精品解析：福建省厦门实验中学2024-2025学年下学期八年级阶段性测试 数学试卷

厦门实验中学2024-2025学年下学期初二阶段性测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第I卷选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式需要满足的条件：①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数据中，能作为直角三角形边长的是（ ） A. 3，5，7 B. 4，5，6 C. 1，， D. 1，1，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐个判断． 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，故不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，故能构成直角三角形，故符合题意； D、，故不能构成三角形，故不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A正确，符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，直线，则直线a，b之间的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴直线a与直线b之间的距离是线段的长度． 故选：A． 5. 在直角中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟记勾股定理，准确进行计算． 6. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 7. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③连接，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 根据作图步骤可知，得出，从而可以判断． 【详解】解：根据作图得，， ∴四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：两组对边分别相等， 故选：B． 8. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（ ） A. B. 8 C. 10 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．根据题中所给的思路，将可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长，可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：构造出如图，将问题转化为求的最小值， 可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长， 可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当A，P，B共线时，的最小值为，作交延长线于点E，故四边形是矩形， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为10， 故选：C． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 9. 化简：（1）_______；（2）________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 10. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】二次根式有意义 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 11. 命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是____________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】把原命题改写为逆命题再进行判断即可． 【详解】解：“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”， 内角分别为40°，60°，80°的三角形为锐角三角形，但不是等边三角形，故原命题的逆命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查了判断逆命题的真假性，掌握把原命题改写为逆命题并会用事实真理或定义定理来判断其真假是解题的关键． 12. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判断和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 14. 设，，则M__________N．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用算术平方根、完全平方公式和平方差公式进行计算、无理数的大小比较．先利用完全平方公式和平方差公式求出M、N的值，比较即可得解． 【详解】解： ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，点两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式，熟练掌握点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式是解决问题的关键． 连接交于点，根据平行四边形性质得点为线段，线段的中点，再根据点得点，然后根据点，点可得点的坐标． 【详解】解：连接交于点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴点为线段，线段的中点， ∵点两点的坐标分别为， ∴点的坐标为， ∵点，点是线段的中点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为边在右侧作等边三角形，连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边三角形， ∴， 连接并延长交y轴于点M，过点O作于点H， 在矩形中， ∵， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过定点G且与垂直的直线上运动，即点E在直线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点E与H不重合时，， 当点E与H重合时，， 综上所述：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确理解图形的运动特点并正确画出图形辅助解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算二次根式乘法和除法，然后通过二次根式性质化简即可； （）根据完全平方公式，二次根式乘法法则进行计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将括号内通分，再将除法化为乘法约分化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】 没有超速，理由：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】略 21. 已知，在平面直角坐标系中，，，，，试判断四边形的形状． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，勾股定理，坐标与图形．根据题意可得，，再由勾股定理可得，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴轴，轴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，且无法确定m，n的大小， ∴无法确定与的大小关系， 综上所述，四边形是矩形． 22. 如图，在中，，，． （1）在上找一点满足（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，求． 【答案】（1）如图， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由可知，作垂直平分线即可； （）由四边形是平行四边形，，可得四边形是矩形，，由作图可知，设，则，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：作垂直平分线即可， 理由：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，， 由作图可知， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴． 23. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． （2）如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． （3）在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【答案】（1） （2）成立， 证明如下： 如图：接， ， ， ， ，即， ； （3）或 【解析】 【分析】(1)根据四边形是“等对角四边形”得出，再根据四边形内角和定理求出即可； (2)连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定即可证得； (3)分两种情况：①当时，延长，相交于点E，先由含角的直角三角形的性质求出，得出，再用三角函数求出，由勾股定理求出即可； ②当时，过点D作于点M，于点N，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，求出、，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：四边形是“等对角四边形”，，，， ， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时，延长，相交于点E， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图：当时，过点D作于点M，于点N， 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果． 24. 数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： （1）试判断能否被9整除，并说明理由； （2）试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． （3）若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 【答案】（1） 能被9整除，理由如下： ∵， ∴能被9整除； （2） 证明：设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数， ∵将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数b， ∴b中的各数位上的数字之和为， ∴b能被9整除， 可设，其中为正整数， ∴， ∴c能被9整除； （3）3 【解析】 【分析】（1）判断的各数位上的数字之和是否能被9整除，即可； （2）设a中的各数位上的数字之和为，，其中k，为正整数，可得b中的各数位上的数字之和为，可设，其中为正整数，从而得到，即可解答； （3）设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除，可得f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设划去的数字为x，经过一系列操作后得到的数，其中且为正整数，由（2）得：c能被9整除， ∴f的各位数字之和加上划去的数字x也能被9整除， ∵f的各位数字之和为∶， ∴能被9整除， ∵24不能被9整除，且为正整数， ∴， 即划去的数字为3． 故答案为：3 【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． 25. 已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． （1）当平分时，求的长； （2）连接，延长与交于点E，当时，求的面积； （3）当射线交线段于点F时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知：，由平分，得到，进一步有．由四边形是矩形，得到，由得到的长； （2）由四边形是矩形，得到．由折叠可知：，得到，故．设，则．在中，由，得到．故，由，即可得到结论； （3）如图2，过点A作于点H，则，故，由，，故当点N、H重合（即）时，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3），而，故可求出的最大值． 【小问1详解】 解：由折叠可知：， ∴， ∵平分， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴， 解得：， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，过点A作于点H， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴， ，， ∴当点N、H重合（即）时，最大，最小，最小，最大，此时M、F重合，B、N、M三点共线，（如图3）， 由折叠性质得：， ， ， 在和中， ， ， ∴， 的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，合理构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门实验中学2024-2025学年下学期初二阶段性测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第I卷选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，能作为直角三角形边长的是（ ） A. 3，5，7 B. 4，5，6 C. 1，， D. 1，1，2 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，则直线a，b之间的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长 C. 线段的长度 D. 线段的长度 5. 在直角中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 6. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③连接，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 8. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（ ） A. B. 8 C. 10 D. 34 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 9. 化简：（1）_______；（2）________． 10. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是________． 11. 命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是____________（填“真”或“假”）命题． 12. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为________． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是__________． 14. 设，，则M__________N．（填“”“ ”或“”） 15. 如图，平面直角坐标系中，点两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点的坐标为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点D为x轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______. 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 化简求值：，其中． 20. 滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 21. 已知，在平面直角坐标系中，，，，，试判断四边形的形状． 22. 如图，在中，，，． （1）在上找一点满足（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，求． 23. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． （2）如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． （3）在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 24. 数学课上，老师和同学们玩猜数字游戏，小刘按照老师的要求 随意写一个能被9整除的正整数； 将a中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 计算，得到数； 将c中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数； 将d中一个数位上的非零数划去，得到； 将e中的各数位上的数字进行打乱，重新排序，得到数． 小天：老师，我最后得到的数字． 老师：你划去的数字是6． 老师是如何猜到的呢？小天对此非常好奇，经过查阅资料，他发现被9整除的数，其各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，证明过程如下： 试证明：一个正整数，若这个数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除． 证明：设是一个三位数，且能被9整除，则 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除 同理可知，一个正整数的各个数位的数字相加得到的数能够被9整除，那么原数会被9整除．请阅读上述材料，回答下列问题： （1）试判断能否被9整除，并说明理由； （2）试证明：这个猜数字游戏中，无论为何值，都会被9整除． （3）若小刘按照猜数字游戏的步骤得到的为3849，则划去的数字是__________． 25. 已知，如图，在平行四边形中，，，，M是边上一点，将沿直线对折，得到． （1）当平分时，求的长； （2）连接，延长与交于点E，当时，求的面积； （3）当射线交线段于点F时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $