精品解析：四川省巴中市南江县沙河中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2025年春九年级质量监测数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各式，结果为﹣3的是（ ） A. ﹣（﹣3） B. ﹣|3| C. ＋|﹣3| D. |﹣（＋3）| 【答案】B 【解析】 【分析】根据根据相反数的概念判断B，根据绝对值的计算判断B、C、D． 【详解】解：A、-（-3）＝3，故A错误； B、﹣|3|＝-3，故B正确； C、+|﹣3|＝3，故C错误； D、|﹣（+3）|＝3，故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查有理数的符号化简，熟记相反数的概念和绝对值的计算是解题关键． 2. 如图，是一个正方体的展开图，原正方体与“队”字相对面上的字是（ ） A. 合 B. 作 C. 精 D. 神 【答案】C 【解析】 【分析】根据立体图形的平面展开图的特点解决问题即可. 【详解】解：由正方体平面展开图特点：相间、Z端是对面 得，“队”的对面是“精” 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正方体的平面展开图相对面上的文字，熟练地掌握正方体平面展开图相对面的特点是解决问题的关键. 3. 如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单． 4. 为了解某校九年级学生的视力情况，学校随机抽查了60名九年级学生的视力情况，到的数据如下表，则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ） 视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数（人） 8 6 9 9 16 12 A. 4.9和4.8 B. 4.9和4.9 C. 4.8和4.8 D. 4.8和4.9 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义求出众数，再根据60名学生只要求出第30个和第31个学生的视力，取其平均数就可以得到中位数． 【详解】解：从表中可知，视力4.9的人数最多，16人，所以它的众数是4.9， 因为随机抽查了60 名学生，所以只要求出第30个第31个学生的视力，取其平均数，就可以求出这组数据的中位数， 由表格得到第30个和第31个学生视力都是4.8， 所以中位数为4.8， 所以本次调查中视力的众数和中位数分别是4.9和4.8． 故选：A． 【点睛】本题主要考查众数，中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A．，故错误，此选项不符合题意； B．，故错误，此选项不符合题意； C．，故错误，此选项不符合题意； D．，故正确，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6. 一元一次不等式3（7﹣x）≥1＋x的正整数解有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，根据解集得出答案即可． 【详解】解： ∴ 所以不等式的正整数解为1，2，3，4，5，共5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的正整数解的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键． 7. 在直角坐标系中，将直线y＝﹣x向下平移2个单位后经过点（a，2），则a的值为（ ） A. 0 B. 4 C. ﹣4 D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（a，0），即可求出a的值． 【详解】解：将将直线y＝-x向下平移2个单位长度后得到y＝-x−2， 把（a，2）代入，得-a-2=2， 解得a＝−4， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 8. 如图，∠C＝90°，AC＝DC，EC＝BC，AB＝10，sinA＝0.6，则AE长为（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.6 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先解直角△ABC求出BC，再利用勾股定理求出AC，结合EC=BC即可得到答案． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB=10，sinA=0.6， ∴， ∴， ∵EC=BC=6， ∴AE=AC-CE=2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，正确求出BC的长是解题的关键． 9. 下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离与时间之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】距离是指两点的长度所以由图象可知中间某一段时间离家距离不变，而A、B、C三种情况两点距离一直在变化．只有D选项在行驶在圆上时离出发点的距离不变符合题意．所以D正确． 10. 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P．BC＝6，则B到CP的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作直径 连接 过作于 求解再证明从而可得答案. 【详解】解：作直径 连接 过作于 而 为的切线， 即B到CP的距离为 故选C 【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键. 11. 如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，E恰为边BC的中点，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，求出BE，根据勾股定理求出AB，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、的面积，即可得出答案 【详解】解：连接AE， ∵四边形ABCD是矩形，， ∴， ． ∵E恰为BC的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴阴影部分的面积S=S矩形ABCD- -S扇形EAD 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出AB长和 的度数是解此题的关键． 12. 如图，抛物线y＝a2＋bx＋c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有a（4m2﹣1）＋2b（2m＋1）≤0．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置、抛物线的对称性及及函数的增减性进行一一判断． 【详解】（1）由图象知．又对称轴， ∴． 则． ∴①正确．②正确． （2）由对称性得与x轴另一交点为，则． 由，可得．． ∴③正确． （3）时，y随x的增大而增大． ∴④错误． （4）由图象可知当时，函数值最小． ∴． ∴． ∴． ∴⑤错误． 综上，说法正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分母不为0以及被开方数为非负数建立不等式求解即可. 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且. 14. 直角坐标系中，点P（2，1）和点P′（a，b）关于y轴对称，则a＋b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】两点关于y轴对称，则两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，依此求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：由题意可得：b=1，a=-2， 则a+b=（-2）+1=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查坐标与图形变化轴对称．理解关于y轴对称的点的坐标规律是解题关键． 15. 反比例函数图象上有A（m，12），B（n，6m）两点，则n的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】设出反比例函数的解析式为，分别把A（m，12），B（n，6m）两点代入，利用的值即可列出方程求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵A（m，12），B（n，6m）在反比例函数的图象上， ∴， ∵， 解得 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合反比例函数的解析式． 16. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长. 【详解】∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD； ∴MN为AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13； 故答案为13. 【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可. 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点；…按照此规律进行下去，点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由A1（1，2），OA1=OB1，设，可求得B1为（2，1），同理可得A2（2，4），B2（4，2），找出规律，即可求得B2022的坐标． 【详解】解：∵点B1在直线上， ∴设B1的坐标为， ∵A1（1，2），OA1=OB1， ∴ ， 解得：a1=2，a2=-2（舍去）， ∴设B1的坐标为（2，1）， 同理可得： A2的坐标为（2，4），B2的坐标为（4，2）， A3的坐标为（4，8），B3的坐标为（8，4）， … 归纳可得：A2022的坐标为，B2022的坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查了图形的坐标规律的探究，正比例函数的性质，勾股定理的应用，根据题意求得点的坐标之间的内在联系，是解决问题的关键． 18. 如图，矩形ABCD中，BC＝12，点P是边AD上一动点（不与端点重合），点E与点A关于BP对称，线段DE最小为8，则AB的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】分析动点轨迹，根据定点最值的点-圆模型，将动点最值转化为定线，利用勾股定理求线段长即可得出结论． 【详解】解析：连接，则， ∴E在以B为圆心，为半径的圆上， ∴当B，E，D三点共线时，最短，如图所示： 设，则，，由勾股定理，得，解得，即的长为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查动点最值问题，确定动点轨迹，根据最值模型，结合勾股定理求线段长是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共84分） 19. （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）本题包含特殊三角函数值、负整数指数幂、立方根、绝对值以及零指数幂的运算．需要分别根据相应规则化简各项，再进行加减运算． （2）本题先对分式进行化简，先将括号内式子通分计算，再将除法转化为乘法进行约分，最后将代入化简后的式子求值． 本题主要考查了实数的运算以及分式的化简求值．熟练掌握这些运算法则和化简方法是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 20. 在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为_______． （2）等级中有2名男生，2名女生.从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）50，108°；（2） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比，可得抽取的人数，再用C等级的人数所占比例乘以360°可得对应圆心角； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】解：（1）24÷48%=50人， ∴本次抽取调查的学生共有50人， ∵C等级的人数为15， ∴对应圆心角为=108°； （2）画树状图如下： 可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到一男一女的概率为=． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及列表法或树状图法求概率，注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键． 21. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF． （1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由； （2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若，AE＝4，求BC的长． 【答案】（1） 解：四边形BEDF为平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABE＝∠CDF， ∴∠EBF＝∠EDF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF， ∴BE∥DF， ∵AD∥BC， ∴四边形BEDF为平行四边形； （2）BC＝16 【解析】 【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四边形的性质，求证BE∥DF，AD∥BC即可判断四边形BEDF的形状； （2）设AG＝2a，通过已知条件即可推出的值，再通过求证△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设AG＝2a， ∵， ∴OG＝3a，AO＝5a， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a， ∵AD∥BC， ∴△AGE∽△CGB， ∴， ∵AE＝4， ∴BC＝16． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质.根据题干条件熟练应用平行四边形的判定定理以及利用相似三角形的相似比去求线段的长是解题的关键． 22. 2022年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．如图2，小玲想利用所学的数学知识，测金融城双子塔的高度．她先在C处用高度为1.3米的测角仪测得上一点E的仰角，接着她沿方向前进50米到达G处，测得塔顶A的仰角．若米，求双子塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】双子塔的高度约为218米 【解析】 【分析】设EF=x米，在Rt△AFH中，用x的代数式表示出AF和FH，在Rt△DFE中，用x的代数式表示出DF，根据∠EDF的正切三角函数可得出关于x的方程，解出x，由AB=AE+EF+BF即可得出答案． 【详解】解：由题意可得四边形和四边形都是矩形， 则米，米． 设米，则米． 在中，， ， ， 米， 米． 在中，， ，即， 解得，经检验符合题意， （米）． 答：双子塔的高度约为218米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标； （3）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1），；（2）的最大值为， ；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据一次函数y1=x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求； （3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围． 【详解】（1）∵在反比例函数上 ∴ ∴反比例函数的解析式为 把代入可求得 ∴ 把代入为 解得 ∴一次函数的解析式为 （2）的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离. 设直线与轴的交点为 令，则，解得 ， ∴ 令，则 ∴ ∴， ∴的最大值为 （3）根据图象的位置和图象交点的坐标可知： 当时的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． 24. 2022年2月，北京冬奥会成功举办，吉祥物纪念品等深受人们喜爱．某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，已知乙种纪念品比甲种纪念品每个进价多9元． （1）求甲、乙两种纪念品每个的进价． （2）经销中发现，甲种纪念品每个售价46元时，每天可售40个，乙种纪念品每个售价45元时，每天可售80个，商店决定甲种纪念品降价，乙种纪念品提价．结果甲种纪念品单价降1元可多卖4个，乙种纪念品单价提1元就少卖2个，若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种纪念品每个进价分别为26元、35元 （2）2000元 【解析】 【分析】（1）设甲种纪念品每个进价为m元，则乙种纪念品每个进价为元，根据购进甲乙两种纪念品的数量相等列出方程即可求解； （2）设甲种纪念品每个降价x元，则每天销售甲种纪念品个，进而每天销售乙种纪念品个，表示出乙种纪念品的单价提高了多少元，最后利用甲乙两种纪念品的利润和等于一天的总利润列出函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品每个进价为m元，则乙种纪念品每个进价为元 由题意，得． 解得． 经检验是原方程的解． 此时． 即甲、乙两种纪念品每个进价分别为26元、35元． 【小问2详解】 解：设甲种纪念品每个降价x元，则每天销售甲种纪念品个． 进而每天销售乙种纪念品个． 比原来销售80个少个，因此乙种纪念品的单价提高了元． 设每天的销售毛利为y元，则 ． 整理，得． 当时，y取得最大值，最大值为2000． 即这一天销售的最大利润是2000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用及二次函数性质的应用求最大值问题，解题的关键是理解题意，找出题目中数量关系，列出方程或函数关系式． 25. 如图，直线交于A，B两点，是的直径，平分交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）的半径是 【解析】 【分析】(1)连接OD，根据平行线的判定与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线； (2)根据勾股定理可得AD的长，可证得△ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ． 如图2，连接． 是的直径， 又， ， ，即， ， 的半径是． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，经过点D（﹣2，m）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（2，0），B（点B在点A的左侧）两点，AD交y轴正半轴于点E，过点D作DC⊥x轴于点C，AC＝DC． （1）求抛物线的表达式． （2）连接BE交DC于点Q，抛物线上存在点P，满足PB＝PE，求点P的坐标． （3）如图2，M，N分别是线段DC，AC上的点，且∠MEN＝45°，连接MN，若△MCN中有一个锐角的正切值为2，直接写出S△DME的值． 【答案】（1）； （2）P点坐标为（+1，﹣2﹣5）或（﹣+1，2﹣5）； （3）S△DME＝+1或2﹣2 【解析】 【分析】（1）先根据坐标间的关系，求出D点坐标（﹣2，4），进而把A．D两点的坐标代入y＝ax2+bx+4，即可求出a，b的值，即可得抛物线的表达式； （2）令y＝0，即y＝﹣x2﹣x+4＝0可得抛物线与x轴的交点坐标B（﹣4.0}，表示出各边的长度，证明△QBF∽△OBE的条件，可，在Rt△OEB中，利用勾股定理得BE＝2，进而可求F（﹣，0），再求直线QF表达式y＝﹣2x﹣3，再求直线QF和抛物线y＝﹣x2﹣x+4＝0的交点P，即可得本题答案； （3）过点E作EH⊥DC于点H，在OA上截取OM'＝HM，则△HME≌△OME，△EMN≌△EM′N，MN＝NO+HM，再分CN＝2CM和CM＝2CN两种情况，分别求出S△DME即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（﹣2，m），DC⊥x轴，点C的坐标为（﹣2，0）， ∴DC＝AC＝4， ∵DC⊥x轴，m＝4， ∴D（﹣2，4）， 将A（2，0）和D（﹣2，4）两点分别代入y＝ax2+bx+4中，得 ， 解得：， ∴抛物线的表达式：y＝﹣﹣x+4； 【小问2详解】 解：令y＝0，即﹣x2﹣x+4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣4， 则点B的坐标为（﹣4，0）， ∵点C的坐标为（﹣2，0）， ∴点C是BO的中点， ∵OE⊥x轴， ∴CD∥OE， ∴点Q为BE的中点， ∵DC＝AC，∠DCA＝90°， ∴∠OAE＝45°， ∵∠EOA＝90°， ∴EO＝OA＝2， ∴点Q的坐标为（﹣2，1）， ∵PB＝PE．BQ＝EQ ∴直线PQ是线段BE的垂直平分线， 如图1，设直线PQ交OB于点F， ∵PQ⊥BE， ∴∠BQF＝∠BOE＝90°， ∵∠QBF＝∠OBE， ∴△QBF∽△OBE， ∴＝， 在Rt△OEB中，∠BOE＝90°， ∴BE＝＝2， ∴BQ＝BE＝， ∴＝， ∴BF＝， ∴OF＝OB﹣BF＝， ∴F（﹣，0）， 设直线QF的关系式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线QF的关系式为：y＝﹣2x﹣3， 当﹣﹣x+4＝﹣2x﹣3时，x＝+1或﹣+1， ∴P点坐标为（+1，﹣2﹣5）或（﹣+1，2﹣5）； 【小问3详解】 解：如图2，过点E作EH⊥DC于点H，在OA上截取点M′，使得OM′＝HM， ∵点D坐标为（﹣2，4），点A坐标为（2，0）， ∴HE＝EO＝2， ∵∠EHM＝∠EOM′，OM′＝HM， ∴△HME≌△OM′E（SAS）， ∴ME＝M′E，∠HEM＝∠OEM′， ∴∠NEM′＝∠NEO+∠M′EO＝∠NEO+∠HEM＝90°﹣45°＝45°， 在△MEN和ΔM′EN中 ， ∴△MEN≌ΔM′EN（SAS）， ∴MN＝M′N＝NO+M′O， ①当CM＝2CN时， 设CN＝x，则CM＝2x，ON＝2﹣x，HM＝2﹣2x， 在Rt△CMN中，∠MCN＝90°， MN2＝CN2+CM2， 即（4﹣3x）2＝x2+（2x）2， 解得：x＝3﹣或3+（舍去）， ∴MC＝6﹣2，DM＝DC﹣MC＝2﹣2， ∴＝2﹣2； ②当CN＝2CM时， 设CM＝x，CN＝2x，则ON＝2﹣2x，HM＝2﹣x， ∴（4﹣3x）2＝x2+（2x）2， 解得：x＝3﹣或3+（舍去）， ∴MC＝3﹣，DM＝DC﹣MC＝+1， ∴S△DME＝＝+1， 综上所述，S△DME＝+1或2﹣2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，三角形全等知识，勾股定理，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，分类讨论思想，数形结合思想的综合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春九年级质量监测数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各式，结果为﹣3的是（ ） A. ﹣（﹣3） B. ﹣|3| C. ＋|﹣3| D. |﹣（＋3）| 2. 如图，是一个正方体的展开图，原正方体与“队”字相对面上的字是（ ） A. 合 B. 作 C. 精 D. 神 3. 如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某校九年级学生的视力情况，学校随机抽查了60名九年级学生的视力情况，到的数据如下表，则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ） 视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数（人） 8 6 9 9 16 12 A. 4.9和4.8 B. 4.9和4.9 C. 4.8和4.8 D. 4.8和4.9 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元一次不等式3（7﹣x）≥1＋x的正整数解有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 在直角坐标系中，将直线y＝﹣x向下平移2个单位后经过点（a，2），则a的值为（ ） A. 0 B. 4 C. ﹣4 D. ﹣3 8. 如图，∠C＝90°，AC＝DC，EC＝BC，AB＝10，sinA＝0.6，则AE长为（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.6 D. 1 9. 下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离与时间之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（） A. B. C. D. 10. 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P．BC＝6，则B到CP的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 11. 如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，E恰为边BC的中点，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线y＝a2＋bx＋c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有a（4m2﹣1）＋2b（2m＋1）≤0．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围是_____． 14. 直角坐标系中，点P（2，1）和点P′（a，b）关于y轴对称，则a＋b的值为________． 15. 反比例函数图象上有A（m，12），B（n，6m）两点，则n的值为________． 16. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点；…按照此规律进行下去，点的坐标为__________． 18. 如图，矩形ABCD中，BC＝12，点P是边AD上一动点（不与端点重合），点E与点A关于BP对称，线段DE最小为8，则AB的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共84分） 19. （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为_______． （2）等级中有2名男生，2名女生.从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 21. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF． （1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由； （2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若，AE＝4，求BC的长． 22. 2022年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．如图2，小玲想利用所学的数学知识，测金融城双子塔的高度．她先在C处用高度为1.3米的测角仪测得上一点E的仰角，接着她沿方向前进50米到达G处，测得塔顶A的仰角．若米，求双子塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标； （3）直接写出当时，的取值范围． 24. 2022年2月，北京冬奥会成功举办，吉祥物纪念品等深受人们喜爱．某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，已知乙种纪念品比甲种纪念品每个进价多9元． （1）求甲、乙两种纪念品每个的进价． （2）经销中发现，甲种纪念品每个售价46元时，每天可售40个，乙种纪念品每个售价45元时，每天可售80个，商店决定甲种纪念品降价，乙种纪念品提价．结果甲种纪念品单价降1元可多卖4个，乙种纪念品单价提1元就少卖2个，若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大利润是多少？ 25. 如图，直线交于A，B两点，是的直径，平分交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，经过点D（﹣2，m）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（2，0），B（点B在点A的左侧）两点，AD交y轴正半轴于点E，过点D作DC⊥x轴于点C，AC＝DC． （1）求抛物线的表达式． （2）连接BE交DC于点Q，抛物线上存在点P，满足PB＝PE，求点P的坐标． （3）如图2，M，N分别是线段DC，AC上的点，且∠MEN＝45°，连接MN，若△MCN中有一个锐角的正切值为2，直接写出S△DME的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $