第1讲三角形的边，高，中线，角平分线 暑假预习 2025—2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学第1讲三角形的边，高，中线，角平分线 内容一：三角形的边 内容二：三角形的高、中线和角平分线 内容三：三角形的稳定性 内容四：巩固练习 三角形的边 1.三角形的基本概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的分类 ①按边之间的关系分： 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。 ②按角分类： 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 3.三角形的三边之间的关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 【考点1】三角形及其相关概念 例题1.一位同学用三根木棒拼成图形如下，其中符合三角形概念的是(    ) A. B. C. D. 变式1.图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是(    ) A. B. C. D. 例题2.图中三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 变式2.如图中三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 例题3.如图所示． 图中共有          个三角形，用符号表示为          ，其中以为边的三角形有          ，以为内角的三角形有          ； 在中，的对边是          ，的对角是          ； 与的公共边是          ，公共角是          ． 变式3.如图，在中，顶点的对边是          ；以为边的三角形是          ；边的对角是          ． 【考点2】三角形的分类 例题4.下列说法正确的是(    ) A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 C. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形 变式4.下列各项中，适合条件的三角形是  (    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 例题5.用表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间的关系的是  (    ) A. B. C. D. 变式5.三角形按边分类可以用集合来表示，如图，图中小椭圆圈里的表示(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 例题6.如图，在中，点，是边上的点，连接，若，，则图中的等腰三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 变式6.如图，在中，，，动点从点出发，沿边，向点运动在点的运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是(    ) A. 直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形 B. 等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形 C. 直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 D. 等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 【考点3】三角形的三边关系 例题7.有四根细木棒，长度分别为，，，，用这些木棒为边摆三角形，可以摆成三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 变式7.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 例题8.若一个三角形的三边长是，，，则化简          ． 变式8.已知，，是的三边长． 若，，满足，直接判断的形状，填在直线上：____ 化简的结果为____ 例题9.已知，，是的三边长，，，设三角形的周长为． 的取值范围是          ，的取值范围是          ； 若为小于的偶数． 求的长； 判断的形状． 变式9.如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． 第三边的范围为______． 当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形按边分类． 三角形的高、中线和角平分线 1. 高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 2.中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 3.角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 【考点1】三角形的高线 例题10.如图，、、是的三条高，，，，则为(    ) A. B. C. D. 变式10.如图，，分别为的中线和高线，的面积为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 例题11.若中，边，的比为，则，边上的高的比为          ． 变式11.如图所示，，边上的高交中线于点，已知，，则的面积为          ． 例题12.如图，于点，于点，且与相交于点。 则的边上高是；边上的高为          ； 若，，，则          ． 变式12.如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是          ． 【考点2】三角形的中线 例题13.如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 变式13.如图，是边的中线，，分别是，的中点．若的面积为，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 例题14.如图，的两条中线，相交于点已知的面积为，的面积为，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 变式14.如图，中，是边上的中线，是中边上的中线若的面积是，则的面积是(    ) A. B. C. D. 例题15.如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，则四边形的面积为________． 变式15.如图，三边上的中线，，交于点，若，则图中阴影部分的面积是____  【考点3】三角形的角平分线 例题16.如图，，，是的三条角平分线，则          ，           ，          ． 变式16.如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为          ． 例题17.如图，在中，，，平分，， ______． 变式17.如图，在中，，，平分，是边上高，则的度数是_________． 例题18.如图，的角平分线、相交于点若，则的度数为           变式18.如图，在中，，分别是，的平分线，，则          。 【考点4】三角形的高、中线、角平分线综合 例题19.如图，在中，是中线，是角平分线，是高，填空： ________________； ________________； ________； ________． 变式19.如图，、、分别是的中线、角平分线和高． 若，则          ； 若，则          ； 若，，则的面积为          ，的面积为          ． 例题20.如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是          ． 变式20.如图，是的高，且平分，若，则            例题21.如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是______． 变式21.如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则等于____． 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广， 需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 【考点1】三角形的稳定性 例题22.平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 三角形内角和等于度 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形具有稳定性 变式22.深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最高的跨海集群工程其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长米，是双塔斜拉式桥斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是(    ) A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 例题23.在生活中，我们常常会看到在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是(    ) A. 三角形的内角和等于 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形具有不稳定性 变式23.安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 例题24.如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固．其蕴含的数学道理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 变式24.如图所示，平南大桥，位于广西壮族自治区贵港市平南县，是目前世界上已经建成的最大跨径拱桥，它的桥梁、桥身采用三角形钢架结构，这是利用三角形的(    ) A. 灵活性 B. 内角和定理 C. 稳定性 D. 对称性 【考点2】四边形的不稳定性 例题25. 年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 变式25.在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中没有利用三角形稳定性的是(    ) A. 钢架桥 B. 屋顶钢架 C. 起重机 D. 活动挂架 例题26.如图的伸缩门，其原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线 变式26.如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，边的对角是  (    ) A. B. C. D. 2.在中，若，则是  (    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 3.在数学课上，同学们在练习画边上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列长度的三条线段中，能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.下列图形具有稳定性的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.已知有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有          对． 7.如图，在中，，，则图中有          个直角三角形． 8.已知一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为          ． 9.如图，若，则为          的角平分线，为          的角平分线． 10.如图，在中，是的一条中线，于点，于点，，，，则的长为          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分对于下面每个三角形，分别过顶点画出它的中线、角平分线和高． 12.本小题分如图，在中，，垂足为，是钝角，是上一点，且是锐角． 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 13.本小题分如图，，，，求的度数． 14.本小题分若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，求三角形周长的取值范围． 15.本小题分如图，在中，若，，则的高与的比是多少？提示：利用三角形的面积公式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学第1讲三角形的边，高，中线，角平分线 内容一：三角形的边 内容二：三角形的高、中线和角平分线 内容三：三角形的稳定性 内容四：巩固练习 三角形的边 1.三角形的基本概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的分类 ①按边之间的关系分： 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。 ②按角分类： 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 3.三角形的三边之间的关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 【考点1】三角形及其相关概念 例题1.一位同学用三根木棒拼成图形如下，其中符合三角形概念的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式1.图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  例题2.图中三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  变式2.如图中三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的定义及分类有关知识，根据三角形的定义进行解答即可． 【解答】 解：根据三角形的定义得：图中三角形有：，，，，，，，共个． 故选C． 例题3.如图所示． 图中共有          个三角形，用符号表示为          ，其中以为边的三角形有          ，以为内角的三角形有          ； 在中，的对边是          ，的对角是          ； 与的公共边是          ，公共角是          ． 【答案】(1)5;△ABD，△ADE，△EDC，△ADC，△ABC;△ADC，△ABC;△EDC，△ADC，△ABC  (2)AD;∠ADB  (3)CD;∠C  变式3.如图，在中，顶点的对边是          ；以为边的三角形是          ；边的对角是          ． 【答案】； ；； 【考点2】三角形的分类 例题4.下列说法正确的是(    ) A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 C. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了三角形的分类，理解各类三角形的定义是解答关键． 根据三角形的分类方法进行分析判断，三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形包括等边三角形． 【解答】 解：如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，如下图，故该选项错误； B.如顶角是的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，如下图，故该选项错误； C.如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，如下图，故该选项错误； D.一个等边三角形的三个角都是故该选项正确． 故选：． 变式4.下列各项中，适合条件的三角形是  (    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B  例题5.用表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间的关系的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式5.三角形按边分类可以用集合来表示，如图，图中小椭圆圈里的表示(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】D  例题6.如图，在中，点，是边上的点，连接，若，，则图中的等腰三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  变式6.如图，在中，，，动点从点出发，沿边，向点运动在点的运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是(    ) A. 直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形 B. 等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形 C. 直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 D. 等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形 【答案】C  【解析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形， 故选C． 【考点3】三角形的三边关系 例题7.有四根细木棒，长度分别为，，，，用这些木棒为边摆三角形，可以摆成三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】任意三条为边可组成，，；，，；，，；，，；  不能组成三角形的是，  共可组成个三角形，  故选：． 变式7.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查的是三角形的三边关系的有关知识，根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断． 【解答】 解：，不能组成三角形； B.，能组成三角形； C.，不能组成三角形； D.，不能组成三角形． 例题8.若一个三角形的三边长是，，，则化简          ． 【答案】  【解析】，，为一个三角形的三边长，，，原式  故答案为：． 变式8.已知，，是的三边长． 若，，满足，直接判断的形状，填在直线上：____ 化简的结果为____ 【答案】等边三角形   【解析】【分析】 此题考查三角形的三边关系和三角形分类、非负数的性质：偶次方、绝对值，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； 利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【解答】 解：， 且， ， 为等边三角形； ，，是的三边长， ，，， ，，， 原式 ． 例题9.已知，，是的三边长，，，设三角形的周长为． 的取值范围是          ，的取值范围是          ； 若为小于的偶数． 求的长； 判断的形状． 【答案】(1)2＜c＜10;12＜x＜20  (2)①6或4  ②等腰三角形  变式9.如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． 第三边的范围为______． 当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形按边分类． 【答案】解：． 第三边的长为奇数， 第三边的长为． 三角形的周长． 两条边的长为，另外一条边的长为， 这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形．  【解析】【分析】 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求得答案． 先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 本题主要考查三角形的三边关系以及三角形按边的分类，掌握相关内容并灵活运用是解题的关键． 【解答】 解：根据三角形两边的和大于第三边，则．即． 根据三角形两边的差小于第三边，则．即． 综上所述． 故答案为：． 见答案． 三角形的高、中线和角平分线 1. 高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 2.中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 3.角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 【考点1】三角形的高线 例题10.如图，、、是的三条高，，，，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来分析． 根据 、、是的三条高，然后根据三角形的面积公式得出，即可得出结果． 【解答】 解：因为、、是的三条高，，，，  所以可得：，  可得：   故选A． 变式10.如图，，分别为的中线和高线，的面积为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：为的中线，的面积为， ， 为的高线， ， ， ， 解得， 所以的长为， 故选：． 根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 本题主要考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形面积公式的应用． 例题11.若中，边，的比为，则，边上的高的比为          ． 【答案】  变式11.如图所示，，边上的高交中线于点，已知，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据题意得出点是的重心，再根据重心的性质得出即的长，由勾股定理得出的长，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】 解：中，，于， ． 为边上的中线， ， 点是的重心， ，， ，， ， ， ． 故答案为． 例题12.如图，于点，于点，且与相交于点。 则的边上高是；边上的高为          ； 若，，，则          ． 【答案】，； ．  【解析】【分析】 本题主要考查三角形的高，三角形的面积，根据三角形高的定义即可判断，利用，即可求出． 【解答】 解：如图，于点，于点， 的边上高是；边上的高为， 故答案为，； 的边上高是；边上的高为， ， ， 故答案为． 变式12.如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是          ． 【答案】  【解析】解：的边上的高为，边上的高为，，， ， 即， ：． 根据面积相等，列出比例是求解即可． 本题考查了三角形的面积，三角形的高，解题关键在于能够根据等面积法进行转化求解． 【考点2】三角形的中线 例题13.如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是的边上的中线，的面积为， 的面积为， 是的边上的中线， 的面积为， 故选：． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可． 本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 变式13.如图，是边的中线，，分别是，的中点．若的面积为，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  例题14.如图，的两条中线，相交于点已知的面积为，的面积为，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式14.如图，中，是边上的中线，是中边上的中线若的面积是，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】因为是的中线，所以因为是的中线，所以故选B． 例题15.如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，则四边形的面积为________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的重心及三角形的面积根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得、的面积均是的面积的一半，据此判断出四边形的面积等于的面积，据此解答即可． 【解答】 解：，均是的中线，的面积为， ， 点是两条中线的交点，即点为的重心， ， ， ， ， ， 故答案为． 变式15.如图，三边上的中线，，交于点，若，则图中阴影部分的面积是____  【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形的面积，三角形的中线，三角形的重心的有关知识，属于中档题． 根据题意，可得为的重心，即可求解． 【解答】 解：的三条中线、，交于点， 为的重心， ：：， ， ， ， ． 故答案为． 【考点3】三角形的角平分线 例题16.如图，，，是的三条角平分线，则          ，           ，          ． 【答案】∠2 ;∠ABC;∠4或∠ACF  变式16.如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数为          ． 【答案】  例题17.如图，在中，，，平分，， ______． 【答案】  【解析】解：，， ， 又平分， ， ， ， 又是边上的高， ． 故答案为：． 根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理及平角的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余列式进行计算即可得解． 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及直角三角形两锐角互余的性质，准确识图并熟记性质与定理是解题的关键． 变式17.如图，在中，，，平分，是边上高，则的度数是_________． 【答案】  【解析】解：在中，，， ， 平分， ， 是边上高， ， ， ， ， 故答案为：． 例题18.如图，的角平分线、相交于点若，则的度数为           【答案】  变式18.如图，在中，，分别是，的平分线，，则          。 【答案】  【解析】解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ， 故答案为：． 【考点4】三角形的高、中线、角平分线综合 例题19.如图，在中，是中线，是角平分线，是高，填空： ________________； ________________； ________； ________． 【答案】，； ，； ；   【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的角平分线、中线、高以及三角形的面积，难度适中．熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念是解答的关键． 根据中线的性质即可得出， 已知是角平分线，根据角平分线的性质即可得出答案， 根据高的定义，即可得出答案， 根据中线的性质即可得出，即可得出答案． 【解答】 解：是中线， ； 是角平分线， ； 是高， ； 是中线， ，   故答案为，；，；； 变式19.如图，、、分别是的中线、角平分线和高． 若，则          ； 若，则          ； 若，，则的面积为          ，的面积为          ． 【答案】(1)6  (2)54  (3)12;6  例题20.如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是          ． 【答案】  【解析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．角平分线的定义求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 变式20.如图，是的高，且平分，若，则            【答案】  【解析】  提示：因为是的高，所以，所以因为平分，所以因为，所以． 例题21.如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是______． 【答案】  【解析】解：， ， ， ， 是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，即可得出答案． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出和的度数． 变式21.如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则等于____． 【答案】  【解析】【分析】 主要考查了角平分线、三角形高的定义和三角形的内角和定理根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答． 【解答】 解：，， ， 又是的平分线， ， 在中，， 于是． 故答案为． 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广， 需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 【考点1】三角形的稳定性 例题22.平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 三角形内角和等于度 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形具有稳定性 【答案】D  【解析】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：． 根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 变式22.深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最高的跨海集群工程其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长米，是双塔斜拉式桥斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是(    ) A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D  【解析】解：斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性， 故选：． 根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的稳定性，垂线段最短及三角形的三边关系，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 例题23.在生活中，我们常常会看到在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是(    ) A. 三角形的内角和等于 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形具有不稳定性 【答案】B  【解析】解：依据是三角形具有稳定性， 故选：． 直接根据三角形具有稳定性作答即可． 本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键． 变式23.安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】A  【解析】解：安装空调依据的几何原理是三角形的稳定性， 故选：． 根据三角形具有稳定性求解即可． 本题考查三角形的稳定性，两点确定一条直线，垂线段最短及三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 例题24.如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固．其蕴含的数学道理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 【答案】A  【解析】解：南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固．其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：． 由三角形的稳定性，即可得到答案． 本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性． 变式24.如图所示，平南大桥，位于广西壮族自治区贵港市平南县，是目前世界上已经建成的最大跨径拱桥，它的桥梁、桥身采用三角形钢架结构，这是利用三角形的(    ) A. 灵活性 B. 内角和定理 C. 稳定性 D. 对称性 【答案】C  【解析】解：根据三角形的稳定性可知采用三角形钢架结构，这是利用三角形的稳定性， 故选：． 根据三角形的稳定性即可得出答案． 本题考查了三角形的稳定性． 【考点2】四边形的不稳定性 例题25. 年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 【答案】B  【解析】解：登月探测器的机械臂设原理是利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 本题考查了三角形的稳定性，线段的性质，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 变式25.在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中没有利用三角形稳定性的是(    ) A. 钢架桥 B. 屋顶钢架 C. 起重机 D. 活动挂架 【答案】D  【解析】选项A、、都利用了三角形的稳定性，不符合题意，故选D． 例题26.如图的伸缩门，其原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B  【解析】分析 根据四边形的不稳定性，可得答案．本题考查了三角形的稳定性及四边形的不稳定性，注意其中关联之处． 详解 解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性， 故选B． 变式26.如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是(    ) A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B  【解析】解：电动伸缩门的长度可以伸长和变短， 利用的数学原理是四边形的不稳定性， 故选：． 根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案． 本题考查了三角的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性，四边形的不稳定性是解题的关键． 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，边的对角是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：． 由三角形的边角关系可求得答案． 本题主要考查三角形及其相关概念． 2.在中，若，则是  (    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B  【解析】解：， ， 又， ， ， 是直角三角形． 故答案为：． 3.在数学课上，同学们在练习画边上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.下列长度的三条线段中，能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  5.下列图形具有稳定性的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.已知有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有          对． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了新定义问题，学生全面准确的识图能力，正确的识别图形是解题的关键． 以为公共边的“共边三角形”有：与、与、与三对． 【解答】 解：与、与、与共三对． 故答案为． 7.如图，在中，，，则图中有          个直角三角形． 【答案】  8.已知一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为          ． 【答案】或  9.如图，若，则为          的角平分线，为          的角平分线． 【答案】 【解析】【分析】 此题考查了三角形的角平分线，注意：三角形的角平分线是一条线段． 根据三角形角平分线的定义判断即可． 【解答】 解：， 为的角平分线， ， 为的角平分线． 故答案为：． 10.如图，在中，是的一条中线，于点，于点，，，，则的长为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分对于下面每个三角形，分别过顶点画出它的中线、角平分线和高． 【答案】解：中线、角平分线、高如图所示．   12.本小题分如图，在中，，垂足为，是钝角，是上一点，且是锐角． 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1)解：题图中有8个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，△AEF，△CEF．  (2)题图中的锐角三角形有△ABE． 直角三角形有△ABD，△ADE，△ADC，△AEF，△CEF． 钝角三角形有△BAC，△AEC．   13.本小题分如图，，，，求的度数． 【答案】解：，，，，．  14.本小题分若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，求三角形周长的取值范围． 【答案】解：三角形的周长．  15.本小题分如图，在中，若，，则的高与的比是多少？提示：利用三角形的面积公式． 【答案】解：．  【解析】由可得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$