24.4 弧长和扇形面积 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.4 弧长和扇形面积 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，正方形内接于，，则的长是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.若扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是(    ) A. B. C. D. 4.已知一个半径为的扇形的面积为，则这个扇形的圆心角为(    ) A. B. C. D. 5.如图，的半径为，为弦，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径，扇形的弧长为，那么这个圆锥形帽子的高是不考虑接缝 A. B. C. D. 7.如图所示，一块含有角的直角三角尺在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置若的长为，则顶点从开始到结束所经过的路径长为(    ) A. B. C. D. 8.某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目，我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差“向右转”时，以鞋跟为圆心，顺时针旋转得线段若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖在“向右转”的运动中路径长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，的半径为，点，，都在上，若，则的长为          结果用含有的式子表示 10.如图，分别以正五边形的顶点，为圆心，以长为半径画，若，则阴影部分图形的周长为          结果保留． 11.如图，图是由若干个相同的图形图组成的美丽图案的一部分，图中，图形的相关数据：半径，则图的周长为          结果保留． 12.如图，点、、均在上，若，，则阴影部分的面积为          ． 13.如图所示，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，点，，均为格点，则扇形的面积大小是          ． 14.如图，等边内接于，若的半径为，则阴影部分的面积为          ． 15.为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个如图所示的扇形花圃，扇形的圆心角，半径米，则扇形的弧长是          米．结果保留 16.图中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图中的数据，可知的长是           三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，分别以的顶点，，为圆心，以为半径画圆，求图中绿色部分的面积． 18.本小题分 如图，为半圆形的直径，且，将半圆形绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，求图中阴影部分的面积． 19.本小题分 如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线内轮廓线由一段圆弧和一条弦组成，圆心为，半径为，圆心角，求内轮廓线的圆弧的长度． 20.本小题分 如图，、是半圆上的三等分点，直径，连接、，，垂足为，交于点． 求的度数； 求阴影部分的面积结果保留和根号． 21.本小题分 如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是点，，，它们互相连结，如果， 求曲线的长； 求整个图形的面积． 22.本小题分 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． 试判断直线与的位置关系，并说明理由； 若的半径为，，求阴影部分的周长结果保留． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：连接、， 正方形内接于， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 的长为． 故选A． 连接、，求出，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出即可． 本题考查弧长公式和正方形的性质． 2.【答案】  【解析】【分析】 连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可． 本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 【解答】 解：连接，如图所示：   ，，， ，， 由题意得：， 为等边三角形， ， 的长为：， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键． 根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】 解：扇形的弧长， 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 解：设这个扇形的圆心角为，则有，解得， 故这个扇形的圆心角为． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出． 连接、，利用圆周角定理得出，再利用弧长公式求得即可． 【解答】 解：连接、， ， ， 的长， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查圆锥的侧面展开图和勾股定理的应用，牢记有关公式是解答本题的关键． 首先求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【解答】 解：设圆锥底面圆半径为，则 ，， 扇形的半径， 圆锥的高． 故选B． 7.【答案】  【解析】， ． 又， 顶点从开始到结束所经过的路径长为． 8.【答案】  【解析】解：依题意鞋尖在“向右转”的运动中路径长是一段弧长， 其半径是，弧的圆心角为， 鞋尖在“向右转”的运动中路径长． 故选：． 鞋尖在“向右转”的运动中路径是以为圆心为半径，圆心角为的一段弧，利用弧长公式即可求解． 此题主要考查弧长的计算，解题的关键是正确理解题意及熟练利用弧长公式． 9.【答案】  【解析】【分析】 利用圆周角定理和圆的弧长公式解答即可． 本题主要考查了圆周角定理，圆的弧长公式，正确利用上述性质解答是解题的关键． 【解答】 解：，， ． 的长为， 故答案为：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出、的长度是解题的关键． 由正五边形可得出，、，利用弧长公式可求出、的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长． 【解答】 解：五边形为正五边形，， ，， 的长度的长度， ． 故答案为． 11.【答案】  【解析】【分析】 先根据图确定：图的周长个的长，根据弧长公式可得结论． 本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键． 【解答】 解：由图得：的长的长的长， 半径，， 则图的周长为：， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别阴影部分是优弧所在的扇形；根据圆周角定理求出，再根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】 解：，  ，  阴影部分的面积． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是扇形面积的计算以及勾股定理逆定理，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 根据题意和勾股定理逆定理可求出该扇形的圆心角是，再由扇形面积公式计算可得出结论． 【解答】 解：连接，如图所示： 每个小方格都是边长为的正方形， ， ， 为直角三角形，， ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：等边内接于， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形弧长的计算有关知识． 直接利用弧长公式求解即可． 【解答】 解：米， 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：根据题意，可得， ， 即的长是 故答案为：． 首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是的圆的周长是多少；最后用直径是的圆的周长除以，求出的长是多少即可． 此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出，并求出直径是的圆的周长是多少． 17.【答案】解：、、的半径都是，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角， 绿色部分扇形的圆心角度数之和为， ．  【解析】先根据三角形的内角和为求出绿色部分扇形圆心角的度数之和，再根据扇形的面积公式求解即可． 本题考查扇形面积的计算及三角形内角和定理的知识，解答此题的关键是理解三角形内角与扇形的圆心角的关系． 18.【答案】解：根据题意可知，将以为直径的半圆形绕点顺时针旋转，恰好与以为直径的半圆形重合， 则图中阴影部分的面积恰好为扇形的面积， 所以阴影部分的面积为．  【解析】见答案 19.【答案】解：由题意得，，， 则．  【解析】本题的关键是利用弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，代入计算即可． 本题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长公式的形式． 20.【答案】解：连接，， 、是半圆上的三等分点， ， ， ， ， ， ； 由知，， ，， 是等边三角形，， ， ， ．  【解析】连接，，根据已知条件得到，根据圆周角定理得到，于是得到结论； 由知，，推出是等边三角形，，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，以及圆周角定理． 21.【答案】【小题】 解：是正三角形， ，， ，， 曲线的长为， 曲线的长为； 【小题】 解：如图，作于， ， 由勾股定理得， 整个图形的面积为， 整个图形的面积为．   【解析】  由是正三角形，可得，，则，，根据曲线的长为，计算求解即可；   如图，作于，则，由勾股定理得，根据整个图形的面积为，计算求解即可． 22.【答案】解：与相切． 理由：连接． 是的平分线， ． 又， ． ． ． ，即． 又过半径的外端点， 与相切． ，， ， ， 中，， ， ， 的长， 阴影部分的周长为  【解析】【分析】 本题考查了直线与圆的位置关系，弧长的计算以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； 根据勾股定理得到，求得，根据弧长公式得到的长，于是得到结论． 第6页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$