24.1.2 垂直于弦的直径课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

新人教版数学九年级上册第二十四章 24.1.2垂直于弦的直径 目录 01 02 知识讲解 03 课堂练习 04 课堂总结 课堂导入 教学目标 (1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形。 (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论。 (3)能利用垂径定理解决相应问题。 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. ●O 圆的对称性 ③AE=BE, 共同探究 AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E,你能发现图中有哪些相等的线段和弧? 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 活动二 · O A C D E B ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧。 ●O A B C D E└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 符号语言 图形语言 探究新知 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。 C D E 请同学们在练习本上写出证明 过程，教师利用移动授课拍照上传 哪个图形适合用垂径定理？ 运用新知 O E 如图，在 中 ,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求 的半径. 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 注意 两 三 例 如图，1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）． 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m. 课堂练习 1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 解： 答：⊙O的半径为5cm 2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。 证明： 1.圆是轴对称图形。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答。 课堂小结 1.下列说法中不正确的是(　　) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合 B 随 堂 练 习 2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm． 16 · O A B E 随 堂 练 习 3.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 D 随 堂 练 习 思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理． 新知应用 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD. 从思路2我们看到了我们熟悉的垂径定理的基本图形，所以我们可以先作出圆心到弦的垂线段，于是我们发现，在大圆和小圆中都可以直接应用垂径定理. 19 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD. 证明：过点O作OE⊥AB于点E. ∵ OE⊥AB ， ∴AE=BE，CE=DE， ∴ AE-CE=BE-DE， ∴AC＝BD． 新知应用 过程如下， 比较发现，过圆心作垂直于弦的线段应用垂径定理这个方法更加简洁! 希望大家做题时多多思考，选取最适合的方法解题. 20 新知应用 思考1 在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？ 大家可以结合刚才的题目，总结一下，在应用垂径定理的过程中，常作的辅助线是什么？ 21 $$