精品解析：四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学2024－2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学 2024-2025学年九年级下册第一次月考数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为，开口方向，对称轴，增减性求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，开口向上，对称轴是直线，故A，B，C选项错误， 当时，y随x的增大而减小，故D选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 3. 点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质（抛物线的对称性、增减性），解题的关键是利用二次函数的对称轴判断点到对称轴的距离，结合函数的增减性比较函数值的大小． 分析二次函数的开口方向（向下）和对称轴轴）；根据抛物线关于对称轴对称，可得与到对称轴距离相等，故根据对称轴右侧y随x增大而减小，结合在对称轴右侧且横坐标大于2，可得，进而得出大小关系． 【详解】： ∵函数是二次函数，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴． ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随x的增大而增大；在对称轴右侧随x的增大而减小；且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大． ∵点到对称轴的距离均为2， ∴根据抛物线的对称性，． ∵点在对称轴右侧，且， ∴在对称轴右侧，x越大，y值越小，故． 综上，． 故选：D． （2024眉山期末） 4. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式． 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 6. 已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴是直线，即可判断B，利用当时，即可判断A；由表格可得：当时，即可判断C，由，是图象上两点，则即可判断D． 【详解】解：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴是直线，故B正确，不符合题意； 当时，， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 由表格可得：当时，，故C正确，不符合题意； 若，是图象上两点，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 7. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于（m，0）和（m+3，0） ∵抛物线经过四个象限，且a=1>0 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （2024达州中考） 8. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 9. 已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是（ ） A. 点火后1s和点火后3s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 火箭升空的最大高度为145m D. 点火后10s的升空高度为139m 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出t=1、3、24、10时h的值可判断A、B、D三个选项，将解析式配方成顶点式可判断C选项． 【详解】解：A、当t=1时，h=24；当t=3时，h=64；所以点火后1s和点火后3s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时，h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、由h＝﹣t2＋24t＋1=﹣（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； D、当t=10时，h=141m，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （2024广安中考） 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 用配方法把二次函数化成顶点式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式. 【详解】解：3==， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． 12. 二次函数的图象与轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到关于的方程，然后解方程求出的值，然后解关于的方程即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个公共点， ， 解得， ， ， ， 解得， 即此公共点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】考查了抛物线与轴的交点坐标，关键是掌握对于二次函数，，是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 13. 抛物线经过点，，且与y轴交于点C．若，则该抛物线解析式为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，根据可得抛物线和y轴的交点为或，代入求解即可． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线和y轴的交点为或， 当抛物线和y轴的交点为时， ，解得：， ∴抛物线的解析式为，即； 当抛物线和y轴的交点为时， ，解得：， ∴抛物线的解析式为，即； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用交点式较合适． 14. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】抛物线与x轴有交点则，再根据二次函数解析式二次项系数不等于0，列出不等式求解即可． 本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟记“当时，抛物线与x轴有交点”是解题的关键，还要注意二次项系数不等于0． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， 解得且． 故答案为：且． （2024合肥一模） 15. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入，可得即可； （2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵对于，有， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）∵， ∴， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， 点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧， ∴． 故答案为： 16. 如图所示，点A是抛物线：上的一点，过点A作垂直于x轴和抛物线： （）交于点B，过点A作轴分别与y轴和抛物线交于点C，D，过点B作轴分别与y轴和抛物线交于点E，F．下列结论：①若，则点D的坐标为；②F是的中点；③；④．其中正确的是_______（写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 逐一分析判定，即可解答． 【详解】解：设点， ∵， ∴， ∴， ∵轴，点D在抛物线上， ∴点D坐标为， ①正确， ∵， ∴，③错误． ∵，点F坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共46分） 17. 如图所示，已知抛物线的顶点为，且与x轴的一个交点为． （1）求抛物线的表达式； （2）求时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，用待定系数法求解析式． （2）先令，求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合图像即可得出时，x的取值范围； 本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为． 把代入，得，解得． ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：令，得，解得， ， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． 根据图象得，当时，x的取值范围为． 18. 已知二次函数． （1）求出此函数的顶点坐标、对称轴； （2）求抛物线与x轴交点坐标和y轴交点坐标； （3）当时．求函数y的取值范围 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）与x轴交点坐标为：，；与y轴交点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）化为顶点式求解即可； （2）根据与x轴的纵坐标，与y轴的交点横坐标求解； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴此函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴与x轴交点坐标为：，； 当时，， ∴与y轴交点坐标为； 【小问3详解】 解：二次函数图象如图， ， ∴二次函数图象开口向下． ∴当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，函数取得最小值，最小值为， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 19. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为： 把代入抛物线的解析式得： 解得： 所以抛物线为： 【小问2详解】 解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间， 所以当时， 而 所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键. （2024烟台中考） 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． （2024广安中考节选） 21. 如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 【答案】（1） （2）有最大值，， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为， ∴． 【小问2详解】 （2）是有最大值，理由如下： ∵当时，， ∴． 设直线的函数表达式为， ∴， 解得． ∴直线的函数表达式为， 设， 则． ∴ ． 当时，有最大值， 此时， ∴有最大值，为．此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学 2024-2025学年九年级下册第一次月考数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. （2024眉山期末） 4. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 7. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2024达州中考） 8. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是（ ） A. 点火后1s和点火后3s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 火箭升空的最大高度为145m D. 点火后10s的升空高度为139m （2024广安中考） 10. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 用配方法把二次函数化成顶点式为_________． 12. 二次函数的图象与轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是_________． 13. 抛物线经过点，，且与y轴交于点C．若，则该抛物线解析式为_____________． 14. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是_______． （2024合肥一模） 15. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 16. 如图所示，点A是抛物线：上的一点，过点A作垂直于x轴和抛物线： （）交于点B，过点A作轴分别与y轴和抛物线交于点C，D，过点B作轴分别与y轴和抛物线交于点E，F．下列结论：①若，则点D的坐标为；②F是的中点；③；④．其中正确的是_______（写序号）． 三、解答题（共46分） 17. 如图所示，已知抛物线的顶点为，且与x轴的一个交点为． （1）求抛物线的表达式； （2）求时，x的取值范围． 18. 已知二次函数． （1）求出此函数的顶点坐标、对称轴； （2）求抛物线与x轴交点坐标和y轴交点坐标； （3）当时．求函数y的取值范围 19. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ （2024烟台中考） 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ （2024广安中考节选） 21. 如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $