24.2.2 《垂径定理》教学设计 2024--2025学年沪科版九年级数学下册

本文围绕垂径定理展开，承接圆的基本性质，为后续圆相关计算奠基。通过创设赵州桥情境、合作探究等环节，培养学生数学眼光（如几何直观）、思维（推理能力）、语言（模型意识）。 本设计亮点在于结合实际渗透爱国教育，采用合作探究法。从学生层面看，提升小组合作与思维能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

24.2.2垂径定理 课题名称 24.2.2垂径定理 教 学 目 标 1.利用圆的对称性得到垂直于弦的直径所具有的性质； 2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 3.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。 4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神． 教学重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明 教学难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 教学方法 合作探究 教学过程设计 教学过程 教师活动 设计意图 1．创设情境，导入新知 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 .4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）． 结合赵州桥资料向学生进行爱国主义教育和美育渗透,并引入新知识 2.探究新知 ( D E O A B C ) 在圆上任意取两点A,B;连接AB;AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿直径CD所在的直线折叠，观察图形。你能发现图中有哪些线段和弧重合吗？ ( ⌒ ) ( ⌒ ) ( ⌒ ) ( ⌒ )线段： AE=BE 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ 通过该问题引导学生探究、发现垂径定理,初步感知. 3. 获得新知 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． ( ●O A B C D E└ )定理的几何语言(注意规范) ( ⌒ ⌒ AC =BC, )∵ CD是直径,CD⊥AB ∴AE=BE, ( ⌒ ⌒ A D =B D , ) 垂径定理的证明：学生思考，小组讨论并讲解。 垂径定理常见的几何模型 定理引申：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径、过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有： ( 平分弦 ) ( 可推得 ) 经过圆心 ( 平分弦所对的劣（优）弧 ) 垂直于弦 4、 例题讲解 例．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． ( cm )解： 学生通过思考用尽可能多的方法证明此定理 通过观察图像得到引申定理，培养学生观察、总结的能力。 ( 在Rt△AOE中 ) ( 答：⊙ O 的半径为5cm. ) 达标训练 1.⊙O的半径为4cm，弦AB为4cm。求圆心O到弦AB的距离。 2.⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求弦AB的长。 3. 半径为2cm的圆中，求过半径中点且垂直于这条半径的弦长。 能力提升 1、已知，如图直线AC与圆O交于点B,C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且 AD=13，求弦BC的长。 ( O A B C D ) 2、如图，在直径200cm的圆柱油罐内装入一些油以后，油面宽AB=160cm，求油的深度？ 变形：在直径200cm的圆柱油罐内装入一些油以后，油面宽AB=160cm，求油的深度？ 3、⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，AB=6cm， CD=8cm。求AB与CD的距离。 　主要是通过练习题来巩固学生所学习的知识,提高小组合作能力和水平. 归纳小结 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 学生谈谈本节的收获与疑惑。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$