23.1 图形的旋转 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

23.1 图形的旋转 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心旋转后，能与原图形完全重合的，其中旋转度数最小的是(    ) A. B. C. D. 2.正五边形需要旋转     后才能与自身重合． A. B. C. D. 3.如图绕点旋转至，则旋转角是(    ) A. B. C. D. 4.有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图所示，则旋转角的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为(    ) A. B. C. D. 6.如图，将直角三角形绕点旋转得到直角三角形，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知点，，将线段绕点逆时针旋转到，点与是对应点，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是边长为的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，，则          ． 10.在如图所示的方格纸格长为个单位长度中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是          ． 11.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接若，则           12.如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则           度． 13.如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___． 14.如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点若，则          ． 15.如图所示是两块完全一样的含角的三角板，分别记作和，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为，绕中点转动三角板，使其直角顶点恰好落在三角板的斜边上，当，时，两直角顶点，的距离是____． 16.如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与是对应点，点与是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，是等边三角形，点在边上，将绕点旋转得到． 求证：． 若，，求的周长． 18.本小题分 如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点求证：． 19.本小题分 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． 求证：； 连接，若，求的度数． 20.本小题分 如图，在中，，点、分别在、上，，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接． 求证：≌； 若，求的度数． 21.本小题分 在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为中点，如图． 指出旋转中心，并求出旋转角的度数． 求出的度数和的长． 22.本小题分 如图，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与． 求证：； 求证：； 如图，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查旋转的性质，根据周角为可分别求解旋转的度数，再比较即可求解． 【解答】 解：最小旋转的度数为； B.最小旋转的度数为； C.最小旋转的度数为； D.最小旋转的度数为； 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】 解：根据旋转对称图形的概念可知： 该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 即正五边形需要旋转后才能与自身重合， 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，掌握旋转角的定义是本题的关键．由对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角，可求解． 【解答】 解：绕点旋转至， 旋转角为或， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查旋转的基本性质，以及平行线的性质． 由平行线的性质可得，由外角的性质可求的度数． 【解答】 解：如图，设与交于点， ， ， ， ． 故选B． 5.【答案】  【解析】解：设与交于点，如图所示， 旋转角为， ， 四边形是矩形， ， 由旋转可知：， ， ， ， ． 设与交于点，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出的度数，再由四边形内角和为即可得出的度数，根据对顶角相等即可得出结论． 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角的性质，根据旋转及四边形内角和为得出是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质以及角的计算，解题的关键是求出根据旋转的性质可得出，再通过角的计算即可得出结论． 【解答】 解：由旋转的性质可知：， ，， ， 又， ． 7.【答案】  【解析】解：如图，点的坐标是， 故选：． 作出对应点连线的垂直平分线，它们的交点就是点． 本题考查了坐标与图形变化旋转，确定的位置是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【解答】 解：由旋转变换的性质可知，≌， ，， ，， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键． 由旋转的性质得：，，再根据勾股定理即可求出． 【解答】 解：将绕点逆时针旋转的到，点和点是对应点， ，， ． 故答案为． 10.【答案】  【解析】【分析】 根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数． 本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角． 【解答】 解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质． 根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以． 【解答】 解：绕点逆时针旋转到的位置， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，旋转角是指旋转前后对应边的夹角根据旋转的性质可得，再根据计算即可得解． 【解答】 解：绕点按逆时针方向旋转后得到， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】分析 作轴于，利用、的坐标求得，，再根据旋转的定义及性质，可求得的坐标． 详解 解：作轴于， 点、的坐标分别为、， ，， 把绕点顺时针旋转得到，如图， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 点睛 本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结台旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：，，，，解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转． 14.【答案】  【解析】【分析】 根据题意得出，则，即可得出的度数． 此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出的度数是解题关键． 【解答】 解：把绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点，， ，则， 则． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接， 两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为， 是、的中点，， ， ， ， 为等边三角形， ， 长为． 故答案为． 连接，根据是、的中点，，得出，再根据，得出，为等边三角形，从而证出，即可得出答案． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，证明出为等边三角形是解题的关键． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，，可得，由勾股定理可求解． 【解答】 解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 故答案为． 17.【答案】证明：是等边三角形， ，， 将绕点旋转得到． ，， 是等边三角形， ， ； 解：将绕点旋转得到． ， 的周长， 又， 的周长．  【解析】由旋转的性质可得，，可得，可证； 由旋转的性质可得，即可求的周长． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 18.【答案】证明：绕点顺时针旋转得线段， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ≌， ．  【解析】由旋转的性质可得，，由“”可证≌，则可得出答案． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 19.【答案】解：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ≌． ． 如图， ，， 为等边三角形． ， 又． ．  【解析】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． 由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证≌可得答案； 由，知为等边三角形，即，继而由可得． 20.【答案】证明：将线段绕点按顺时针方向旋转后得， ，， ， ， 在和中， ， ≌． 解：由可知≌， ，， ， ， ， ．  【解析】由旋转的性质可得：，再根据同角的余角相等可证明，再根据全等三角形的判定方法即可证明≌； 由可知：≌，所以，易求，进而可求出的度数． 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21.【答案】解：在中，， ， 当逆时针旋转一定角度后与重合， 旋转中心为点，等于旋转角，即旋转角为； 绕点逆时针旋转后与重合， ，，， ， 点为中点， ， ．  【解析】先根据三角形内角和计算出，然后利用旋转的定义可判断旋转中心为点，旋转角为； 根据旋转的性质得到，，，利用周角定义可得到，然后利用点为中点得到，于是得到． 本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 22.【答案】证明：，点是的中点， ， 正方形中，，点是的中点， ， ； 证明：，， ，， ， 在正方形中，， ， ； 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，延长交于， ，， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ≌， ，， ，， ， 即， 等腰三角形三线合一，， 是等腰直角三角形．  【解析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形的判定． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得证； 根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据正方形的对角线平分一组对角求出，求出，从而得证； 延长交于，先求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 第6页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$