第23章 旋转 单元练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第23章 旋转 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 2.下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. 宇航员 B. 空间站 C. 黑洞 D. 太空舱 3.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，将一个含角的直角三角板烧点顺时针旋转到，使点，，在同一条直线上，则旋转角的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，在中，，，，与关于点中心对称，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为的正方形组成的图案，其中点，若过原点的直线将这个图案分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式为______． 10.如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则的度数是______ 11.如图，将绕点顺时针旋一定角度后，得到，此时点、、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为______． 12.如图，在中，，，，现将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得正好经过点，连接，则的长度______． 13.如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是，，点为直线上一点，且，点为线段上一动点在旋转过程中，则线段的取值范围是______． 14.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为、，直线：交轴于点，当直线平分矩形的面积时，的值是______． 15.如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为______． 16.将一副三角板按如图所示的方式放置，边，在直线上，，，三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转，当第一次与平行时，的度数是______度 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，点的坐标是，请解答下列问题： 将向上平移个单位长度，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标； 作出关于坐标原点成中心对称的． 求三角形的面积． 18.本小题分 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上在建立平面直角坐标系后，点的坐标为点的坐标为，点的坐标为． 把向下平移个单位后得到对应的，画出； 以原点为对称中心，画出与关于原点对称的； 用无刻度直尺找出的三边中线的交点，请在图中标出点的位置． 19.本小题分 如图，在▱中，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的对应点在边上，连接，求的度数． 20.本小题分 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 求证：； 求的度数． 21.本小题分 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，点、的对应点分别是、为的中点，连接、、、与相交于点，与相交于点． 求证：是等边三角形； 求证：四边形为平行四边形． 22.本小题分 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点网格线的交点、，、的坐标分别为，，，． 以点为旋转中心，将旋转得到，画出； 直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； 在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：等边三角形是轴对称图形，但它不是中心对称图形，不符合题意； B.等腰三角形是轴对称图形，但它不是中心对称图形，不符合题意； C.平行四边形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意； D.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：不是轴对称图形，不是中心对称图形； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C.不是轴对称图形，是中心对称图形； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形． 3.【答案】  【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，点落在上， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 由旋转得，，则，所以，求得，而，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， 将绕点顺时针旋转， ， ， 故选：． 由三角形内角和定理可求的度数，由旋转的性质可得，即可求解． 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：旋转角是． 故选：． 根据旋转角的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可求解． 本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：过作于，直线交轴于， ，， ， ， ， ， ， 将绕原点逆时针旋转，得到， ，，，， ， ， ， ， ， 点的对应点的坐标为， 故选：． 过作于，直线交轴于，由，，可得，再由旋转可得轴，由直角三角形求出、的长即可． 本题考查旋转变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， 与关于点中心对称， ． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【解答】 解：将绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ． 故选C． 9.【答案】  【解析】解：点，的坐标分别为，， 的坐标为， 设直线的函数解析式为，依题意有，解得． 故直线的函数解析式为 故答案为： 根据点，的坐标可得的坐标，再根据待定系数法可求直线的函数解析式． 本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，中心对称的性质，关键是得出点的坐标． 10.【答案】  【解析】解：绕点顺时针方向旋转，得到， ，，， 点恰好落在的延长线上， ， ， ． 故答案为：． 先根据旋转的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，所以，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 11.【答案】  【解析】解：绕点顺时针旋一定角度后，得到， ， 点、、在同一条直线上， ， ， ． 故答案为：． 先根据旋转的性质得到，再利用平角的定义得到，所以，从而可求出的度数． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 12.【答案】  【解析】解：连接，如图， ，， ， ， ， 绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到， ，，，，，， 为等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， 在中，． 故答案为：． 连接，如图，先利用含度角的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得到，，，，，，则可判断为等边三角形，所以，接着证明为等边三角形得到，，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形三边的关系． 13.【答案】  【解析】解：连接，如图： ， ，且在上时，最小，如图： 由旋转可得，，，，， ， ， ， 即最小为； 当与重合，且在延长线上时，最大，如图： 此时； 线段的取值范围是； 故答案为：． 求出的最大，最小值即可得到答案． 本题考查直角三角形中的旋转问题，解题的关键是求出的最大值，最小值，从而得到范围． 14.【答案】  【解析】解：如图，连接． 点，的坐标分别为、 的中点坐标为 直线平分矩形的面积 直线经过点， 直线过点， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 连接由点点和点的坐标得出的中点坐标为然后由已知条件得出直线经过点，最后用待定系数法即可求解． 本题考查了矩形的性质，中心对称，一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是直线必经过对角线的中点，再用待定系数法求得的值． 15.【答案】  【解析】解：设， ，，矩形绕点旋转一定角度后得矩形， ，， 在中，， ， ， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：如图， ，， ， ， ， ． ． 故答案为：． 先根据题意画出几何图形，再根据平行线的性质得到，然后根据平角的定义计算出的度数． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 17.【答案】画图见解答；点的坐标为．   见解答．  ．  【解析】如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 如图，即为所求． 三角形的面积为． 根据平移的性质作图，即可得出答案． 根据中心对称的性质作图即可． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图旋转变换、三角形的面积、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 18.【答案】见解答．   见解答．   见解答．  【解析】如图，即为所求． 如图，即为所求． 如图，点即为所求． 根据平移的性质作图即可． 根据中心对称的性质作图即可． 分别作的三边中线，交点即为点． 本题考查作图旋转变换、三角形的角平分线、中线和高、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 19.【答案】．  【解析】解：四边形为平行四边形， ， ， 绕点按顺时针方向旋转后得到，点的对应点在边上， ，， ， ． 先根据平行四边形的性质得到，则利用平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质． 20.【答案】解：是的中点， ， 四边形是正方形， ，， ， 又， ≌， ， 是斜边上的中线， ， ， ； 设，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】根据证明≌，得，从而可证明； 设，，由，得，求出，得出，由旋转得，可列式，得出，即． 本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 21.【答案】见解析过程；   见解析过程．  【解析】证明：点是边中点，， ， ， ，， ， 是等边三角形； 将绕点顺时针旋转，得到， ，，， ，为等边三角形， ， 点为的边的中点， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，且， 四边形是平行四边形． 由直角三角形的性质可得，，可得结论； 由旋转的性质可得，，，可证，由“”可证≌，可得，可得结论． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22.【答案】【小题】 解：如下图所示：    【小题】 连接，， 点与，点与分别关于点成中心对称， ，， 四边形是平行四边形， ． 【小题】 根据网格信息可得出，， 是等腰三角形， 也是线段的垂直平分线， ，的坐标分别为，， 点， 即答案不唯一   【解析】  本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． 将点，，分别绕点旋转得到对应点，即可得出．   连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．   根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点的坐标． 第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$