精品解析： 河南郑州市第二中学2024-2025学年七年级下学期数学第一次月考试卷

2024-2025学年下学期第一次考试七年级数学试卷 （时间100分钟 分值120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 4. 小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或或 6. 将一块含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列条件能判断的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，抽到偶数的可能性比抽到奇数的可能性大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 9. 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “一个有理数的绝对值是负数”是__________．（填“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） 12. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为，则可用科学记数法表示为________． 13. 已知，，则______． 14. 如图，直线与相交于点O，若，则等于________． 15. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为________________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，要在屋架上加一根横梁，使，请你用尺规作出横梁，并说说你作图的依据（不写做法，保留作图痕迹）． 18. 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 19. 如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，垂足为O，，分别求的度数． 20. 如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． （1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） （2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 21. 一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，每个球除颜色外都相同． （1）求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率； （2）从口袋中取走 x个红球后，再放入 x 个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 22. 将两个边长分别为a和b的正方形按图①所示方式放置．其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为；再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图②，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为；已知，． （1）求a与b的差； （2）求与的和． 23. 如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． （1）求证：； （2）如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； （3）如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期第一次考试七年级数学试卷 （时间100分钟 分值120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】用负整数指数幂的运算法则计算即可． 本题考查负整数指数幂，关键掌握负整数指数幂的运算法则． 【详解】解：． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 根据整式的运算法则逐项进行判断即可得出答案． 【详解】A、和不是同类项不能合并，此选项错误，故选项A不符合题意； B、，此选项错误，故选项B不符合题意； C、，此选项正确，故选项C符合题意； D、，此选项错误，故选项D不符合题意； 故选C． 3. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式． 平方差公式适用于形如的乘法，需满足两项中一项相同，另一项互为相反数，据此作答即可． 【详解】解：选项A：，两括号均为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项B：，可整理为，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式． 选项C：，可化为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项D：，两项均无相同或相反数关系，无法应用平方差公式． 故选：B． 4. 小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式乘除法的运算，理解整式乘除法的运算法则是解答关键． 根据整式乘除法的运算列出算式得到即可求解． 【详解】解：根据题意得 ， ， ， ． 故选：A． 5. 如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键． 根据同位角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者． 故选：B． 6. 将一块含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了“两直线平行，内错角相等”的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】 ， ， ． 故选：C． 7. 如图，下列条件能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可得出答案． 【详解】A、∵，∴，故选项A符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴平分，无法判断某两直线平行，故选项C不符合题意； D、∵，∴，无法判断某两直线平行，故选项D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，抽到偶数的可能性比抽到奇数的可能性大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚瓶盖10次，若落地后盖口向上的次数为6，则落地后盖口向上的概率为0.6，说法错误，因为试验次数少，且瓶盖抛掷并非等可能事件，故不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，因此能构成这个正方体的表面展开图的概率是， 故选A 考点：概率 10. 如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “一个有理数的绝对值是负数”是__________．（填“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 【解析】 【分析】必然事件指的是一定会发生的事件，不可能事件指的是不会发生的事件，随机事件指的是可能会发生，也可能不会发生的事件 【详解】解：有理数的绝对值是非负数， 故答案为：不可能事件． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 12. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为，则可用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则． 14. 如图，直线与相交于点O，若，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据平角的定义可得，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：直线与相交于点O， ，， ， ∴， ． 故答案为：． 15. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）90000 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得解； （2）利用完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，要在屋架上加一根横梁，使，请你用尺规作出横梁，并说说你作图的依据（不写做法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图，即为所求． 作图依据为：同位角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．在的右侧作，交于点E，则即为所求．作图依据为：同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图，在的右侧作，交于点E，则即为所求． 作图依据为：同位角相等，两直线平行． 18. 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 【答案】 这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，分别求出甲获胜与乙获胜的概率，比较大小即可．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】略 19. 如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，垂足为O，，分别求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线的意义，角平分线的意义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键，根据得出，再由角平分线的意义得出，再由角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵射线是的平分线， ∴， ∴． 20. 如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． （1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） （2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】（1） （2）15500元 【解析】 【分析】本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 即种植蔬菜的面积为． 【小问2详解】 解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 21. 一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，每个球除颜色外都相同． （1）求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率； （2）从口袋中取走 x个红球后，再放入 x 个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用红球的个数除以球的总数即可得到答案； （2）根据题意可得球的总数不变，但是白球的数量为个，据此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，且每个球被摸到的概率相同， ∴从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得． 22. 将两个边长分别为a和b的正方形按图①所示方式放置．其未叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为；再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图②，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为，周长为；已知，． （1）求a与b的差； （2）求与的和． 【答案】（1）8 （2）77 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再由即可求得的值； （2）由题意得，，则，将其变形后代入数值计算即可． 本题主要考查了整式加减的应用，完全平方公式在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，由题意分别求得，，，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ，， 23. 如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． （1）求证：； （2）如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； （3）如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】（1） 证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，则，再由可得出，据此得，进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； （2）由已知得，，再由（1）的结论得，，据此可求出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，再由得，由此得，然后由（1）的结论得，据此可得出，进而可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； 【小问3详解】 解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决平行线间拐点问题的万能钥匙，是过拐点作已知直线的平行线，将拐角拆分为两组内错角，实现角的等量转化；第（1）问证得的基础结论，可直接复用至后续两问，体现了几何题“证一次、用多次”的高效解题逻辑，避免重复推导． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $