（3，0）． 故答案为：（﹣8，0）或（3，0）． 5.直线y＝﹣2x﹣5与坐标轴的交点坐标分别是      　． 【答案】（﹣．0），（0，﹣5）． 【解析】分别令x＝0，y＝0，求出y、x的值即可． ∵当x＝0时，y＝﹣5， 当y＝0时，0＝﹣2x﹣5，解得x＝﹣， ∴直线y＝﹣2x﹣5与x轴交点坐标是（﹣．0），与y轴交点坐标是（0．﹣5）． 故答案为：（﹣．0），（0，﹣5）． 6.如图，一次函数的图象与坐标轴交于点A、B两点，点C在线段OA上，OC＝3AC，P为线段AB上的一点，连接PO，PC． （1）求AC的长； （2）当△BOP与△ACP面积相等时，求P的坐标． 【答案】解：（1）当y＝0时，x＝4， ∴点A坐标为（4，0）， ∴OA＝4， ∵OC＝3AC， ∴OA＝OC+AC＝3AC+AC＝4AC＝4， ∴AC＝1； （2）当x＝0时，y＝2， ∴点B坐标为（0，2）， ∴OB＝2， 设点P（m，m+2）， 如图，过点P作PM⊥OC于M，PN⊥OB于N， 则PM＝m+2，PN＝m， S△BOP＝OB•PN，S△ACP＝AC•PM， ∵△BOP与△ACP面积相等， ∴2m＝m+2， 解得：m＝， m+2＝， ∴点P的坐标为（，）． 7.已知一次函数y＝3﹣2x （1）求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在下面的直角坐标系中画出它的图象； （2）从图象看，y随着x的增大而增大，还是随x的增大而减小？ （3）x＝6时，求y的值？ 【答案】解：（1）根据一次函数的解析式y＝3﹣2x， 得到当y＝0，x＝； 当x＝0时，y＝3． 所以与x轴的交点坐标（，0），与y轴的交点坐标（0，3）． 函数图象为： （2）由图象可知，y随着x的增大而减小； （3）把x＝6代入y＝3﹣2x得：y＝3﹣2×6＝﹣9． 学科网（北京）股份有限公司 $$