2.5 矩 形 暑假巩固练习 2024--2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固 一、动点中的矩形判定问题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 1. A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s 如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④∠ECF＝90°，其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 5. 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． 6.（1）若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）并说明理由． （2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F． 7.（1）若CE＝4，CF＝3，求OC的长． （2）问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 二、矩形的性质和判定的综合 1.如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（　　） A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 3.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　） ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变． A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 4.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 5.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm. 6.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若DF⊥AC，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？ 三、矩形的判定综合 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相平分且垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直且相等 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) 3. A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为66 cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 　 　． 5. 如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a． 6.（1）平移后的图形是矩形吗？为什么？ （2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：∠2＝∠1+∠3． 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F. 7. (1)求证：△BEF≌△CDF； (2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 四、矩形中的动点问题 如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　） 1. A. B.3 C. D. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） 2. A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.先增大，再减小 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　） 3. A. B. C. D. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　 　． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为 　 　． 5. 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 6.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题： 7.（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由． 五、用定义判定矩形 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（　　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.AD＝AB D.BC＝CD 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 有一个角是直角的平行四边形是矩形．　 　（填“正确”或“错误”）． 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　 　时，活动框架是矩形． 5. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 7.求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 六、用对角线判定矩形 如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） 1. A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（　　） 2. A.∠AOB＝90° B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB＝BC 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) 3. A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件，使得□ABCD是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC＝BD.”小红说：“添加AC⊥BD.”你同意__________的观点，理由是__________________． 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件　　，使□ABCD成为矩形． 5. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 6.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 七、矩形的性质 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若，则矩形ABCD的周长是（　　） 1. A. B. C. D. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（　　） 2. A. B.2 C. D.3 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（　　） 3. A. B.9 C. D.12 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　． 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长为 　 　． 5. 如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． 6.（1）求证：BC＝DF； （2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明． 如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF． 7.（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADE＝45°，AD＝6，求四边形DFBE的面积． 湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固（参考答案） 一、动点中的矩形判定问题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 1. A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝10 cm，BC＝8 cm， ∴AP＝（10－t）cm，CM＝（8－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即10－t＝t， 解得t＝5， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝8－t， 解得t＝4， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即8－t＝t， 解得t＝4， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝10－t， 又∵BM＝t， ∴10－tt， 解得t＝6， 综上，当CD＝PM时，t＝4 s或6 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④∠ECF＝90°，其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】 ①只要证明OC＝OE，OC＝OF即可． ②首先证明∠ECF＝90°，若CE＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误. ③利用勾股定理可得EF＝13，推出OC＝6.5，故③错误． ④根据矩形的判定方法即可证明． ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， ∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF， ∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF， ∴OC＝OE＝OF，故①正确； ∵∠BCD＝180°， ∴∠ECF＝90°，故④正确； 若CE＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误； ∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5，故③错误. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AP＝（8－t）cm，CM＝（6－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即8－t＝t， 解得t＝4， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝6－t， 解得t＝3， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即6－t＝t， 解得t＝3， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝8－t， 又∵BM＝t， ∴8－tt， 解得t＝5， 综上，当CD＝PM时，t＝3 s或5 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 故选：D． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 4. 【答案】6 【解析】由矩形的判定可得出8－0.5t＝5，则可得出答案． 设运动时间为t秒， ∵点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动， ∴PC＝0.5t， ∵AB∥CD，AB⊥AD，四边形ABPD是矩形， ∴AB＝DP， ∴8－0.5t＝5， ∴t＝6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 5. 【答案】3 【解析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可． 当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形， 此时AB＝DP＝4 cm，CD＝5 cm， 在Rt△DPC中，CP（cm）， 所以3秒后四边形ABPD是矩形. 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． 6.（1）若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）并说明理由． （2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 【答案】解（1）四边形EGFH是平行四边形；理由： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G，H分别是AD，BC的中点， ∴AGAD，CHBC， ∴AG＝CH， ∵点E，F的运动速度相同， ∴AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）如图1，连接GH， ∵G，H分别是AD，BC的中点， ∴AGAD，BHBC， ∴AG＝BH， ∵在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， EF＝GH＝6， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10－2t＝6， ∴t＝2； ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， 同理EF＝GH＝6，AE＝CF＝t， ∴EF＝t+t－10＝2t－10＝6， ∴t＝8， 综上所述，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8． 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F． 7.（1）若CE＝4，CF＝3，求OC的长． （2）问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【答案】解（1）∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， ∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF， ∴OE＝OC，OF＝OC， ∴OE＝OF， ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°， ∴∠ECF＝90°， 在Rt△CEF中，由勾股定理得EF5， ∴OC＝OEEF＝2.5. （2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 连接AE，AF，如图所示， 当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 二、矩形的性质和判定的综合 1.如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（　　） A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 【答案】D 【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，如果对角线相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， ∴②③是正确的. 2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】∵DE是AC的垂直平分线，F是AB的中点， ∴DF∥BC， ∴∠C＝90°， ∵BE⊥DE， ∴四边形BCDE是矩形． ∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴AC＝＝2 ∴BE＝CD＝ ∴四边形BCDE的面积为2×＝2.故选A. 3.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　） ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变． A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，BC边上的高，AC，BD的长度不断变化解答即可． ①由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形， 故①正确； ②B，D两点之间的距离不断变化， 故②错误； ③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化， 故③错误； ④由四边形的边长不变可知四边形ABCD的周长不变， 故④正确． 所以正确的说法有①④． 4.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】AD＝AB 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB，又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 5.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝2 cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm. 【答案】2 【解析】∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°，∵∠A＝∠B＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC，∵BC＝2 cm，∴AB与CD之间的距离为2 cm. 6.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∵DE＝AD， ∴DE＝BC， ∴平行四边形BECD是矩形. （2）解 由（1）可知，四边形BECD是矩形， ∴∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝90°，BD⊥AB， ∵AD＝BC＝4， ∴BD2， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB•BD＝2×24． 7.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若DF⊥AC，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？ 【答案】(1)证明　∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. (2)解　∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2， ∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°－36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝DO， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°. 三、矩形的判定综合 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相平分且垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】根据矩形的判定即可得到结论． A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形不一定是矩形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) 3. A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形. A．∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B．∵对角线互相垂直的平行四边形不一定为矩形，故本选项正确； C．∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； D．∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误． 故选B. 木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为66 cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)． 【答案】不合格 【解析】∵＝68 cm≠66cm，∴这个桌面不合格， 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC分割后可拼接成矩形BCDE．若AH＝FG＝4，则△ABC的面积是 　 　． 5. 【答案】32． 【解析】由矩形的性质得BC＝DE，BE＝CD，再由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF，则BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4，进而得BC＝DE＝8，即可解决问题． ∵四边形BCDE是矩形， ∴BC＝DE，BE＝CD， 由题意可知，BE＝CD＝AH＝4，DG＝HG，EF＝HF， ∴BE+AH＝4+4＝8，DG+EF＝HG+HF＝FG＝4， ∴BC＝DE＝4+4＝8， ∴S△ABC＝S矩形BCDE＝BC•BE＝8×4＝32， 故答案为：32． 如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a． 6.（1）平移后的图形是矩形吗？为什么？ （2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：∠2＝∠1+∠3． 【答案】（1）解：是矩形，因为平移后的图形首先是个平行四边形，又因为这个平行四边形的相邻的两边都垂直，因此是个矩形． （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠3＝∠GCB． ∵∠1+∠CDB＝90°，∠DBC+∠CDB＝90°， ∴∠1＝∠DBC． ∵∠2＝∠DBC+∠GCB， ∴∠2＝∠1+∠3． 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F. 7. (1)求证：△BEF≌△CDF； (2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【答案】(1)证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD.∵BE＝AB， ∴BE＝CD.∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF， 在△BEF与△CDF中， ∵∠BEF=∠CDF，BE=CD，∠EBF=∠DCF， ∴△BEF≌△CDF(ASA)； (2)证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB， ∵AB＝BE，∴CD＝EB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BF＝CF，EF＝DF， ∵∠BFD＝2∠A， ∴∠BFD＝2∠DCF， ∴∠DCF＝∠FDC， ∴DF＝CF，∴DE＝BC， ∴四边形BECD是矩形． 四、矩形中的动点问题 如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　） 1. A. B.3 C. D. 【答案】A 【解析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论． 如图，连接CM， ∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠CPM＝∠CQM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°， ∴四边形PCQM是矩形， ∴PQ＝CM， 由勾股定理得：BD5， 当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小， 此时，BD•CMBC•CD， ∴CM， ∴PQ的最小值为， 故选：A． 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） 2. A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.先增大，再减小 【答案】C 【解析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，由E是AB的中点可得a﹣2c＝0，进而判断． 设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， 连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD， ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， 同理Rt△AEH≌Rt△CGF， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH） ＝ab﹣2[cx（a﹣c）（b﹣x）] ＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx） ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝（a﹣2c）x+bc， ∵E是AB的中点， ∴a＝2c， ∴a﹣2c＝0， ∴S平行四边形EFGH＝bcab， 方法二：连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD， ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， ∴DG＝BECD＝AE， ∴四边形AEGD为平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴▱AEGD为矩形， 同理四边形EBCG为矩形， ∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFGEG•DGEG•GC＝EG•DGEG•CDS矩形ABCD． 故选：C． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　） 3. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接AD、EF，由勾股定理求出BC的长，再证四边形DEAF是矩形，得EF＝AD，然后由垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 如图，连接AD、EF， ∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12， ∴BC13， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴EF＝AD，GF＝GE， 当AD⊥BC时，AD的值最小，则EF的值最小， 此时，△ABC的面积BA•ACBC×AD， ∴AD， ∴EF的最小值为， ∴GF的最小值， 故选：B． 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　 　． 4. 【答案】9.6 【解析】当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，作BH⊥AC于H，连接AM，由勾股定理．三角形的面积公式求出BH的长，即可解决问题． 当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM， 在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC， ∴MBBC＝6， ∴AM8， ∵△ABC的面积AC•BHBC•AM， ∴10BH＝12×8， ∴BH＝9.6， ∵四边形BEDH是矩形， ∴DE＝BH＝9.6． ∴DE长的最小值是9.6． 故答案为：9.6． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为 　 　． 5. 【答案】2.4． 【解析】根据PE⊥AB，PF⊥AC，结合∠BAC＝90°，即可判断四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，于是可知当AP最小时，EF也最小，即当AP⊥BC时，AP最小，OF最小， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP，， ∴当AP最小时，EF最小，OF最小，即当AP⊥BC时， ∵AB＝6，AC＝8， ∴BC＝10， ∴， ∴， ∴线段EF的最小值为4.8， ∴线段OF的最小值为2.4， 故答案为：2.4． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 6.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠FBC； ∵EF∥BC， ∴∠OFB＝∠FBC＝∠ABF， ∴△OBF为等腰三角形， ∴OB＝OF， 同理：OB＝OE， ∴OE＝OF； （2）解：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点时，理由如下： ∵四边形BFAE为矩形， ∴∠AEB为直角， ∴△AEB为直角三角形； ∵四边形BFAE为矩形， ∴OA＝OB＝OE＝OF， 在Rt△AEB中，OE＝OA＝OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点． 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题： 7.（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得，BP＝CQ＝2t cm， ∴PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm， ∵点C在线段PQ的垂直平分线上， ∴PC＝CQ， 即8﹣2t＝2t， ∴t＝2； （2）存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ， ∵△ABP≌△PCQ，∠B＝∠C＝90°， ∴AB＝PC，BP＝CQ，∠APB＝∠PQC， ∴8﹣2t＝6， ∴t＝1， ∵∠PQC+∠QPC＝90°， ∴∠APB+∠QPC＝90°， ∴∠APQ＝90°， ∴AP⊥PQ． 五、用定义判定矩形 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 【答案】A 【解析】 首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可． ∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当有一个角是直角时该四边形是矩形， 故选：A． 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（　　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.AD＝AB D.BC＝CD 【答案】B 已经得到四边形ABCD的一个内角为90°，然后得到该四边形为平行四边形即可． 【解析】条件为AD＝BC， 理由是：∵∠A＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形． 故选：B． 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 【答案】C 【解析】 当∠C＝90°时，即可判定△BCD≌△BED（HL），依据BC＝AD，AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据∠C＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形． 当∠A＝90°或∠EBD＝∠ADB或∠DBC＝30°时，不能得到四边形ABCD为矩形； 当∠C＝90°时，∵BE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， 又∵BD＝BD，CD＝ED， ∴△BCD≌△BED（HL）， ∴BC＝BE， 又∵AD＝EB， ∴BC＝AD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：C． 有一个角是直角的平行四边形是矩形．　 　（填“正确”或“错误”）． 【答案】正确. 【解析】根据平行四边形性质推出AB∥CD，AD∥BC，根据平行线性质推出∠B＝∠D＝90°，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形）进行判断即可． 正确，理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°， ∴∠B＝90°，∠D＝90°， 即∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 故答案为：正确． 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　 　时，活动框架是矩形． 5. 【答案】90°． 【解析】根据矩形的判定方法即可求解． 根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°． 故答案为：90°． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 6. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形． 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 7.求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠ADE=∠CBF. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 六、用对角线判定矩形 如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） 1. A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 【答案】D 【解析】由平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得出结论． 添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（　　） 2. A.∠AOB＝90° B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB＝BC 【答案】B 【解析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意， 由∠AOB＝90°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意， 由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意， 由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意， 故选：B． 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) 3. A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 【答案】D 【解析】可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D. 在学习了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件，使得□ABCD是矩形．”经过思考，小明说：“添加AC＝BD.”小红说：“添加AC⊥BD.”你同意__________的观点，理由是__________________． 【答案】小明　 对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】根据是对角线相等的平行四边形是矩形，故小明的说法是正确的，根据对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，故小红的说法是错误的． 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件　　，使□ABCD成为矩形． 5. 【答案】AC＝BD（答案不唯一）． 【解析】根据矩形的定义得出答案即可． ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当AC＝BD时，□ABCD为矩形； 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 6.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 【答案】解：（1）∵两组对边分别平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形； （2）这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形. 故答案为：等于；对角线相等的平行四边形为矩形． 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，AD＝BC，AB＝CD， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴AE＝EB＝CF＝FD， ∵AG＝CH， ∴BH＝DG， ∴△AGE≌△CHF（SAS），△BEH≌△DFG（SAS）， ∴EH＝GF，EG＝HF， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴EF＝AD， ∵GH＝AD， ∴EF＝GH， ∴平行四边形EHFG是矩形． 七、矩形的性质 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若，则矩形ABCD的周长是（　　） 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OB，而∠ABD＝60°，则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝OCAC，因为AE⊥BD于点E，所以E为OB的中点，而F是OC的中点，则BC＝2EF＝4，则勾股定理得BCAB，则AB＝4，AB＝4，即可求得矩形ABCD的周长是88，于是得到问题的答案． ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠ABD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OCAC， ∴AC＝2AB， ∵AE⊥BD于点E， ∴E为OB的中点， ∵F是OC的中点，EF＝2， ∴BC＝2EF＝2×24， ∴AD＝BC＝4， ∵BCAB， ∴AB＝4， ∴AB＝CD＝4， ∴AD+BC+AB+CD＝444+4＝88， ∴矩形ABCD的周长是88， 故选：D． 如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（　　） 2. A. B.2 C. D.3 【答案】C 【解析】由直角三角形的性质可得AE＝ED＝EC，由等腰三角形的性质可得∠DAC＝30°，即可求解． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝1，∠ADC＝90°， ∵E是AC的中点， ∴AE＝ED＝EC， ∵∠AED＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴ADCD， 故选：C． 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（　　） 3. A. B.9 C. D.12 【答案】B 【解析】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝9，则可得出答案． 在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9， ∴∠AEB＝∠EAD＝45°， ∴BE＝BA． ∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴BO＝BA＝9， ∴BO＝BE＝9． 故选：B． 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　． 4. 【答案】 【解析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠FBC， ∵CF⊥BE， ∴∠CFB＝90°， ∴∠CFB＝∠A， 在△ABE和△FCB中， ， ∴△ABE≌△FCB（AAS）， ∴FC＝AB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6， 在Rt△FCB中，由勾股定理得， 故答案为：． 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长为 　 　． 5. 【答案】 【解析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝6－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 连接CE，如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC， ∵过对角线交点O作EF⊥AC， ∴EF垂直平分AC， ∴AE＝CE， 设DE＝x，则CE＝AE＝6－x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2+CD2＝CE2， 即x2+42＝(6－x)2， 解得x， ∴DE. 故答案为：． 如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． 6.（1）求证：BC＝DF； （2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AFD， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∴BC＝DF. （2）解：AD2+CD2＝2DG2． 证明：连接BD，BG，CG， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAE＝∠AEB， ∵∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝BE＝DC， ∵∠BCF＝90°，∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴∠F＝45°， ∵G是EF的中点， ∴EG＝CG＝FG，∠ECG＝∠FCG＝45°， ∴∠BEG＝∠DCG＝135°， ∵BC＝DF，∴BE=DC, ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG＝DG，∠DGC＝∠BGE， ∵∠CGE＝90°， ∴∠BGD＝90°， ∴△BDG是等腰直角三角形， ∴BD2＝2DG2， ∵AB2+AD2＝BD2，AB＝CD， ∴AD2+CD2＝2DG2． 如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF． 7.（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADE＝45°，AD＝6，求四边形DFBE的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∴AE＝CF， 在△ADE与△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. （2）解：四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵∠ADE＝45°， ∴AE＝AD＝6， ∴BE＝AE＝6， ∴四边形DFBE的面积＝BE•AD＝6×6＝36． 学科网（北京）股份有限公司 $$