24.1 圆的有关性质 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1 圆的有关性质 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 2.如图，四边形内接于，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 3.如图，线段是的直径，弦，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，，为上的点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知四边形内接于，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形内接于，若它的一个外角，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为          ． 10.如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为          ． 11.如图，在中，于点，若，且，则          ． 12.如图，是半圆的直径，是半圆上一点，且，点为的中点，则______ 13.如图，在圆内接四边形中，为圆心，，则的度数为______． 14.如图，点，，，在上，，，，则          ． 15.如图，已知的直径为，、、三点在上，且，则长为          ． 16.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点、，量出半径，弦，则直尺的宽度______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。 17.本小题分 如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽，水最深，求输水管的半径． 18.本小题分 如图，是的直径，是的一条弦，且于点  求证：； 若，，求的半径． 19.本小题分 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为，求这个孔道的直径． 20.本小题分 如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；           ． 21.本小题分 如图，在中，，于点，于点． 求证：； 若，，求四边形的面积． 22.本小题分 已知四边形内接于，，连接，． 如图，若，求的大小； Ⅱ如图，若点在对角线上，且，，求的大小． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】      首先根据，应用圆周角定理，求出的度数；然后根据圆内接四边形的性质，可得，据此求出的度数即可． 此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：圆内接四边形的对角互补． 此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【解答】 解：， ， ， ， 即的度数是． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【解答】 解：四边形内接于，， ， 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键． 利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案． 【解答】 解：线段是的直径，弦， ， ， ， ． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：， ， 故选：． 利用圆周角与圆心角的关系即可求解． 此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】 解：四边形内接于，， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：如图，过作于，交于， ，， ， 又， 中，， ． 故选：． 首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而根据垂径定理得出答案． 此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出的长是解题关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数． 【解答】 解：， ， ． 故选C． 8.【答案】  【解析】解：四边形内接于， ， ． 故选D． 由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，，由圆周角定理知，，即可得解． 此题考查了圆内接四边形的性质及圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形的性质：、圆内接四边形的对角互补；、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可． 【解答】解：连接， 为的直径，， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ，解得：， 的半径为， 故答案为：． 10.【答案】  【解析】【分析】 连接，求出，再根据，求出的度数即可． 此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出的度数． 【解答】 解：连接， ， ， ， ， ， 的度数为． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是垂径定理，圆周角定理和勾股定理等知识． 先由可知，，再根据圆周角定理求出的度数，由直角三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】 解：， ，， ， ， ， ， ． 12.【答案】  【解析】【分析】 连接半径，先根据点为的中点，得，再由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：，可得结论． 此题考查了圆心角、弧、弦的关系与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【解答】 解：连接， ， ， 点为的中点， ， ， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，解决本题的关键是求出的度数和得出根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形性质得出，即可求出答案． 【解答】解：， ， 、、、四点共圆， ， ， 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理有关知识，直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【解答】 解：，， ， ， ， ， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．作直径，连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答． 【解答】 解：作直径，连接， ，， 由圆周角定理得，， ， 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答． 过点作，垂足为，由垂径定理可得出的长，再由勾股定理即可得出的长． 【解答】 解：过点作，垂足为，连接， 过圆心，， ， ，直尺与半圆相交于点、， ， 在中， ． 故答案为：． 17.【答案】解：设圆形切面的半径为，过点作于点，交于点， 则， 最深地方的高度是， ， 在中， ，即， 解得， 输水管的半径为．  【解析】设圆形切面的半径为，过点作于点，交于点，由垂径定理可求出的长，再根据最深地方的高度是得出的长，根据勾股定理列方程即可求出半径的长． 此题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答． 18.【答案】证明：， ． ， ； 解：是的直径，且于点， ， 在中，， 设的半径为，则，， ， 解得：， 的半径为．  【解析】【分析】 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 由，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； 由弦与直径垂直，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，设圆的半径，，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到圆的半径的值． 19.【答案】解：如图，连接，过点作于点， 则， 钢珠的直径是， 钢珠的半径是， 钢珠顶端离孔道外端的距离为， ， 在中， ， ．  【解析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键连接，过点作于点，则，在中利用勾股定理即可求出的长，进而得出的长． 20.【答案】证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由知，即，据此可得答案； 由知，结合，可证，从而得出答案． 21.【答案】证明：如图，连接， ， ， 又，， ； 解：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 同理可得，， ．  【解析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论； 根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 22.【答案】解：Ⅰ， ， ， ， ， ． Ⅱ， ， ， ， ．  【解析】由，推出，可得，由此即可解决问题． Ⅱ想办法证明即可解决问题． 本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$