24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，与的两边分别相切，其中边与相切于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，直线是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，射线与相切于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则(    ) A. B. C. D. 5.已知的直径为，圆心到直线的距离，则直线与的公共点的个数为(    ) A. B. C. D. 不确定 6.已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是  (    ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 7.如图，为的切线，切点为连接、，与交于点，延长与交于点，连接若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.若点是的外心，且，则的度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作，当          时，与相切． 10.如图，已知的半径为，内接于，，则______． 11.如图，是的内切圆，若，，则           12.如图，内接于，为的直径，，弦平分，若，则          ． 13.已知中，，，以为圆心，以为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则的取值范围为______． 14.如图，是的直径，与相切，交于点若，则______ 15.如图，是的直径，是上的点，过点作的切线交的延长线于点若，则____度． 16.如图，已知，是上的一点，以为圆心、为半径作若点在上运动，则当__________时，与相切． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长． 18.本小题分 如图，直线经过上的点，并且，求证：直线是的切线． 19.本小题分 如图，若等腰三角形中，，是底边的中点，与腰相切于点，求证：与相切． 20.本小题分 如图，为的直径，为的弦，，且． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 21.本小题分 如图，中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，求弦的长． 22.本小题分 如图，是的直径，弦，垂足为，连接过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且． 求证：是的切线； 延长交的延长线于点，若，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 连接，由切线的性质可得，再由切线长定理可得，进而可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出的长． 本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确判定是等腰直角三角形是解题关键． 【解答】 解：连接， 边与相切于点， ， 与的两边分别相切，， ， ， ， 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 由切线的性质知，再根据平行线的性质得，最后由圆周角定理可得答案． 本题主要考查切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，求出的度数是解题的关键． 【解答】 解：直线是的切线，为切点， ， ， ， ， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 利用切线的性质得，则可计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后根据圆周角定理可计算出的度数． 【解答】 解：射线与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：为圆外一点，，分别切圆于，两点，若， ， 故选：． 根据切线长定理直接求得． 本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线和圆的位置关系，若圆心到直线的距离是，半径是，则，直线和圆相离，没有交点；，直线和圆相切，有一个交点；，直线和圆相交，有两个交点． 先求出圆的半径，圆心到直线的距离与半径比较即可判断出直线和圆的位置关系，从而确定公共点的个数． 【解答】 解：的直径为， 的半径为， 圆心到直线的距离为， 直线与圆是相交的位置关系， 直线与的公共点的个数为个． 故选A． 6.【答案】  【解析】解：的半径为，点到直线的距离为， 与的位置关系相离． 故选：． 根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为，当，直线与圆相离，当，直线与圆相切，当，直线与圆相交，由的半径为，点到直线的距离为，得出，进而可得与的位置关系． 此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【解答】 解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理，掌握相关的定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【解答】解： 当点在三角形的内部时， 则； 当点在三角形的外部时， 则； 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】本题考查切线的性质，作于点，则如图： 根据题干给出的的度数，解得出的值即可。 【解答】 解：作于点当与相切时，． 在中，，，． 当时，与相切． 10.【答案】  【解析】解：连接、、、， 的半径为，内接于，， ， ， ， ， 故答案为：． 根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得的度数，然后根据勾股定理即可求得的长． 本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 11.【答案】  【解析】【分析】 根据三角形内心的性质得到平分，平分，根据角平分线定义得，，然后根据三角形内角和定理计算． 本题主要考查三角形的内切圆与内心以及三角形的内角和，掌握内心的性质是解题的关键． 【解答】 解：是的内切圆， 平分，平分， ，， ． 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：连接． 是直径， ， ，平分， ， ， ， 故答案为． 连接在中，求出，再在中求出即可解决问题． 本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13.【答案】或  【解析】解：过点作于点， ，如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点， ， 当直线与圆相切时，，圆与斜边只有一个公共点，圆与斜边只有一个公共点， ， ， 当直线与圆如图所示也可以有一个交点， ， 故答案为：或． 根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出和是解此题的关键．根据切线的性质求出，求出，根据圆周角定理得出，代入求出即可． 【解答】解：与相切， ， ， ， ， 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．  连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质计算即可． 【解答】 解：连接， 由圆周角定理得，， 为的切线， ， ， 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质， 设与相切于点，连接，根据，，为半径，在等腰直角三角形中利用勾股定理即可解得． 【解答】 解：设与相切于点，连接， 由题知，，为半径， ． 所以当时，与相切． 故答案为． 17.【答案】解：根据切线长定理，设，，． 根据题意，得：， 解得：． 即、、．   【解析】此题主要考查了切线长定理．注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到的值，再进一步用减法求得，，的值．根据切线长定理，可设，，再根据题意列方程组，即可求解． 18.【答案】解：证明：连接，如图， ，， ， 又为圆的半径， 直线是的切线．  【解析】连接，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后根据圆的切线的判定定理得到结论． 本题考查了圆的切线的判定，也考查了等腰三角形的性质． 19.【答案】证明：连接，过点作于点， 则， 与相切于点， ， ， ； 又是的中点， ， ， ， ≌， ，即是的半径， 与相切．  【解析】本题考查了对切线的判定的理解及运用，考查了全等三角形的判定与性质，属于中档题． 欲证与相切，只要证明圆心到的距离等于圆的半径即可，即连接，过点作于点，证明即可． 20.【答案】证明如图：连接， ，且 且为半径 是的切线 ，， ， 是直径 ， ∽ 的半径为．  【解析】由可得，由可得，则结论可得． 根据∽可求，即可得半径． 本题考查了圆的切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 21.【答案】解：连接，作于点． ， 是圆的切线， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ．  【解析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识，解题的关键是能够利用切线的性质构造矩形，难度不大． 连接，作于点，首先证明四边形是矩形，进而得到的长，然后利用垂径定理求得的长即可． 22.【答案】解：证明：连接， ， ， 而， ． ， ， ． ， ， ， 即， ， 是的切线； 连接， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得． 在中， ． ， ， ∽， ，即， ．  【解析】连接，通过证明得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线； 连接，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，然后证明∽，再利用相似比计算的长． 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时：连接圆心和直线与圆的公共点或过圆心作这条直线的垂线；有切线时，常常遇到切点连接圆心得半径．也考查了勾股定理． 第8页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$