1.5.1全称量词与存在量词课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.1全称量词与存在量词 1.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题； 2.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理能力. 学习目标 导入新课 在数学中，有时会遇到一些含义变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词. (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的xR,x>3； (4)对任意一个xZ,2x+1是整数． 探索新知 思考：下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ 不是 是 是 不是 (3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定. 全称量词命题 全称量词 4 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. 1.全称量词与全称量词命题 新知生成 常见的全称量词还有“每一个”“一切”“所以”“任何”“仍给”等. 5 新知生成 全称量词命题：含有全称量词的命题 通常，将含义变量x的语句用p(x),q(x),r(x)…表示,变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“∀x∈M,p(x)” 例1.判断下列全称量词命题的真假. (1) 所有的素数都是奇数; (2) ∀xR, |x|+1≥1 (3) 对每一个无理数x,x2也是无理数 新知应用 解：(1)∵2是素数,但不是奇数. ∴全称量词命题(1)是假命题 (2) ∀xR,|x|≥0,从而|x|+1≥1 ∴全称量词命题(2)是真命题 (3)∵是无理数,但=2是有理数∴全称量词命题(3)是假命题 若判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中的每个元素x证明P(x)成立; 若判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x0 ,使得P(x0)不成立即可.(全真则真，一假则假） 练习1.判断下列全称量词命题的真假. 所有的三角形内角和都是180。; (2) ∀x, |x| ； (3) 任意一个平行四边形都是菱形； (4) ∀n, 2n+1是奇数. 新知应用 真命题 真命题 假命题 假命题 探索新知 思考：下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 不是 不是 是 是 (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x进行限定. 存在量词命题 存在量词 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 2.存在量词与存在量词命题 新知生成 常见的存在量词还有“有一个”“有些”“有的”“对某些”等. 10 新知生成 存在量词命题：含有存在量词的命题 存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为“∃ x∈M,p(x)” 例2.判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形. 新知应用 解：(1)由于-12=-8<0,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,存在量词命题(1)是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.存在量词命题(2)是假命题. (3)正方形既是平行四边形又是菱形，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 要判断 “∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中的x都使p(x)不成立,那么存在量词命题是假命题.(一真则真，全假则假） 12 练习2.判断下列存在量词命题的真假. 存在一个三角形内角和不是180。 ; (2) ∃x, x>0； (3) 有的平行四边形是矩形； (4) ∃n, 2n+1是偶数. 新知应用 假命题 假命题 真命题 真命题 新知应用 例3.将下列命题用量词符号表示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根； (4)对于某些正数x，有2x＋1＞0. 解：(1)∀x∈R，x2≥0.真命题． (2)∀x∈Z，x≥1.假命题． (3)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．真命题 (4)∃x>0，有2x＋1＞0.真命题． 新知应用 练习3.将下列命题用量词符号表述,并判断真假: (1)x2+2x+1≥0; (2)对于某些正数x，有x＋1＞0. 解：(1)∀x∈R，x2+2x+1≥0.真命题． (2)∃x>0，有x＋1＞0.真命题． 课堂小结 16 全称量词与存在量词 全称量词与全称量词命题 全称量词：任意，每一个，所有的,… 全称量词命题：对M中任意一个x,p(x)成立 存在量词与存在量词命题 存在量词：存在一个，至少有一个，有些… 存在量词命题：存在M中的元素x,p(x)成立 判断全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题判断：全真则真，一假则假 存在量词命题判断：一真则真，全假则假 随堂检测 1. 判断下列全称量词命题的真假: （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）∀x∈{ x｜x是无理数}，x３是无理数． 假 真 假 随堂检测 2.判断下列存在量词命题的真假: （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； （3）∃x∈{y｜y是无理数｝，x2是无理数． 真 真 假 随堂检测 3.用全称量词或存在量词表述下列命题: (1)有理数都能写成分数形式; (2)n边形的内角和等于(n-2)×180°; (3)有一个实数乘任意一个实数都等于0. 解:(1)任意一个有理数都能写成分数形式. (2)所有n边形的内角和都等于(n-2)·180°. (3)存在一个实数x,它乘任意一个实数都等于0. 随堂检测 4. 已知命题“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：因为“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围是{a|a≤1}． 作业布置 1.完成课本习题1.5第1，2题 2.完成课时练1.5.1 谢谢观看 $$