2.5 矩 形 暑假巩固练习 2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固 一、矩形的性质和判定的综合 1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 2.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（　　） A.有两个角是直角的四边形是矩形 B.有三个角是直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.一组对边平行且相等的四边形是矩形 4.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 5.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是　  　.（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 6.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点F是AC的中点，AN∥BC，连接DF并延长交AN于点E，连接CE． （1）求证：△AEF≌△CDF； （2）求证：四边形ADCE是矩形； （3）若AB＝BC＝4，求四边形ADCE的面积． 二、矩形的性质 如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交AB于点H，交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（　　） 1. A.12.5 B.12 C.10 D.10.5 如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） 2. A.52° B.66° C.76° D.86° 如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝75°，则∠BAC的度数是（　　） 3. A.45° B.50° C.55° D.60° 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，取AD中点M，连接AF，GM，AF，GM交于点H，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则AH＝　 　． 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长为 　 　． 5. 如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF． 6.（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADE＝45°，AD＝6，求四边形DFBE的面积． 如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 7. 三、用对角线判定矩形 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（　　） 1. A.∠AOB＝90° B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB＝BC 对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.三角形 D.平行四边形 如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） 3. A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　                           　时，四边形ACBD为矩形． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC、ED、AC，请你添加一个条件 　AD＝CE（答案不唯一）　，使四边形ACDE是矩形． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 6.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 7.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 四、用定义判定矩形 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED、EC、AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是(　　) A.AC＝CD B.AB＝AD C.AD＝AE D.BC＝CE 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（　　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.AD＝AB D.BC＝CD 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　           　（写出一个即可）． 4. 如图，在▱ABCD中，请添加一个条件：　 　，使得▱ABCD成为矩形． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 6.求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 7. 五、矩形的判定综合 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A. B. C. D. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验算方法错误的是（　　） 3. A.AD⊥DC B.OA＝OB C.AC＝BD D.OA＝OC 矩形的判定方法包括：（1）　 　的平行四边形是矩形；（2）　 　的平行四边形是矩形；（3）　 　的四边形是矩形． 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD至E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，若添加一个条件后，使四边形DBCE成为矩形，则添加的条件是 　               　． 5. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形． 6. 如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF. 7. (1)请添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__________，并证明． (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由． 六、动点中的矩形判定问题 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 2. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　 　秒后，四边形BEDF是矩形． 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． 6.（1）求证：AE＝DF； （2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由． 如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 7. 七、矩形中的动点问题 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） 1. A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　） 2. A. B. C. D. 如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　） 3. A. B.3 C. D. 如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 　 　． 4. 如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝　 　时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 　 　． 5. 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： 6.（1）当t＝1s时，四边形BCQP的面积是多少？ （2）当t为何值时，以点P，D，Q为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰三角形． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 7.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的性质和判定的综合 1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】∵DE是AC的垂直平分线，F是AB的中点， ∴DF∥BC， ∴∠C＝90°， ∵BE⊥DE， ∴四边形BCDE是矩形． ∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2， ∴AB＝4， ∴AC＝＝2 ∴BE＝CD＝ ∴四边形BCDE的面积为2×＝2.故选A. 2.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【解析】A．对角线相等的四边形是矩形，不正确； B．对角线互相平分的四边形是矩形，不正确； C．矩形的对角线相等且互相平分，正确； D．矩形的对角线互相垂直且平分，不正确. 3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（　　） A.有两个角是直角的四边形是矩形 B.有三个角是直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.一组对边平行且相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】由题意和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． A，有三个角是直角的四边形是矩形，故选项A不符合题意； B，有三个角是直角的四边形是矩形，故选项B符合题意； C，对角线相等的平行四边形是矩形，但是不符合题意，故选项C不符合题意； D，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意. 4.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】AD＝AB 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB，又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 5.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是　  　.（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 【答案】①④ 【解析】由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠B＝∠C＝45°，由∠BED＝∠CFD＝90°，得∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°，则∠EDF＝90°，所以DGEF，可判断①正确；连接AD，AH，因为BC＝4，所以AH＝BH＝CH＝2，由AD≥AH，得AD≥2，再证明四边形AEDF是矩形，则AD＝EF，所以EF≥2，则EF的最小值为2，可判断②错误；可求得S△DEFBE（4－BE）(BE－2)2+2，可知S△DEF的大小随BE的变化而变化，可判断③错误；连接FH，EH，可证明△HAF≌△HBE，得∠AHF＝∠BHE，推导出∠EHF＝∠AHB＝90°，则HGEF，所以DG＝HG，可判断④正确，于是得到问题的答案． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°， ∴∠EDF＝180°－∠EDB－∠FDC＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴DGEF， 故①正确； 连接AD，AH， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点H是BC的中点， ∴BC4，AH⊥BC，BH＝CH， ∴AH＝BH＝CHBC＝2， ∵AD≥AH， ∴AD≥2， ∵∠AED＝∠AFD＝∠EDF＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴AD＝EF， ∴EF≥2， ∴EF的最小值为2， 故②错误； ∵∠EDF＝90°，BE＝DE，DF＝AE＝4－BE， ∴S△DEFDE•DFBE（4－BE）(BE－2)2+2， ∴S△DEF的大小随BE的变化而变化， 故③错误； 连接FH，EH， ∵∠HAF＝∠HAB∠BAC＝45°， ∴∠HAF＝∠B， ∵AF＝DE，BE＝DE， ∴AF＝BE， 在△HAF和△HBE中， ， ∴△HAF≌△HBE（SAS）， ∴∠AHF＝∠BHE， ∴∠EHF＝∠AHF+∠AHE＝∠BHE+∠AHE＝∠AHB＝90°， ∴HGEF， ∴DG＝HG， ∴△DGH是等腰三角形， 故④正确， 故答案为①④． 6.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB． 【答案】证明　（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵CF＝AE， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DFA＝∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得， ∴AD＝BC＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴∠DAF＝∠FAB， 即AF平分∠DAB． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点F是AC的中点，AN∥BC，连接DF并延长交AN于点E，连接CE． （1）求证：△AEF≌△CDF； （2）求证：四边形ADCE是矩形； （3）若AB＝BC＝4，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1）证明 ∵AN∥BC， ∴∠EAF＝∠DCF， ∵点F是AC的中点， ∴AF＝CF， 在△AEF和△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（ASA）． （2）证明 由（1）可知，△AEF≌△CDF， ∴AE＝CD， ∵AN∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形. （3）解 由（2）知，四边形ADCE是矩形， ∵BC＝AB＝4，AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC＝4， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝2， ∴∠ADC＝90°， ∴AD2， ∴四边形ADCE的面积＝CD•AD＝2×24． 二、矩形的性质 如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交AB于点H，交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（　　） 1. A.12.5 B.12 C.10 D.10.5 【答案】D 【解析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD． ∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12， ∴CG＝DG12＝6， 在△DEG和△CFG中， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE＝CF，EG＝FG， 设DE＝x， 则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x， 在Rt△DEG中，EG， ∴EF＝2， ∵FH垂直平分BE， ∴BF＝EF， ∴6+2x＝2， 解得x＝4.5， ∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5， ∴BC＝AD＝10.5． 故选：D． 如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） 2. A.52° B.66° C.76° D.86° 【答案】C 【解析】如图，由平行线的性质可求得∠3，∠4，由折叠的性质可知∠4＝∠3+∠2，可求得∠2． 如图， ∵AD∥BC，∠1＝52°， ∴∠3＝∠1＝52°，∠4＝180°－∠1＝128°， 又由折叠可得∠4＝∠3+∠2， ∴∠2＝∠4－∠3＝128°－52°＝76°， 故选：C． 如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝75°，则∠BAC的度数是（　　） 3. A.45° B.50° C.55° D.60° 【答案】D 【解析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝75°，则∠DBE＝30°，即可求解． 连接BD，交AC于O，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝DB， ∴OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵BE＝AC， ∴BE＝BD， ∴∠BDE＝∠E＝75°， ∴∠DBE＝180°－75°－75°＝30°， ∴∠BAC＝∠OBA＝90°－30°＝60°， 故选：D． 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，取AD中点M，连接AF，GM，AF，GM交于点H，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则AH＝　 　． 4. 【答案】 【解析】延长AD交EF于点N，先证四边形DGFN为矩形得DN＝FG＝2，GD＝FN＝CG﹣CD＝2，然后在Rt△AFN中由勾股定理求出，再证△GFH和△MAH全等得FH＝AH，进而可求出AH的值． 延长AD交EF于点N，如图所示： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，BC＝EF＝4，CD＝CE＝2， ∴∠ADC＝∠CGF＝∠GFE＝90°，AD＝BC＝EF＝CG＝4，CD＝AB＝CE＝FG＝2， ∴∠GDN＝∠CGF＝∠GFE＝90°，GD＝CG－CD＝4－2＝2， ∴四边形DGFN为矩形， ∴DN＝FG＝2，GD＝FN＝2， 在Rt△AFN中，AN＝AD+DN＝4+2＝6，FN＝2， 由勾股定理得， ∵∠ADC＝∠CGF＝90°， ∴FG⊥CG，AD⊥CG， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠MAH， 又∵M是AD的中点， ∴， ∴GF＝AM＝2， 在△GFH和△MAH中， ， ∴△GFH和△MAH（AAS）， ∴FH＝AH， ∴AHAF2． 故答案为：． 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长为 　 　． 5. 【答案】 【解析】连接CE，由矩形的性质得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，设DE＝x，则CE＝AE＝6－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 连接CE，如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC， ∵过对角线交点O作EF⊥AC， ∴EF垂直平分AC， ∴AE＝CE， 设DE＝x，则CE＝AE＝6－x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2+CD2＝CE2， 即x2+42＝(6－x)2， 解得x， ∴DE. 故答案为：． 如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF． 6.（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADE＝45°，AD＝6，求四边形DFBE的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∴AE＝CF， 在△ADE与△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. （2）解：四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵∠ADE＝45°， ∴AE＝AD＝6， ∴BE＝AE＝6， ∴四边形DFBE的面积＝BE•AD＝6×6＝36． 如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 7. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵∠EOD＝∠FOB＝90°， ∴△BOF≌△DOE（ASA）． 三、用对角线判定矩形 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是（　　） 1. A.∠AOB＝90° B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB＝BC 【答案】B 【解析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意， 由∠AOB＝90°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意， 由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意， 由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意， 故选：B． 对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.三角形 D.平行四边形 【答案】B 【解析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形． 对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形， 故选：B． 如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） 3. A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 【答案】D 【解析】由平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得出结论． 添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　                           　时，四边形ACBD为矩形． 4. 【答案】O是AB的中点． 【解析】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB＝CD，即可得出结论． 添加条件为：O是AB的中点，理由如下： ∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OB＝OC＝OD， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点． 如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC、ED、AC，请你添加一个条件 　AD＝CE（答案不唯一）　，使四边形ACDE是矩形． 5. 【答案】AD＝CE（答案不唯一）． 【解析】先证明四边形ACDE为平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 添加AD＝CE，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， ∵AE＝AB， ∴AE＝CD， 又CD∥AE, ∴四边形ACDE为平行四边形， 又∵AD＝CE， ∴平行四边形ACDE是矩形． 故答案为：AD＝CE（答案不唯一）． 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 6.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，AD＝BC，AB＝CD， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴AE＝EB＝CF＝FD， ∵AG＝CH， ∴BH＝DG， ∴△AGE≌△CHF（SAS），△BEH≌△DFG（SAS）， ∴EH＝GF，EG＝HF， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴EF＝AD， ∵GH＝AD， ∴EF＝GH， ∴平行四边形EHFG是矩形． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 7.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 【答案】解：（1）∵两组对边分别平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形； （2）这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形. 故答案为：等于；对角线相等的平行四边形为矩形． 四、用定义判定矩形 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED、EC、AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是(　　) A.AC＝CD B.AB＝AD C.AD＝AE D.BC＝CE 【答案】D 【解析】 添加一个条件BC＝CE，能使四边形ACDE成为矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB平行且等于DC，∵AE＝AB，∴DC平行且等于AE，∴四边形DEAC是平行四边形，∵BC＝EC，AE＝AB，∴∠EAC＝90°，∴平行四边形ACDE是矩形．故选D. 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 【答案】C 【解析】 当∠C＝90°时，即可判定△BCD≌△BED（HL），依据BC＝AD，AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据∠C＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形． 当∠A＝90°或∠EBD＝∠ADB或∠DBC＝30°时，不能得到四边形ABCD为矩形； 当∠C＝90°时，∵BE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， 又∵BD＝BD，CD＝ED， ∴△BCD≌△BED（HL）， ∴BC＝BE， 又∵AD＝EB， ∴BC＝AD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：C． 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（　　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.AD＝AB D.BC＝CD 【答案】B 已经得到四边形ABCD的一个内角为90°，然后得到该四边形为平行四边形即可． 【解析】条件为AD＝BC， 理由是：∵∠A＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形． 故选：B． 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　           　（写出一个即可）． 4. 【答案】BE＝CF（答案不唯一）． 【解析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF＝90°，即可得出结论． 添加条件为：BE＝CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形， 故答案为：BE＝CF（答案不唯一）． 如图，在▱ABCD中，请添加一个条件：　 　，使得▱ABCD成为矩形． 5. 【答案】∠A=90° 【解析】根据矩形的判定定理即可得出结论． ∵一个角是90°的平行四边形是矩形， ∴添加∠A＝90°． 故答案为：∠A＝90°． 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 6.求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠ADE=∠CBF. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 7. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形． 五、矩形的判定综合 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意； B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意； C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意； D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意． 故选：C． 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验算方法错误的是（　　） 3. A.AD⊥DC B.OA＝OB C.AC＝BD D.OA＝OC 【答案】D 【解析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． A、∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 矩形的判定方法包括：（1）　 　的平行四边形是矩形；（2）　 　的平行四边形是矩形；（3）　 　的四边形是矩形． 【答案】有一个角是直角；对角线相等；有三个角是直角． 【解析】由矩形的判定方法即可得出结论． 矩形的判定方法包括：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案为：有一个角是直角；对角线相等；有三个角是直角． 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD至E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，若添加一个条件后，使四边形DBCE成为矩形，则添加的条件是 　               　． 5. 【答案】AB＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE． 【解析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED为平行四边形， 添加AB＝BE，DE＝AD， ∴BD⊥AE， ∴▱DBCE为矩形； 添加∠ADB＝90°， ∴∠EDB＝90°， ∴▱DBCE为矩形； 添加CE⊥DE， ∴∠CED＝90°， ∴▱DBCE为矩形． 故答案为：AB＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE． 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形． 6. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形． 如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF. 7. (1)请添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__________，并证明． (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由． 【答案】解　(1)添加条件：EH＝FH；理由如下： ∵点H是BC的中点， ∴BH＝CH， 在△BEH和△CFH中，BH=CH，∠BHE=∠CHF，EH=FH， ∴△BEH≌△CFH(SAS)； 故答案为EH＝FH； (2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形， 理由如下： ∵BH＝CH，EH＝FH， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∵BH＝CH，EH＝FH，BH＝EH， ∴BC＝EF，∴四边形BFCE是矩形． 六、动点中的矩形判定问题 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 【答案】D 【解析】 根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定解答即可． 对于A，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是矩形，故A正确，不符合题意． 对于B，∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线． ∴， 又∵点E是AB的中点， ∴CD＝AB＝2AE． ∴CD＝4OF，即，故B正确，不符合题意． 对于C，当点E与点D重合时，OF的值最大． ∵AD＝BC＝8， ∴AE的最大值是8． ∴，即线段OF长度的最大值是4，故C正确，不符合题意． 对于D，∵OF∥AB，∴当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN=∠BEN＞60°， ∴△OFN不是等边三角形，故D错误，符合题意. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 2. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AP＝（8－t）cm，CM＝（6－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即8－t＝t， 解得t＝4， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝6－t， 解得t＝3， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即6－t＝t， 解得t＝3， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝8－t， 又∵BM＝t， ∴8－tt， 解得t＝5， 综上，当CD＝PM时，t＝3 s或5 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 故选：D． 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝10 cm，BC＝8 cm， ∴AP＝（10－t）cm，CM＝（8－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即10－t＝t， 解得t＝5， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝8－t， 解得t＝4， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即8－t＝t， 解得t＝4， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝10－t， 又∵BM＝t， ∴10－tt， 解得t＝6， 综上，当CD＝PM时，t＝4 s或6 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　 　秒后，四边形BEDF是矩形． 4. 【答案】2或10 【解析】设运动的时间为t秒，则AE＝CF＝t，由平行四边形的性质得OE＝OF＝6－t或OE＝OF＝t－6，再根据OE＝OD列方程6－t＝4或t－6＝4，求出t的值即可． 设运动的时间为t秒， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8， ∴OA＝OCAC＝6，OB＝ODBD＝4， ∵AE＝CF＝t， ∴OE＝OF＝6－t或OE＝OF＝t－6， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形， ∴OE＝OD， ∴6－t＝4或t－6＝4， ∴t＝2或t＝10， ∴经过2秒或10秒后，四边形BEDF是矩形. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 5. 【答案】3 【解析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可． 当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形， 此时AB＝DP＝4 cm，CD＝5 cm， 在Rt△DPC中，CP（cm）， 所以3秒后四边形ABPD是矩形. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． 6.（1）求证：AE＝DF； （2）四边形DEBF能够成为矩形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由． 【答案】（1）证明　∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝90°－∠A＝30°， ∵CD＝4t，AE＝2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°， ∴， ∴DF＝AE. （2）解　∵∠B＝90°，DF⊥BC， ∴当∠EDF＝90°时，四边形DEBF是矩形， ∴DF＝BE， ∵AC＝60 cm，∠C＝30°， ∴AB＝30 cm， ∵DF＝AE＝2t， ∴BE＝30－2t， 即30－2t＝2t， 解得， 即当时，四边形DEBF是矩形． 如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 7. 【答案】解　根据题意得CQ＝2t，AP＝4t， 则BP＝24－4t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB， ∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，即2t＝24－4t， 解得t＝4， 答：当t＝4 s时，四边形QPBC是矩形． 七、矩形中的动点问题 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） 1. A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.2 【答案】B 【解析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 如图，连接CD． ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小， 此时S△ABCBC•ACAB•CD， 即4×35•CD， 解得CD＝2.4， ∴EF＝2.4． 故选：B． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　） 2. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接AD、EF，由勾股定理求出BC的长，再证四边形DEAF是矩形，得EF＝AD，然后由垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 如图，连接AD、EF， ∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12， ∴BC13， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴EF＝AD，GF＝GE， 当AD⊥BC时，AD的值最小，则EF的值最小， 此时，△ABC的面积BA•ACBC×AD， ∴AD， ∴EF的最小值为， ∴GF的最小值， 故选：B． 如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　） 3. A. B.3 C. D. 【答案】A 【解析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论． 如图，连接CM， ∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠CPM＝∠CQM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°， ∴四边形PCQM是矩形， ∴PQ＝CM， 由勾股定理得：BD5， 当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小， 此时，BD•CMBC•CD， ∴CM， ∴PQ的最小值为， 故选：A． 如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 　 　． 4. 【答案】5． 【解析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 连接AO， ∵四边形CDGH是矩形， ∴CG＝DH，OCCG，ODDH， ∴OC＝OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， 在△ACO和△ADO中， ， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠OAB＝∠CAO＝30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动， ∴当OB⊥AO时，OB的长度最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OBAB10＝5， 即OB的最小值为5． 故答案为：5． 如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝　 　时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 　 　． 5. 【答案】3；22． 【解析】当B与点D 重合时，设AE＝x，则CF＝x，DE＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2即可解决；根据图形取EF中点O，通过分析可知只有当B′、O、G 三点共线时，GB′长度最大，利用勾股定理解决即可． 当B与点D 合时， 如图： 由于对称：BF＝B′F＝DF，FC＝AE， 设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x， 在Rt△CDF中， 由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2； ∴x＝3， 则AE＝3； 如图：取EF中点O， ∵AE＝CF， 由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O， 连接 B′O，OG，OB， 在△B′OG中，B′G＜OB′+OG， ∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′， ∴OB＝OB′，故只有当 B′、O、G 三点共线时、GB′长度最大， 此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG， 过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4， ∴在Rt△OBH 中，OHCD＝2，BHBC＝4， ∴OB2， ∵在Rt△OGH中，OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2， ∴OG2， ∴GB'＝22， 故答案为：3；22． 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： 6.（1）当t＝1s时，四边形BCQP的面积是多少？ （2）当t为何值时，以点P，D，Q为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰三角形． 【答案】解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵CQ＝1cm，AP＝2cm， ∴PB＝6﹣2＝4（cm）． ∴S5（cm2）． 答：四边形BCQP的面积是5 cm2； （2）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E， ∴∠PEQ＝90°， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴四边形BCQE是矩形， ∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）． ∵AP＝2t， ∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t． ∵PQ＝DQ， ∴PQ＝6﹣t． 在Rt△PQE中，由勾股定理，得 （6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2， 解得：t． 如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E， ∴DE＝QEDQ，∠PED＝90°． ∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形APED是矩形， ∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t， ∵DQ＝6﹣t， ∴DE． ∴2t， 解得：t； 综上所述：t或或． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 7.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠FBC； ∵EF∥BC， ∴∠OFB＝∠FBC＝∠ABF， ∴△OBF为等腰三角形， ∴OB＝OF， 同理：OB＝OE， ∴OE＝OF； （2）解：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点时，理由如下： ∵四边形BFAE为矩形， ∴∠AEB为直角， ∴△AEB为直角三角形； ∵四边形BFAE为矩形， ∴OA＝OB＝OE＝OF， 在Rt△AEB中，OE＝OA＝OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$